Một số kết quả nghiên cứu gần đây về các ánh xạ chỉnh hình tách biến

Download miễn phí Luận văn Một số kết quả nghiên cứu gần đây về các ánh xạ chỉnh hình tách biến

MỤC LỤC
Trang
Mở đầu. .1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. .5
1.1. Miền xấp xỉ. .5
1.2. Tập đa cực. .9
1.3. Hàm cực trị tương đối. .9
1.4. Độ đo đa điều hoà dưới. .10
1.5. Ánh xạ chỉnh hình tách.11
1.6. Tính chất thác triển Hartogs. .14
1.7. Lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý của Rosay trên các đĩa
chỉnh hình. . .15
Chương 2. Một số kết quả nghiên cứu gần đây về ánh xạ chỉnh hình tách
biến. .17
2.1. Dạng tổng quát của định lý Alehyane - Zeriehi trong trường hợp,  A D B G. .17
2.2 Bài toán 1 trong trường hợp,   A D B G. .23
2.3. Bài toán 1 trong trường hợp tổng quát. .36
2.4. Bài toán 2. .51
2.5. Một số áp dụng. . 55
Kết luận . .58
Tài liệu tham khảo. . .59


http://cloud.liketly.com/flash/edoc/jh2i1fkjb33wa7b577g9lou48iyvfkz6-swf-2014-01-01-luan_van_mot_so_ket_qua_nghien_cuu_gan_day_ve_cac.179evbuIHE.swf /tai-lieu/de-tai-ung-dung-tren-liketly-53151/
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí

Tóm tắt nội dung tài liệu:

ạ duy
nhất  ( ( , ; , ), )Î ÇXOa a af A U B U G Zsao cho
 ( , ) ( , ) ( , ), a af z w f z w f z w( , ) ( , ; , )
 Î Ç Ç ÇX a az w A A U B B U G
(2.5)
Cho 1
0
2
 <
, từ (2.4) và (2.5) ta có thể dán họ ánh xạ

,
( )
a G   a U a A A
f
Ç
|
được ánh xạ dán
 ( , )  Î Of A G Z
(2.6)
Từ (2.5) và (2.6) ta xác định được ánh xạ mới
f d
trên
( , ; , ) 
A B B D GX Ç
như sau:
  , :
, ( ).
  


 
 

f A G
f
f D B BÇ
,
trên
trên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
22
sử dụng kết quả này và (2.5), (2.6) ta có
 ( ( , ; , ), )S  Î ÇXf Of A B B D G Z
,
và

 f f
trên
( , ; , )
 A A B B D GX Ç Ç
.
Vì
A
là một tập con mở của đa tạp phức
D
và
G
là song chỉnh hình
tới tập mở bị chặn trong  n nên áp dụng bước 1 cho 
f
để có được ánh xạ
 ( ( , ; , ), )  
Î ÇXf Of A B B D G Z
sao cho
 
 f f
trên
( , ; , ) 
A B B D GX Ç
.
Dán họ ánh xạ

1
0
2
( )



f
<
lại với nhau để được f như sau:
 
0
: lim 

f f
trên W .
Thực ra đẳng thức
 
1
0
2
( , ; , ) 

  XfW A B B D G
< <
Ç
có được từ (2.4).
Bước 4: Hoàn thành chứng minh định lý.
Sơ lược chứng minh bước 4. Với mỗi Î Ça A A cho
( , ; , ): a aa A U B U Gf f X ǽ
, từ
 ,sÎ Of W Zo
suy ra
( ( , ; , ), )s XOa a af A U B U G ZÎ Ç
.
Do
aU
là song chỉnh hình tới một tập mở bị chặn trong  m nên áp
dụng bước 3 cho
af
thì có một ánh xạ  ( ( , ; , ), )Î ÇXOa a af A U B U G Zsao cho
 ( , ) ( , ),af z w f z w( ) ( , ; , )
  a az w A A U B B U GX Ç Ç Ç
(2.7)
Cho 1
0
2
 <
, từ (2.7) ta có thể dán họ ánh xạ

,
( )
aU G A A   a a
f
Ç
|
được ánh
xạ  ( , )  Of A G Z¢ Î .
Tương tự, với mỗi b B BÎ Ç có một ánh xạ
 ( ( , ; , ), )Î ÇXOb b bf A B V D V Z
sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
23
 ( , ) ( , ),bf z w f z w
( , ) ( , ; , ) Î Ç Ç ÇX b bz w A A B B V D V
(2.8)
Hơn nữa ta có thể dán họ ánh xạ

,
( )
b   b D V b B B
f
Ç
½
để có được ánh
xạ  ( , )  Of D B Z¢¢ Î .
Từ (2.4), (2.7) và (2.8) suy ra
 
 f
¢ ¢¢
¦
trên
 A B
.
Sử dụng kết quả này ta có thể định nghĩa ánh xạ mới

¦
:
( , ; , )    A B D G ZX
như sau



, ,
:
, .
  

  
 
 
 
A G
D B
¢
¢¢
¦
¦
¦
sử dụng công thức trên ta có thể kiểm tra
 ( ( , ; , ), )S    ¦ Î Xf O A B D G Z
.
Từ (2.4) ta có
A
(tương ứng
B
) là một tập con mở của
Df
(tương ứng
Gf
)
nên áp dụng bước 2 cho

¦
với mỗi 1
0
2
 <
ta được một ánh xạ
 ( ( , ; , ), )    ¦ Î Xf O A B D G Z
sao cho
 
 ¦ ¦
trên
( , ; , )   A B D GX
.
Ta có thể định nghĩa ánh xạ thác triển f .
 
