Download miễn phí Bài giảng Mô tả toán học hệ thống điều khiển rời rạc
Có thể mở rộng khái niệm sơ đồ dòng tín hiệu đã trình bày trong chương
2 cho hệ liên tục để áp dụng vào hệ rời rạc với một vài thay đổi nhỏ. Để sử
dụng công thức Mason cho hệ rời rạc cần để ý các nguyên tắc dưới sau đây:
-Nếu không có bộ lấy mẫu giữa đầu vào R(s) và khâu đầu tiên trong
vòng thuận (ví dụ như G(s)) thì không thể tách biệt biến đổi Zcủa đầu vào
và khâu đầu tiên và ta luôn có số hạng RG(z). Do đó trong trường hợp này
không thể tính được hàm truyền bằng tỉ lệ giữa biến đổi Z tín hiệu ra và tín
hiệu vào của hệ thống.
-Nếu một khâu trong vòng thuận hay trong vòng hồi tiếp phân biệt với
đầu vào, đầu ra của hệ thống và với các khâu khác bởi các bộ lấymẫu ở đầu
vào và đầu ra của nó thì nó hoàn toàn độc lập về biến đổi Z
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
omz
z
zdz
dzkku Z
221
1
)1()1(
)(
om
z
Tz
z
TzkkTu Z
Vậy
221
1
)1()1(
)()(
om
z
Tz
z
TzkkTukr Z (ROC: 1!z )
7.2.3.4. Hàm mũ:
Hàm mũ liên tục trong miền thời gian:
¯
®
t
00
0
)(
t
tetx
at
nếu
nếu
Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy mẫu là T,
ta được:
¯
®
t
00
0
)(
k
kekx
ka
nếu
nếuT
)()( kuekx kaT
Theo định nghĩa:
^ `
f
f
f
¦¦ 221
0
1)()()( zezezkxzkxkx aTaT
k
k
k
kZ
21 )()(1 zeze aTaT
Nếu 1)( 1 zeaT thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Áp dung công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta suy ra:
^ ` aTaT ez
z
ze
kx
1)(1
1
)(Z
Vậy: aTaT
kaT
ez
z
ze
kue
om
1)(1
1
)()(
Z
(ROC: 1!zeaT aTez ! )
0
t
x(t)
1
0
k
x(k)
1
}
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 10
Kết quả trên ta dễ dàng suy ra:
az
z
az
kuak
om 11
1
)(
Z
7.2.4. Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cho hàm X(z), bài toán đặt ra là tìm x(k). Theo công thức biến đổi Z
ngược, ta có:
³
C
k dzzzX
j
kx 1).(
2
1
)(
S
với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong ROC của X(z) và bao gốc tọa độ.
Tìm x(k) bằng công thức trên rất phức tạp, thực tế ta thường áp dụng
các cách sau:
x Cách 1: Phân tích X(z) thành tổng các hàm cơ bản, sau đó tra bảng biến
đổi Z.
Thí dụ 7.1: Cho
)3)(2(
)(
zz
zzX . Tìm x(k).
Lời giải:
Phân tích X(z), ta được:
)3()2(
)(
z
z
z
zzX
Tra bảng biến đổi Z:
az
zkuak
omZ)(
Suy ra: )()32()( kukx kk
x Cách 2: Phân tích X(z) thành chuổi lũy thừa:
Theo định nghĩa biến đổi Z:
...).3().2().1().0()()( 3210
0
f
¦ zxzxzxzxzkxzX
k
k
Do đó nếu phân tích X(z) thành tổng của chuổi lũy thừa ta sẽ được giá
trị x(k) chính là hệ số của thành phần kz .
Thí dụ 7.2: Cho
)3)(2(
)(
zz
zzX . Tìm x(k).
Lời giải:
65)3)(2(
)(
2
zz
z
zz
zzX
Chia đa thức, ta được:
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 11
3321 65195)( zzzzzX
Suy ra: 0)0( x ; 11 )(x ; 5)2( x ; 193 )(x ; 65)4( x ,…
x Cách 3: Tính x(k) bằng công thức đệ qui
Thí dụ 7.3: Cho
)3)(2(
)(
zz
zzX . Tìm x(k).
Lời giải: Ta có
21
1
2 65165)3)(2(
)(
zz
z
zz
z
zz
zzX
121 )()651( zzXzz
122 )(6)(5)( zzXzzXzzX
Biến đổi Z ngược hai vế phương trình trên (để ý tính chất dời trong miền
thời gian), ta được:
)1()2(6)1(5)( kkxkxkx G
)1()2(6)1(5)( kkxkxkx G
Với điều kiện đầu: 0)1( kx
0)2( kx
Thay vào công thức trên ta tìm được:
0)0( x ; 1)1( x ; 5)2( x ; 19)3( x ; 65)4( x ,…
x Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư
> @ củacựccáctạiRes )(1 1)()( zXzk kzXzkx ¦
Nếu z0 là cực bậc 1 thì:
> @
00
)()()(Res 10zz
1
zz
kk zXzzzzXz
Nếu z0 là cực bậc p thì:
> @ > @
00
)()(
)!1(
1
)(Res 101
1
zz
1
zz
kp
p
p
k zXzzz
dz
d
p
zXz
Thí dụ 7.4: Cho
)3)(2(
)(
zz
zzX . Tìm x(k).
