sakurahimarawa
New Member
Download miễn phí Bài giảng Cơ học lượng tử
Ta chứng minh được luận điểm sau:
Nếu U(x) là nghiệm riêng thỏa PT Schrodinger
với trị riêng E thì hàm â+(x) cũng là nghiệm riêng
của PT Schrodinger với năng lượng riêng là E
Hàm â-(x) cũng là nghiệm riêng của PT
Schrodinger với năng lượng riêng là E
Kết qủa về mức năng lượng
1- Các năng lượng cách đều nhau một đoạn
2- Mức năng lượng thấp nhất có giá trị dương
và là năng lượng ở nhiệt độ 0K. ??
3- Mức thứ J bất kỳ có giá trị
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
I. XÁC SUẤT CỦA HÀM PHÂN BỐ LIÊN TỤC(TK)
II. HÀM SÓNG
III. TOÁN TỬ (OPERATOR)
IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
V. HẠT TRONG HỐ THẾ
VI. DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA
VII. HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM
CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
II. HÀM SÓNG (Wave fuction)
1. Biểu thức sóng phẳng đơn sắc tại điểm M cách
nguồn O một đoạn :
Véctơ sóng xác định theo véctơ đơn vị của phương
truyền sóng:
Hàm sóng ở dạng phức:
vì
OMr
)r.ktsin(A)
v.T
r.2
tsin(A)t,r(
)]rkt(iexp[A)t,r(
k
n
2k
)}rktsin(i)rkt{cos(A)t,r(
}sini{cosAAe i
1.Ý nghĩa thống kê của hàm sóng
Theo thuyết sóng ánh sáng:
Thuyết hạt ánh sáng: hạt photon tạo ra I tỷ lệ số photon qua 1m2
trong 1 s gọi là mật độ hạt:
Vì Hàm sóng phức mô tả trạng thái vi mô của hạt chuyển động
nhanh có bình phương của biên độ:
2. Điều kiện chuẩn hóa: Xác suất tìm thấy hạt trong thể tích V bất
kỳ mà hạt cư trú là 1.0.
3. Điều kiện của hàm sóng:
1- Giới nội.
2- Đơn trị.
3- Liên tục.
4- Đạo hàm bậc nhất của
hàm sóng phải liên tục.
2i.i2
*Aee.AAI
2i.i2 AAee.A*.)t,r(p
2A*)t,r(
1dV)t,r(*).t,r(
V
4. Quan hệ giữa sóng Broglie và vi hạt chuyển
động tự do có năng lượng
và xung lượng
Tính tần số góc:
Còn véctơ sóng:
Hàm sóng viết dưới dạng:
mvP
chhE
.
Ehc
.
h
2c22
P
n
h
h
2
n
2k
)]r.kt(iexp[A)t,r(
]rPEt)[iexp(A
Vận tốc Pha - Vận tốc nhóm
Vận tốc Pha:
Vận tốc truyền sóng sao cho pha là không đổi:
suy ra :
hay:
Vận tốc u lớn hơn vận tốc ánh sáng
Vận tốc pha không phải là vận tốc truyền năng lượng.
const)dxx(P)dtt(EPxEt
PdxEdt
v
c
v.m
c.m
P
E
dt
dx
u
22
Vận tốc nhóm là vận tốc chuyển động
của toàn bộ bó sóng.
Vận tốc nhóm của bó sóng bằng
vận tốc của hạt chuyển động.
v
mc
mvc
E
Pc
P
E
u 2
22
)]rkt(iexp[A)t,r(
III. TOÁN TỬ (OPERATOR)
1. Toán tử: Ánh xạ tác dụng lên một hàm biến hàm đó
thành một hàm khác:
Ví dụ :
)t,z,y,x(g)t,z,y,x(fAˆ
xt4)zyx2(Aˆ 2
2. Một số toán tử thông dụng
A-Toán tử đạo hàm:
Ví dụ: dx
dAˆ 2)zyx2(
dx
d)zyx2(Aˆ 22
321 e
z
e
y
e
x
dGra
3
2
21
22 eyeyz2e2)zyx2()zyx2(dgra
2
2
2
2
2
2
zyx
Aˆ
2
22
2
22
2
22
2
z
)zyx2(
y
)zyx2(
x
)zyx2()zyx2(Aˆ
z2)zyx2(Aˆ 2
zyx2)z,y,x(f 2
C-Toán tử Laplace:
Ví dụ :
B-Toán tử grad:
Ví dụ :
A. PHÉP TOÁN CHO TOÁN TỬ
1. PHÉP CỘNG:
Ví dụ :
CˆBˆAˆ
zxyx22)z,y,x(f)x
dx
d()zyx2(Cˆ 222
2. PHÉP TRỪ
Ví dụ:
DˆBˆAˆ
zxyx22)zyx2(Dˆ 222
)fBˆ(Aˆf)Bˆ.Aˆ(
zyx4)}zyx2(x{
dx
df)Bˆ.Aˆ( 22
)fAˆ(Bˆf)Aˆ.Bˆ(
xBˆ;
dx
dAˆ
3. PHÉP NHÂN
Ví dụ :
zyx2)z,y,x(f 2
DˆEˆAˆBˆ
x2)}zyx2(
dx
d{xf)AˆBˆ( 2 f)Bˆ.Aˆ(f)Aˆ.Bˆ(
B. GIAO HOÁN TỬ
1. Định nghĩa:
Ví dụ :
Aˆ.BˆBˆ.Aˆ
0)yz2(
dx
d)}zyx2(
dy
d{
dx
d)zyx2(Bˆ.Aˆ 22
zˆ,yˆ,xˆ
dy
dBˆ;
dx
dAˆ
2. Các toán tử giao hoán được
zyx2)z,y,x(f 2
0)2(
dy
d)}zyx2(
dx
d{
dy
d)zyx2(Aˆ.Bˆ 22
dz
d
;
dy
d
;
dx
d
2
2
2
2
2
2
dz
d
;
dy
d
;
dx
d
xy
;
yx
22
3. Các toán tử không giao hoán được
dz
d
;z
dy
d
;y
dx
d
;x
...
zy
;
yx
22
Bài tập : Xem các TT sau có thể giao hoán được với nhau ?
