Download miễn phí Luận văn Họ S- Chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính hyperbolic của các không gian phức
MỤC LỤC
Lời mở đầu. 1
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị . 3
1.1. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức . 3
1.2. Không gian phức hyperbolic . 5
1.3. Không gian phức hyperbolic Brody . 9
1.4. Không gian phức hyperbolic đầy . 10
1.5. Không gian phức nhúng hyperbolic . 16
1.6. Metric vi phân Royden-Kobayashi . 18
Chương 2: Họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính hyperbolic của
không gian phức . 21
2.1. Họ s-chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tiêu chuẩn metric cho tính s-chuẩn tắc . 21
2.2. Tính chuẩn tắc và tính hyperbolic . 34
Kết luận . 47
Tài liệu tham khảo . 48
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
/ 2))U a t s. Ta chứng minh
nx
có dãy con hội tụ. Theo giả thiết, với mỗi n
tồn tại điểm
( , )ny U a t
sao cho
3
( , ) .
4
n nd x y s
Vì
( , )U a t
là compact, bằng cách lấy dãy con nếu cần ta có thể giả thiết
ny
hội
tụ với
( , ).y U a t
Khi đó
( , )U y s
chứa xn với n đủ lớn. Vì
( , )U y s
là compact theo
giả thiết, nên dãy
( , )nx x U y s
. Rõ ràng
( , ( / 2))x U a t s
. Bổ đề đƣợc
chứng minh.
1.4.5. Bổ đề
Giả sử X là không gian con phức compact địa phương với hàm khoảng cách d
thỏa mãn đẳng thức
( , ), ' ( , ')U U a r r U a r r
với mọi
a X
và
, ' 0.r r
Khi đó X là đầy đối với hàm khoảng cách d nếu và chỉ
nếu bao đóng
( , )U x r
là compact với mọi
x X
và với mọi số dương r.
Chứng minh
Nếu mọi hình cầu đóng
( , )U a r
là compact với mọi
,a X
thì hiển nhiên X là
đầy. Thật vậy, giả sử
nx
là dãy Côsi trong X, khi đó
nx
bị chặn, do đó tồn tại
r > 0,
x X
sao cho
( , )nx U x r
. Theo giả thiết
( , )U x r
là compact, nên tồn
tại dãy con
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
, ( , )
k kn n n
x x x y U x r
.
Mà
nx
là dãy cơ bản nên
nx y X
. Vậy X là đầy.
Ngƣợc lại, giả sử X là đầy. Theo bổ đề 1.4.4, ta chỉ cần chứng minh tồn tại số
s > 0 sao cho với mọi dãy
x X
hình cầu đóng
( , )U s x
là compact. Giả sử ngƣợc
lại, khi đó tồn tại
1x X
sao cho
1( ,1/ 2)U x
không là compact. Theo bổ dề 1.4.4,
tồn tại
2 1( ,1/ 2)x U x
sao cho
2
1( ,1/ 2 )U x
không là compact. Lập luận tƣơng tự,
tồn tại
1
1( ,1/ 2 )
n
n nx U x
sao cho
( ,1/ 2 )nnU x
không là compact. (*)
Theo giả thiết, dãy Côsi
nx
hội tụ tới điểm x. Vì X là compact địa phƣơng, tồn
tại hình cầu đóng
( , )U x t
với t > 0 nào đó thỏa mãn
( ,1/ 2 )nnU x
nằm trong
( , )U x t
với n đủ lớn, và do đó
( ,1/ 2 )nnU x
phải là compact. Điều này mâu thuẫn
với (*).
Chứng minh mệnh đề 1.4.2
Suy ra từ các bổ đề 1.4.3 và 1.4.5.
1.4.6. Định lý
Giả sử X là không gian con phức compact tương đối của không gian phức Y.
Nếu X là hyperbolic Brody trong Y, thì tồn tại một lân cận mở của X trong Y
mà là hyperbolic.
Chứng minh
(Xem định lý 4.2.1 trong [1])
Định lý sau là một ứng dụng của định lý Brody trong việc xét tính hyperbolic
qua các ánh xạ chỉnh hình riêng.
1.4.7. Định lý
Giả sử
: X Y
là ánh xạ chỉnh hình riêng giữa các không gian phức.
Khi đó
i) Nếu Y là hyperbolic và mỗi thớ
1( )y
là hyperbolic với mọi
y Y
thì X là
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
hyperbolic .
ii) Nếu có điểm
0y Y
sao cho
1
0( )y
là hyperbolic, thì tồn tại một lân cận U
của y0 trong Y sao cho 1( )y là hyperbolic với mọi y U .
Chứng minh
i) Theo bổ đề Eastwood ta chỉ cần chứng minh rằng với
y Y
cho trƣớc, tồn tại
một lân cận mở U của y sao cho
1( )U
là hyperbolic.
Lấy U là lân cận mở của y sao cho
U
là compact. Khi đó
1( )U
là mở và
bao đóng của nó nằm trong
1( )U
và do đó là compact (vì là ánh xạ riêng và
U
là compact). Theo định lý Brody nếu
1( )U
không là hyperbolic thì tồn tại
một ánh xạ chỉnh hình khác hằng
1: ( )f U
(*).
Với mọi
, 'x x
ta có
1( )
( ( ( )), ( ( '))) ( ( ), ( ')) ( , ') 0Y U
k f x f x k f x f x k x x
.
