hanji_l0el0et

New Member

Download miễn phí Các phương pháp giải phương trình hàm thường dùng





Phương pháp 7: phương pháp điểm bất động.
1. đặc trưng của hàm:
Nhưta đã biết, phương trình hàm là một phương trình thông thường mà nghiệm của
nó là hàm. đểgiải quyết tốt vấn đềnày, cần phân biệt tính chất hàm với đặc trưng hàm.
Những tính chất quan trắc được từ đại sốsang hàm số, được gọi là những đặc trưng hàm.
+) Hàm tuyến tính f(x) = ax , khi đó f(x + y) = f(x) + f(y). Vậy đặc trưng hàm tuyến tính là:
f(x + y) = f(x) + f(y) với mọi x, y.



Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

2 1 2
1
1 1
f x g x x
xx xf g x
x x
+ + + =
 ∀ ≠    
+ =   
− −   
.
Phương pháp 3: Phương pháp chuyển qua giới hạn.
Ví dụ 1: Tìm hàm số :f R R→ liên tục, thỏa mãn: ( ) ( )2 3 1
3 5
x xf x f x R + = ∀ ∈ 
 
.
Lời giải:
ðặt ( ) ( ) ( )1 12 3; 13 5
x
x f x f x x= ⇒ + = .
ðặt ( ) ( ) ( )12 1 2 12 3; 13 5
x
x f x f x x= ⇒ + = .
9
ðặt ( ) ( ) ( )*1 12 3, ; 13 5
n
n n n n
x
x n N f x f x x+ += ∈ ⇒ + = .
Ta có hệ
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1 2 1
1
3 1
5
3 2
5
3 1
5n n n
f x f x x
f x f x x
f x f x x n+

+ =

 + =



 + = +

……
Nhân dòng phương trình thứ (i) với (-1)i+1 rồi cộng lại ta ñược:
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
1
3 2 2 21 1 *
5 3 3 3
n
n
nf x f x x+ +
    
+ − = − + − + −    
     
⋯ .
Xét ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1lim 1 lim lim 0
f
n
n n nf x f x f x f+ + + + − = = =   
l.tôc
.
Mặt khác (1) suy ra f(0) = 0 nên ( ) ( )2 1lim 1 0n nf x+ +− = .
Lấy giới hạn hai vế của (*) ta ñược: ( ) 3 1 925 251
3
xf x x= =
+
. Thử lại thấy ñúng.
Vậy hàm số cần tìm là: ( ) 9
25
xf x = .
Ví dụ 2: Tìm hàm số f liên tục tại xo= 0 thỏa mãn:
:f R R→ và ( ) ( ) ( )2 2 2f x f x x x R= + ∀ ∈ .
Lời giải:
ðặt 2t x= ta ñược: ( ) ( )'2 22 2
t tf t f t R = + ∀ ∈ 
 
.
Xét dãy:
*
1
1
1
,
2
1
2
n nt t n N
t t
+

= ∀ ∈


=

. Thay dãy {tn} vào (2’) ta ñược:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1 2 1
1 1
1 1 1
2 4
1 1 2
2 4
1 1
2 4n n n
f t f t t
f t f t t
f t f t t n
− −

= +


= +




= +

⋯⋯
. Thế (n) vào ( ) ( )1 2n n− → − →⋯ ta ñược:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )'1 21 21 1 1 1 *2 2 2 2n n nn n nf t f t f t f t t− −+= + + + +⋯ .
10
Thay 1
2
n
nt t
 
=  
 
vào (*’) ta ñược: ( ) ( ) ( )"2 4 21 1 1 1 *2 2 2 2nn nf t f t t  = + + + +  ⋯ .
Vì f liên tục tại xo = 0 nên ( )1lim 02 nn f t
 
= 
 
. Lấy giới hạn 2 vế (*”) suy ra: ( )
3
tf t = . Thử
lại thấy ñúng.
Nhận xét:
+) Nếu dãy {xn} tuần hoàn thì ta giải theo phương pháp thế rồi quy về hệ pt hàm.
+) Nếu dãy {xn} không tuần hoàn nhưng f liên tục tại xo = 0 và {xn} → 0 thì sử dụng
giới hạn như VD1.
+ Nếu {xn} không tuần hoàn, không có giới hạn thì phải ñổi biến ñể có dãy {tn} có
giới hạn 0 và làm như ví dụ 1.
BÀI TẬP
1) Tìm :f R R→ thỏa mãn:
a) f liên tục tại xo = 0,
b) ( ) ( ) , 2;n f nx f x nx n N n x R= + ∀ ∈ ≥ ∀ ∈ .
2) Tìm :f R R→ liên tục tại xo = 0, thỏa mãn: ( ) 103 3 3
xf x f x + = 
 