0
: lim 
¦ ¦
trên W .
Thực ra đẳng thức
 
1
0
2
( , ; , )   

 W A B D Gf X
< <
có được từ (2.4).
2.2. Bài toán 1 trong trƣờng hợp
,   A D B G
.
Trong phần này chúng tui sẽ trình bày hai trường hợp riêng của bài
toán 1 với mục đích sử dụng hai hệ các miền xấp xỉ khác nhau được định
trên
trên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
24
nghĩa trong phần 1.1.2. Các kết quả này là công trình nghiên cứu chung của
Nguyễn Việt Anh và Pflug (xem [27,28,29]).
2.2.1. Trường hợp
,X Y
là các đa tạp một chiều.
Định lý 2.2.1. Cho
,X Y
là các diện Riemann và
D X
và
G Y
là các tập
con mở,
A
(tương ứng
B
) là tập con của
D
(tương ứng
G
) sao cho
D
(tương ứng
G
) là tốt trên
A
(tương ứng
B
), cả
A
và
B
đều là các tập có chiều
dài dương. Đặt
  
  
: ( , ; , ), : ( , ; , ),
: ( , ) : , , ) ( , , ) 1 ,
: ( , ) : , , ) ( , , ) 1 .
W W
W
W
 
  
  
X XA B D G A B D G
z w D G z A D w B G
z w D G z A D w B G
¢ ¢ ¢
¢ ¢ ¢
w
w w
Î ( <
Î ( <
Trong đó A ¢ (tương ứngB ¢ ) là tập hợp các điểm mà tại đó A (tương
ứng
B
)là đa chính quy địa phương tương ứng với hệ các miền xấp xỉ góc giá
trên
A
(tương ứng
B
) và
( , , ) A Dw
,
( , , ) A D¢w
(tương ứng
( , , ) B Gw
,
( , , ) B G¢w
)
được tính với hệ chính tắc của các miền xấp xỉ.
Khi đó với mỗi hàm
: W ¦
thoả mãn các điều kiện sau:
(i) Với mọi
Îa A
hàm
( , ) Gf a ½
là hàm chỉnh hình và có giới hạn góc
( , )f a b
tại mọi điểm
Îb B
, và với mọi
Îb B
hàm
( , ) Df b ½
là hàm chỉnh hình
và có giới hạn góc
( , )f a b
tại mọi điểm
Îa A
.
(ii)
f
là bị chặn địa phương.
(iii)
A Bf½
là liên tục.
thì tồn tại một hàm duy nhất
  ',Î Of W
nhận giới hạn góc
f
tại mọi điểm
của
W W ¢Ç
.
Nếu
, A B
là các tập Borel hay nếu
  X Y thì  W W ¢ .
Chứng minh:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
25
Chứng minh của định lý này gồm hai bước. Trước hết P. Pflug và
Nguyễn Việt Anh chứng minh định lý trong trường hợp
D
và
G
là các miền
Jordan trong
.
Sau đó họ chứng minh định lý trong trường hợp tổng quát.
Với mỗi
0 1< <
tập hợp
 : : ( , , ) 1  D z D z A DwÎ <(tương
ứng
 : : ( , , ) 1 )  G w G w B GÎ điều hoà
( , , ) A Dw
(tương ứng
( , , ) B Gw
). Trong bước thứ nhất P. Pflug và
Nguyễn Việt Anh cải tiến phương pháp của Gonchar (xem [8, 9]) bằng việc
vận dụng công thức của Carleman (xem [3]) và các tính chất hình học của các
tập mức của các hàm độ đo điều hoà. Trong bước thứ hai họ áp dụng định lý
kiểu chữ thập hỗn hợp để chứng minh định lý 2.2.1 với
D
(tương ứng
G
) được
thay thế bởi
D
(tương ứng
G
). Khi đó họ đi đến kết luận với các tập mở gốc
D
(tương ứng
G
) bằng kỹ thuật dán.
Bƣớc 1: Giả sử
D
và
G
là các miền Jordan.
Cho
Î{ }j j Ja
là dãy hữu hạn hay tập con đếm được của
A
với các tính
chất sau:
(i) Với bất kỳ
Îj J
có một lân cận mở
jU
của
ja
sao cho
jD UÇ
cũng là một miền Jordan hay là hợp rời nhau của hai miền Jordan.
(ii)

 j
j J
A U
Với mỗi 1
0
2
 <
ta định nghĩa
 
 
,
,
: : ( , , ) ,
: ,
: : ( , , ) .

 









j j j j
j
j J
U z D U z A U D U j J,
A U
G w G w B G
Î È Ç Ç < Î
Î < 1-
w
w
Hơn nữa với mỗi
Îj J
đặt
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
26
 

: ( ( ) , ; , ),
: ( ( ) , ; , ),
:
 
 

X
X
j
j j j
j j j
j W
W D U A B D U G
W D U A B D U G
f f |
Ç Ç Ç
Ç Ç Ç
¢ ¢
(2.9)
Sử dụng giả thiết của
f
và chú ý rằng
 , jf j JÎ
thoả mãn điều kiện (i), (ii)
của định lý, hơn nữa vì
G
là miền Jordan và
jD UÇ
,
Îj J
cũng là miền Jordan
hay hợp rời nhau của hai miền Jordan ta có thể suy ra với
Îj J
có duy nhất
một hàm  ( )O jjf WÎ ¢ , một tập con jA
của
( ) D U AÇ Ç
, một tập...