Suy ra
( ( ( )), ( ( '))) 0,Yk f x f x
mà Y là hyperbolic nên
( ( )) ( ( ')).f x f x
Vậy
f
là ánh xạ hằng hay
0( ( )) f x y x
. Do đó
1
0( ) ( ).f y
Theo giả thiết
1
0( )y
là hyperbolic nên theo mệnh đề 1.3.2 ta có
1: ( )f U
cũng là ánh xạ hằng. Điều này mâu thuẫn với (*). Tránh mâu
thuẫn này thì
1( )U
là hyperbolic. Vậy X là hyperbolic.
ii) Vì là ánh xạ riêng
0y
là tập compact nên
1
0( )y
là compact, theo định lý
1.4.6 có lân cận V của
1
0( )y
, V là hyperbolic, do đó tồn tại lân cận U của
0y
sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
1( )U V
(**).
Suy ra với mọi
y U
có
1 1( ) ( ) ,y U V
V là hyperbolic.
Vậy
1( )y
là hyperbolic với mọi
.y U
Chứng minh (**): Giả sử (**) không xảy ra suy ra tồn tại dãy
\nx X V
sao cho
0( )n nx y y
.
Gọi K là lân cận compact của y0 trong Y, do là ánh xạ riêng suy ra 1( )K là
compact trong X. Vì
0ny y
nên tồn tại n0 để
0n n
thì
.ny K
Do đó tồn tại dãy
kn n
x x
sao cho
0k
k
nx x
, mà liên tục nên
0 0( ) lim ( ) limk kn nk k
x x y y
.
Suy ra
1
0 0( )x y V
. Vậy
0k
k
nx x V
nên tồn tại
0 k
sao cho
0 k k
thì
.
kn
x V
Điều này mâu thuẫn với giả thiết
\ .nx X V
Do vậy
1 1( ) ( ) ,y U V
V là hyperbolic nên
1( )y
là hyperbolic
.y U
Định lý đƣợc chứng minh.
1.4.8. Mệnh đề
Giả sử X là không gian hyperbolic đầy và f là một hàm chỉnh hình bị chặn.
Khi đó tập mở
( ) 0fX x X f x
là hyperbolic đầy.
Chứng minh
Do
:f X £
là hàm bị chặn nên nếu nhân f với số
0c
đủ nhỏ ta có thể
giả thiết
:f X
. Giả sử
nx
là dãy
fX
k
- Côsi, do
fX X
nên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
fX X
k k
suy ra nx
là dãy
Xk
- Côsi, X đầy nên
nx
hội tụ đến
x X
. Ta
chứng minh
fx X
.Ta có
*( ( ), ( )) ( ( ), ( )) ( , ) 0.fn m n m X n mk f x f x k f x f x k x x
Suy ra
( )nf x
là dãy
*k
-Côsi mà * là hyperbolic đầy nên
mà
*k k
nên
( )nf x
hội tụ theo
k
đến y. Lại do f liên tục và
Xk
n n
x x
,
( ) 0,
n
nf x y
suy ra
( ) 0y f x
do đó
fx X fX
đầy.
Rõ ràng
,fX X
X là hyperbolic nên
fX
hyperbolic.
Vậy
fX
là hyperbolic đầy (đpcm).
1.5. KHÔNG GIAN PHỨC NHÚNG HYPERBOLIC
1.5.1. Định nghĩa
Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. Khi đó ta nói X là
nhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi
,x y X Y
, tồn tại các lân cận mở U
của x và V của y trong Y sao cho
( , ) 0.Xk X U X V
1.5.2. Nhận xét
i) Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi X là nhúng hyperbolic trong
chính nó.
ii) Nếu X1 là nhúng hyperbolic trong Y1 và X2 là nhúng hyperbolic trong Y2 thì
1 2X X
là nhúng hyperbolic trong
1 2Y Y
.
iii) Nếu có hàm khoảng cách trên X thỏa mãn
( , ) ( , ), , ,Xk x y x y x y X
thì X là nhúng hyperbolic trong Y.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
1.5.3. Định lý
Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y. Khi đó các điều
kiện sau là tương đương:
HI1. X là nhúng hyperbolic trong Y.
HI2. X là hyperbolic và nếu
,n nx y
là các dãy trong X thỏa mãn
, , ( , ) 0n n X n nx x X y y X k x y
thì x = y.
HI3. Giả sử
,n nx y
là các dãy trong X thỏa mãn
, .n nx x X y y X
Khi đó nếu
( , ) 0X n nk x y
khi
n
thì x = y.
HI4. Giả sử H là hàm độ dài trên Y. Khi đó tồn tại các hàm liên tục
dương trên Y sao cho:
*( ) , Hol( , )f H H f X
trong đó
H
là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị .
HI5. Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi
Hol( , )f X
ta có
*f H H
.
1.5.4. Định lý (Kiernan)
Giả sử X là không gian con phức, compact tương đối trong không gian phức
Y. Khi đó X là nhúng hyperbolic trong Y nếu và chỉ nếu
Hol( , )X
là compact
tương đối trong
Hol( , ).Y
Chứng minh
Giả sử
Hol( , )X
là compact tƣơng đối trong
Hol( , )Y
nhƣng X không là
nhúng hypebolic trong Y. Theo định lý 1.5.3, HI5, thì với mỗi hàm độ dài trên Y
và với mỗi số nguyên dƣơng n, tồn tại một ánh xạ chỉnh hình
:nf X
và
nz
sao cho
( )n ndf z nv v
với mọi
nz
Tv
(*).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Do tín...