2. Tổ hợp toán tử giao hoán được
Khi mà
)DˆCˆ)(BˆAˆ(
AˆDˆDˆAˆAˆCˆCˆAˆ
BˆDˆDˆBˆBˆCˆCˆBˆ
321 e
z
e
y
e
x
dGra
2
2
2
2
2
2
zyx
Aˆ
321 ezeyexrˆ
rˆdGra
C. TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH (LINEAR OPERATOR)
1. Định nghĩa: cho các hàm f1 f2…fn và các hằng số c1
c2…cn A là TT tuyến tính
Các TT tuyến tính
]f.Aˆ[c}f.c{Aˆ iii
321 e
z
e
y
e
x
dGra
2
2
2
2
2
2
zyx
Aˆ
321 ezeyexrˆ
Bài tập : Xem các TT sau có tuyến tính không ?
2
2
2
2
2
2
dz
d
;
dy
d
;
dx
d
;
dz
d
;z;
dy
d
;y;
dx
d
;x
rˆdGra
Lagrange
D. HÀM RIÊNG VÀ TRỊ RIÊNG CỦA TOÁN TỬ
1. Định nghĩa:
Ví dụ : Ta có tìm hàm riêng trị riêng
)x(f)x(fAˆ
2. Dùng định nghĩa
dx
d
aˆ
3. Chuyển vế:
)x(f
dx
)x(df)x(faˆ
dx)x(f
)x(df
4. Lấy tích phân x.)c(lnc)x(flndx)x(f
)x(df
1
5. Biến đổi x
11 e)x(fcx.)x(fcln
x
2ec)x(f
6. Kết luận: Có nhiều trị riêng khác nhau
có nhiều hàm riêng khác nhau
E. TOÁN TỬ TỰ LIÊN HỢP TUYẾN TÍNH HERMITTE
1. Định nghĩa:Ta có là các hàm bất kỳ
 là TT Hermitte:
2. Ví dụ Xét toán tử
Xét vế trái : Dùng tích phân từng phần:
Vế phải:
So sánh:
Để Â là Hermitte thì ta có:
Kết luận: các hàm fi(x) khi nhân lẫn nhau bằng không
Gọi là trực giao
)x(f),x(f 21
dx)x(f].Aˆ)[x(fdx)x(fAˆ)x(f 1221
dx
diAˆ
])dxf
dx
df(ff[idx)x(f
dx
d)x(fi 122121
dx)x(f
dx
d)x(fidx)x(f].
dx
di)[x(f 1212
0)x(f).x(f 21
Tính chất TT hermitte
1. Nó có trị riêng là các giá trị thực.
2. Các hàm riêng là trực giao:
3. Các hàm riêng tạo thành một hệ đủ: một hàm bất
kỳ được khai triển thành tổ hợp TT các hàm trực
giao
KLkhi0
KLkhi1)KL()x(f).x(f KL
)x(fC)x(U
n
1k
kk
IV PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
Các tiên đề trong Cơ lượng tử
1. Mỗi đại lượng a trong CH cổ điển tương ứng một TT
Hermitte â trong CH Lượng tử sao cho trị riêng của â là số
thực bằng chính giá trị của đại lượng a.
Ví dụ là toán tử năng lượng có trị riêng là E
2. Hệ thức của các TT có hình thức giống hệt như các
đại lượng cổ điển tương ứng
H
rˆ,zˆ,yˆ,xˆ
]P.xr[L
Ví dụ: TT tọa độ là phép nhân
TT mômen xung lượng
Hai TT giao hoán thì chúng có cùng hàm riêng và không
tuân theo nguyên lý bất định.
Các toán tử thông dụng trong Cơ lượng tử
1. TT tọa độ= Tương ứng phép nhân
rˆ,zˆ,yˆ,xˆ
2. Các toán tử xung lượng
4. toán tử năng lượng:
toán tử thế năng
x
iPˆx
y
iPˆy
z
iPˆz
]
z
.e
y
.e
x
.e[iiPˆ 321
3. toán tử xung lượng tòan phần
)z,y,x(U
m2
PE
2
)
zyx
(
m2m2
Pˆ
2
2
2
2
2
222
)x,y,x(U)z,y,x(Uˆ
PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
Ý nghĩa
1. Hàm riêng và trị riêng của toán tử năng lượng.
Nếu năng lượng là không đổi
2. PT Schodinger không phụ thuộc t
Giải được:- Trị riêng là mức năng lượng
- Hàm riêng mô tả trạng thái
)t,z,y,x(E)t,z,y,x(Hˆ
)z,y,x()iEtexp(A)r()iEtexp(A)t,r(
)z,y,x(E)z,y,x(Hˆ)r(Hˆ
)z,y,x(.E)z,y,x()]z,y,x(U
m2
[
2
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
MỤC ĐÍCH KHI GIẢI
1. TÌM TRỊ RIÊNG: Tức là xác định các mức năng lượng
và xem nó có bị gián đọan không (lư