.
3) Tìm :f R R→ liên tục tại xo = 0, thỏa mãn:
( ) ( ) ( ) *, , ,m f mx n f nx m n x m n N m n x R− = + ∀ ∈ ≠ ∀ ∈ .
Phương pháp 4: Phương pháp xét giá trị.
+) ðây là phương pháp cơ sở của mọi phương pháp khác.
+) Khi vận dụng phương pháp cần chú ý sử dụng kết quả vừa có ñược.
Ví dụ 1: Tìm :f R R→ thỏa mãn: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
0
,
a f x x R
b f x y f x f y x y R
≥ ∀ ∈

+ ≥ + ∀ ∈
.
Lời giải:
Cho
0
0
x
y
=

=
suy ra
( )
( ) ( ) ( )
0 0
0 0
0 2 0
f ff f
≥
⇒ =
≥
.
Cho
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0, 0 0, 0
f f x f x f x f x
y x f x f x f x f x
≥ + − + − ≤  
= − ⇒ ⇒ 
≥ − ≥ ≥ − ≥  
( ) ( ) 0 f x f x x R⇒ = − = ∀ ∈ . Vậy ( ) 0f x = . Thử lại thấy ñúng.
Ví dụ 2: Tìm :f R R→ thỏa mãn:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 , , 2
2 2 4
f xy f yz f x f yz x y z R+ − ≥ ∀ ∈ .
Lời giải:
11
Cho , 1x z y= = ta ñược: ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2 1 1 10
4 2 2
f x f x f x f x − ≥ ⇔ − ≤ ⇔ = 
 
. Thử lại thấy
ñúng.
Ví dụ 3: Tìm :f R R→ thỏa mãn: ( ) ( ){ } ( )ax 3
y R
f x M xy f y x R

= − ∀ ∈ .
Lời giải: ( ) ( ) ( )3 ,f x xy f y x y R⇒ ≥ − ∀ ∈ .
Cho ( ) ( )
2
2
t
x y t R f t t R a= = ∈ ⇒ = ∀ ∈ .
Từ (a) suy ra:
( ) ( )
2 2 2
21
2 2 2 2
y x x
xy f y xy x y− ≤ − = − − ≤ ( ) ( ){ } ( )2ax 2y R
xf x M xy f y x R b

⇒ = − ≤ ∀ ∈
( ) ( ) ( )
2
2
x
a b f x+ ⇒ = . Thử lại thấy ñúng.
Ví dụ 4: Tìm :f R R→ thỏa mãn:
( ) ( ) ( ) ( )2008 , 4x yf x y f x f y x y R++ ≥ ≥ ∀ ∈ .
Lời giải:
Cho ( ) ( )( ) ( )20 0 0 1 0 1x y f f f= = ⇒ ≥ ≥ ⇒ = .
Cho
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11 0 1 1x y R f f x f x f x f x f x x R af x= − ∈ ⇒ = ≥ − ≥ ⇒ − = ⇒ = ∀ ∈− .
Cho ( ) ( )( ) ( )
2008 0
0; 2008
2008 0
x
x
x
f x
y x R f x b
f x −
 ≥ >
= ∈ ⇒ ≥ ⇒
− ≥ >
.
Theo ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2008
2008
x
x
a b f x cf x −+ ⇒ = ≤ =− . ( ) ( ) ( ) 2008
xb c f x+ ⇒ = . Thử lại
thấy ñúng.
Ví dụ 5: Tìm [ ] [ ]: ; ;f a b a b→ thỏa mãn:
( ) ( ) [ ], ;f x f y x y x y a b− ≥ − ∀ ∈ (a < b cho trước) (5).
Lời giải:
Cho ( ) ( ) ( );x a y b f a f b a b b a a= = ⇒ − ≥ − = − .
vì ( ) ( ) [ ], ;f a f b a b∈ nên ( ) ( ) ( ) f a f b a b b a b− ≤ − = − .
12
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
f a a
f b b
a b f a f b b a
f a b
f b a
 =

=
+ ⇒ − = − ⇔ 
=

=
.
+) Nếu ( )( )
f a a
f b b
=

=
thì:
Chọn [ ] ( ) ( ); ; y b x a b f x x c= ∈ ⇒ ≤ .
Chọn [ ] ( ) ( ); ; y a x a b f x x d= ∈ ⇒ ≥ .
( ) ( ) ( )c d f x x+ ⇒ = .
+) Nếu ( )( )
f a b
f b a
=

