Felabeorbt
New Member
Download miễn phí Luận văn Nghiệm toàn cục của một số lớp phương trình vi phân phức
Mục lục
Mở Đầu . 1
Chương I. Cơ sở lý thuyết Nevanlinna . 3
1.1. Hàm phân hình . 3
1.2. Định lý cơ bản thứ nhất . 4
1.2.1. Công thức PoissonưJensen . 4
1.2.2. Hàm đặc trưng . 10
1.2.2.1. Một số khái niệm . 10
1.2.2.2. Một số tính chất của hàm đặc trưng . 13
1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất của Nevanlinna . 14
1.2.4. Định lý Cartan về đồng nhất thức và tính lồi . 20
1.3. Định lý cơ bản thứ hai . 23
1.3.1. Giới thiệu . 23
1.3.2. Bất đẳng thức cơ bản . 23
1.3.3. Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna . 31
1.3.4. Quan hệ số khuyết . 31
1.4. Một số ứng dụng của các định lý cơ bản . 36
1.4.1. Các ví dụ . 36
1.4.2. Định lý 5 điểm của Nevanlinna . 38
Chương II. Nghiệm toàn cục của phương trình vi phân . 42
2.1. Giới thiệu . 42
2.2. Định nghĩa hàm nhỏ . 43
2.3. Một số bổ đề . 43
2.3.1. Bổ đề 1 . 43
2.3.2. Bổ đề 2 . 43
2.3.3. Bổ đề 3 . 43
2.4. Các định lý . 43
2.4.1. Định lý A . 44
2.4.2. Định lý B . 44
2.4.3. Định lý 1 . 44
2.4.4. Định lý 2 . 48
2.4.5. Định lý 3 . 52
Kết luận . 54
Tài liệu tham khảo . 55
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
,
=
. , 1
p
az
p T r e O
.
Tính
,
p
az
T r e
. Đặt paz
g e
. Ta có
, , ,T r g m r g N r g
.
Do g chỉnh hình nên:
, 0N r g
suy ra
, , ,
p
az
T r g m r g m r e
.
2
0
1
, log ,
2
i
p a re p
az
m r e e d
= 2 cos sin
0
1
log
2
p
ar p i p
e d
,
= 2 cos
0
1
log
2
p
a r p
e d
,
=
2
2
1
cos
2
p
p
p
a r p d
,
=
2
2
1 1
. . sin
2
p
p
p
p
a r
a r p
p p
.
Nh• vậy
,
p
a r
T r g
p
,
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn
20
suy ra
, 1 .
pa
T r f r O
1.2.4. Định lý Cartan về đồng nhất thức và tính lồi
1.2.4.1. Định lý
Giả sử f(z) là một hàm phân hình trong
z R
. Khi đó:
2
0
1
, , log 0
2
iT r f N r e d f
, với ( 0 < r
Ta áp dụng công thức Jensen (1.6) cho hàm f(z) = a ’ z với R = 1 và thu
đ•ợc:
2
0
log , 11
log .
2 log log 0, 1
i
a a
a e d
a a a
Nh• vậy trong mọi tr•ờng hợp ta đều có:
2
0
1
log log .
2
ia e d a
(*)
Lại áp dụng (1.6) cho hàm số
if z e
và có:
2
0
1
log 0 log . , , .
2
i i i if e f r e e d N r N r e
Lấy tích phân hai vế theo biến
và thay đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân
vế phải ta có:
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn
21
2 2 2
0 0 0
2 2
0 0
2 2 2
0 0 0
1 1 1
log 0 log .
2 2 2
1 1
, ,
2 2
1 1 1
log . , , .
2 2 2
i i i
i i i
f e d f r e e d d
N r d N r e d
f r e e d d N r N r e d
áp dụng công thức (*) ta có:
2 2
0 0
1 1
log 0 log , , .
2 2
i if f re d N r N e d
Từ đó:
2 2
0 0
2
0
2
0
1
, log , log 0 ,
2
1
, , , log 0 ,
2
1
, , log 0 .
2
i i
i
i
N r f re d N r e d f
N r f m r f N r e d f
T r f N r e d f
Với ( 0 < r < R).
Vậy định lý đ•ợc chứng minh.
1.2.4.2. Hệ quả 1: Hàm đặc tr•ng Nevanlinna T(r,f) là một hàm lồi tăng
của logr với 0 < r
Ta thấy rằng
, iN r e
hiển nhiên là hàm tăng, lồi của logr nên ta suy ra
hàm T(r,f) cũng có tính chất nh• vậy và hệ quả đ•ợc chứng minh. Trong tr•ờng
hợp này chúng ta có:
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn
22
2
0
1
, , .