Lời giải: Áp dụng công thức thặng dư, ta được:
> @ > @z2z ResRes 311 )()()( zXzzXzkx kk
Mà:
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 12
x > @ 212z1 )()2()(Res zkk zXzzzXz
2
1
)3)(2(
)2(
z
k
zz
zzz
k
z
k
z
z
2
)3( 2
x > @ 313z1 )()3()(Res zkk zXzzzXz
3
1
)3)(2(
)3(
z
k
zz
zzz
k
z
k
z
z
3
)2( 3
Do đó: kkkx 32)(
7.3. MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN
7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc
Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc được mô tả
bằng phương trình sai phân:
)()1(...)1()( 110 kcakcankcankca nn
)()1(...)1()( 110 krbkrbmkrbmkrb mm (7.17)
trong đó mn t , n gọi là bậc của hệ thống rời rạc
Biến đổi Z hai vế phương trình (7.17) ta được:
)()(...)()( 1
1
10 zCazzCazCzazCza nn
nn
)()(...)()( 1
1
10 zRbzzRbzRzbzRzb mm
mm
)(]...[)(]...[ 1
1
101
1
10 zRbzbzbzbzCazazaza mm
mm
nn
nn
nn
nn
mm
mm
azazaza
bzbzbzb
zR
zC
1
1
10
1
1
10
...
...
)(
)(
Đặt:
nn
nn
mm
mm
azazaza
bzbzbzb
zR
zCzG
1
1
10
1
1
10
...
...
)(
)(
)( (7.18)
G(z) được gọi là hàm truyền của hệ thống rời rạc.
Hệ thống rời rạc
r(k) c(k)
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 13
Hàm truyền (7.18) có thể biến đổi tương đương về dạng:
n
n
n
n
m
m
m
m
mn
zazazaa
zbzbzbbz
zR
zCzG
1
1
1
10
1
1
1
10
)(
...
]...[
)(
)(
)( (7.19)
Hai cách biểu diễn trên hoàn toàn tương đương nhau, trong thực tế hàm
truyền dạng thứ hai được sử dụng nhiều hơn.
Thí dụ 7.5: Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân:
)()2(2)(3)1(5)2(2)3( krkrkckckckc
Tìm hàm truyền của hệ thống.
Lời giải: Biến đổi Z hai vế phương trình sai phân mô tả hệ thống, ta được:
)()(2)(3)(5)(2)( 223 zRzRzzCzzCzCzzCz
352
12
)(
)(
)(
23
2
zzz
z
zR
zCzG
321
21
3521
)2(
)(
)(
)(
zzz
zz
zR
zCzG
7.3.2. Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
Khi thêm vào hệ thống liên tục các khâu lấy mẫu, khâu giữ dữ liệu (và
bộ điều khiển số) ta được hệ thống điều khiển rời rạc. Bài toán đặt ra là tìm
hàm truyền hệ rời rạc theo biến z từ sơ đồ khối có các khâu lấy mẫu. Xét
một số sơ đồ thường gặp sau đây:
7.3.2.1. Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu
Hình 7.6: Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu
)()(
)(
)(
)( 21 zGzGzR
zCzG (7.20)
Trong đó: ^ `)()( 11 sGzG Z
^ `)()( 22 sGzG Z
R(s) C*(s)
G1(s) G2(s)
R*(s)
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 14
Thí dụ 7.6: Cho
as
sG
1)(1 và bs
sG
1)(2 . Tìm hàm truyền tương đương
của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.6.
Lời giải
Tra bảng biến đổi Z, ta có:
^ ` aTez
z
as
sGzG
¿
¾
½
¯
®
1)()(
11
ZZ
^ ` bTez
z
bs
sGzG
¿
¾
½
¯
®
1)()(
22
ZZ
Do đó dễ dàng suy ra:
))((
)()(
2
21 bTaT ezez
zzGzG
7.3.2.2. Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu
Hình 7.7: Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu
)(
)(
)(
)( 21 zGGzR
zCzG (7.21)
Trong đó: ^ `)()()(
2121
sGsGzGG Z
Cần chú ý là:
^ ` ^ ` ^ ` )()()()()()()( 21212121 zGGsGsGsGsGzGzG z ZZZ
Thí dụ dưới đây sẽ minh họa điều này.
Thí dụ 7.7: Cho
as
sG
1)(1 và bs
sG
1)(2 . Tìm hàm truyền tương đương
của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.7.
Lời giải
Tra bảng biến đổi Z, ta có:
^ `
¿
¾
½
¯
®
))((
1
)()()(
1121 bsas
sGsGzGG ZZ
R(s)
G1(s)
C*(s)=C(z)
G2(s)
R*(s)
T T
Chương7: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 15
¿
¾
½
¯
®
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
bsbaasab
Z
¿
¾
½
¯
®
¿
¾
½
¯
®
)(
1
)(
1
)(
1
)(
1
bsbaasab
ZZ
)()(
1
)()(
1
bTaT ez
z
baez
z
ab
))()((
)(
)(21 bTaT
aTbT
ezezab
eezzGG
Rõ ràng kết quả tính hàm truyền tương đương của hai hệ thống ở thí dụ
7.6 và 7.7 hoàn toàn khác nhau.
7.3.2.3. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số
Hình 7.8: Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số
)(1
)(
)(
)(
)(
zGH
zG
zR
zCzGk
(7.22)
Trong đó: ^ `)()( sGzG Z
^ `)().()( sHsGzGH Z
Trường hợp H(s) = 1 (hệ thống hồi tiếp âm đơn vị) ta có:
)(1
)(
)(
)(
)(
zG
zG
zR
zCzGk
(7.23)
Thí dụ 7.8: Cho
as
sG
1)( và
bs
sH
1)( . Tìm hàm truyền tương đương
của hai hệ thống có sơ đ