=
thì:
Chọn [ ]; ;y b x a b= ∈ rồi chọn [ ]; ;y a x a b= ∈ như trên ta ñược: ( )f x a b x= + − . Thử
lại thấy ñúng.
Nhận xét:
+) Từ VD1 → VD5 là các BPT hàm. Cách giải nói chung là tìm các giá trị ñặc biệt – có
thể tính ñược trước. Sau ñó tạo ra các BðT “ngược nhau” về hàm số cần tìm ñể ñưa ra kết
luận về hàm số.
+) Việc chọn các trường hợp của biến phải có tính “kế thừa”. Tức là cái chọn sau phải
dựa vào cái chọn trước nó và thử các khả năng có thể sử dụng kết quả vừa có ñược.
Ví dụ 6: Tìm :f R R→ thỏa mãn:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )0 ; ,2 6
2 cos ,
f a f b a b
f x y f x y f x y x y R
pi  
= =  
 
 + + − = ∀ ∈
cho tr−íc
.
Lời giải:
Cho ;
2
y x Rpi= ∈ ta ñược: ( )0
2 2
f x f x api pi   + + − =   
   
.
Cho 0;x y R= ∈ ta ñược: ( ) ( ) ( )2 cosf y f y a y b+ − = .
Cho ;
2
x y Rpi= ∈ ta ñược: ( )2 cos
2 2
f y f y b y cpi pi   + + − =   
   
.
13
( ) ( ) ( )
0
2 2
2 cos
2 2 2
2 cos
2 2
f x f x
a b c f x f x a x
f x f x b x
pi pi
pi pi pi
pi pi
    
+ + − =   
   
      
+ + ⇒ − + − = −      
     
    
+ + − =    
   
.
Giải hệ ta ñược: ( ) cos sinf x a x b x= + . Thử lại thấy ñúng.
Ví dụ 7: Tìm :f R R→ thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) ( )sin sin , 7f x f y f x y x y x y R= + + ∀ ∈ .
Lời giải: Ta thấy ( ) cosf x x= là một hàm số thỏa mãn.
Cho ( )( ) ( ) ( )( )
2 0 00 0 0
0 1
f
x y f f f
=
= = ⇔ = ⇔ 
=
.
Nếu ( )0 0f = thì: Cho ( ) ( )0; 0 0y x R f x f x R= ∈ ⇒ = − = ∀ ∈ . Thử lại ta ñược:
sin sin 0 ,x y x y R= ∀ ∈ ⇒vô lý. Vậy ( ) 0f x = không là nghiệm (7).
Nếu ( )0 1f = thì cho
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 sin cos cos x y f x f x x x f x f x x a= − ⇒ − = + − = ⇒ − = .
Cho
0
2
2
0
2
f
x
f
pi
pi
pi
  
= 
 = ⇒
  
− =  
 
.
Nếu 0
2
f pi  = 
 
thì: Cho ;
2
x y Rpi= ∈ thế vào (7) suy ra:
( )sin 0 cos
2
f y y f y y y Rpi + + = ⇒ = ∀ ∈ 
 
. Thử lại th
 
Các chủ đề có liên quan khác
Tạo bởi Tiêu đề Blog Lượt trả lời Ngày
D nghiên cứu các phương pháp phân lớp dữ liệu và ứng dụng trong bài toán dự báo thuê bao rời mạng viễn thông Công nghệ thông tin 0
D Khảo sát phương thức sử dụng ẩn dụ ngữ pháp trong các văn bản khoa học tiếng Việt Văn học 1
D các trường hợp phẫu thuật thường gặp trên chó, mèo: chỉ định, phương pháp phẫu thuật, kết quả điều trị tại bệnh viện thú y Y dược 0
D Nâng cao hiệu quả áp dụng các phương pháp địa chất và địa vật lý hiện đại nghiên cứu địa chất môi trường vùng đồng bằng sông hồng và cửu long Khoa học Tự nhiên 0
L Các Phương Pháp Hiệu Quả Trị Rạn Da Bằng Nghệ Tươi Sức khỏe 0
D Sử dụng phương pháp sắc ký lỏng cao áp để xác định một số kim loại nặng trong các đối tượng môi trường Khoa học Tự nhiên 0
D Nghiên cứu khả năng hấp phụ một số hợp chất hữu cơ trên các vật liệu tio2 và khoáng sét bằng phương pháp hóa học tính toán Ngoại ngữ 0
D CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH CẤU TRÚC HỢP CHẤT HỮU CƠ – BÀI TẬP Ôn thi Đại học - Cao đẳng 0
D Sáng kiến kinh nghiệm Các dạng bài tập và phương pháp giải bài tập Sinh học Luận văn Sư phạm 0
D Nghiên cứu đối chiếu tiếng lóng của giới trẻ pháp và việt nam trên các phương tiện thông tin đại chúng Ngoại ngữ 0

Các chủ đề có liên quan khác

Top