2
idr T r f n r e d
dr
1.2.4.3. Hệ quả 2: Trong mọi tr•ờng hợp chúng ta đều có
2
0
1
, log 2.
2
im r e d
Chứng minh
Sử dụng định lý cơ bản thứ nhất cho hàm f(z) với ia a chúng ta có:
, , , log 0i i iT r f m r e N r e f e G , trong đó
log 2G
. Lấy tích phân hai vế theo biến
ta có:
2 2 2
0 0 0
1 1 1
, , ,
2 2 2
i iT r f d m r e d N r e d
+
2 2
0 0
1 1
log 0 .
2 2
if e d G d
Sử dụng định lý (1.2.4.1), công thức (*) ta sẽ thu đ•ợc:
2 2
0 0
1 1
, , , log 0 log 0 .
2 2
iT r f m r e d T f f f G d
Nh• vậy:
2 2 2
0 0 0
1 1 1
, log 2 log 2.
2 2 2
im r e d G d d
Hệ quả 2 đ•ợc chứng minh.
* Nhận xét:
Định lý Cartan v¯ hệ qu° chỉ ra rºng “trung bình “ của các giá trị của hàm
m(r,a) lấy trên một vòng tròn l¯ “ khá nhỏ”, h¯m T(r,f) hầu nh• chỉ phụ thuộc
trung bình của giá trị N(r,a) trên vòng tròn.
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn
23
1.3. Định lý cơ bản thứ hai
1.3.1. Giới thiệu
Trong mục tr•ớc chúng ta đã định nghĩa hàm đặc tr•ng Nevanlinna và có
đ•ợc định lý: với mỗi số phức a,
, , 1m R a N R a T R O
. Từ đó
chúng ta cũng thấy rằng tổng m + N có thể xem là độc lập với a. Đó chính là kết
quả của định lý thứ nhất. Định lý cơ bản thứ hai sẽ cho ta thấy rằng trong tr•ờng
hợp tổng quát số hạng N(R,a) chiếm •u thế trong tổng m + N và thêm nữa trong
N(R,a) chúng ta không thể làm giảm tổng đó nhiều nếu các nghiệm bội đ•ợc tính
một lần. Từ kết quả này cũng suy ra định lý Picard, nói rằng hàm phân hình nhận
mọi giá trị, trừ ra cùng lắm là hai giá trị.
Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna đ•ợc suy từ định lý sau,đ•ợc gọi là
bất đẳng thức cơ bản.
1.3.2. Bất đẳng thức cơ bản
Để đơn giản, chúng ta sẽ viết m(r,a) thay cho m(r,1 / f ’ a) và
,m r
thay cho m(r,f).
1.3.2.1. Định lý
Giả sử f(z) là hàm phân hình khác hằng số trong
z r
. Giả sử a1,
a2,….aq là các số phức hữu hạn riêng biệt, 0 và
va a
với
1 v q
. Khi đó:
1
1
, , 2 , .
q
v
v
m r m r a T r f N r S r
Trong đó N1(r) d•ơng và đ•ợc định nghĩa:
1
1
, 2 , , ' .
'
N r N r N r f N f
f
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn
24
1
' ' 3 1
, , log log 2 log .
' 0
q
v v
f f q
S r m r m r q
f f a f
Chứng minh:
Với các số phân biệt av;
1 2
log 1 logq
f z av
, ta xét hàm:
1
1
.
q
v v
F z
f z a
a) Giả sử rằng với một số v nào đó
3
vf z a
q
. Khi đó với
v
ta có:
2
.
3 3q
f z a a a f z a
Bởi vậy với
v
3 1 1
.
2 2
1
v
z a q f z af
Nh• vậy ta có:
1 1
1 .
22
1 1 1
v v v v
q
F z
z a z a z aqf z af f f
Từ đó ta có:
1log log log2.F z
f z av
Trong tr•ờng hợp này:
1
1 2log log log log2
q
F z q
f z a
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn
25
1
1 3log log log2.
q qq
f z a
(**)
Bởi vì với
v
,
1 3 2
log log log .
2f z a
Nên ta có:
1
1 11
log log log
q
vf z af z a f z av
1 2
log 1 log .q
f z av
Suy ra:
1 2
log 1 l...