queensami308
New Member
Download miễn phí Luận văn Nguyên lí biến phân ekeland và một số ứng dụng
Mục lục
Trang
Lời nói đầu
Chương 1. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển 1
1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.2. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Nguyên lí biến phân Ekeland cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều . 9
1.3. Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1. Định lí Bishop-Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2. Định lí cánh hoa (Định lí Flower-Pental) . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.3.3. Định lí giọt nước (Định lí Drop) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Một số ứng dụng của nguyên lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1. Nguyên lí biến phân Ekeland và tính đầy đủ . . . . . . . . . . . . . .16
1.4.2. Các định lí điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.3. Đạo hàm tại điểm xấp xỉ cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Chương 2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ 25
2.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
2.2. Nguyên lí biến phân Ekeland véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
2.3. Định lí điểm bất động Caristi véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. Định lí Takahashi véc tơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5. Một vài ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6. Sự tương đương giữa các định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Để tải bản Đầy Đủ của tài liệu, xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Ai cần download tài liệu gì mà không tìm thấy ở đây, thì đăng yêu cầu down tại đây nhé:
Nhận download tài liệu miễn phí
Tóm tắt nội dung tài liệu:
x a Svà
( , )x a ( , )x a
. Khi đó
( , ) nx a S
(
n
), vì vậy
( , )x a
n
n
S
điều này mâu thuẫn với (1.2).
Và như vậy
( , )x a
là phần tử cực đại trong
S
thoả mãn yêu cầu của bổ đề.
Chứng minh định lí 1.1
Đặt
S
epif ( , ) ( )x a X f x a
.
Dễ thấy
( , ( ))x f x S
. Do
f
là nửa liên tục dưới trên
X
nên
S
là tập đóng
trong
X
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ta áp dụng bổ đề 1.1 với
và phần tử
( , ( ))x f x
, ta luôn tìm được
( , )x a
sao cho
( , )x a
( , ( ))x f x
và
( , )x a
là phần tử lớn nhất trong
S
.
Từ định nghĩa của
epif
ta luôn có
( , ( ))x f x S
,
x X
. Mặt khác
( )f x a
nên
( ) ( , ) 0f x a d x x
, mà
( , )x a
là phần tử lớn nhất trong
S
nên ta có
( )f x a
, vậy
( , ( ))x f x
là phần tử lớn nhất trong
S
.
Bây giờ ta sẽ chứng minh
x
là điểm cần tìm. Thật vậy theo bổ đề ta có:
( , ( ))x f x
( , ( ))x f x
tức là
( ) ( , )f x d x x
( )f x
.
Vậy khẳng định (ii) được chứng minh.
Mặt khác, từ
( ) ( ) ( , ) 0f x f x d x x
ta có
( , ) ( ) ( )d x x f x f x
. Hơn nữa
( )f x
infX f
nên
( ) ( )f x f x
do đo đó
( , )d x x
hay
( , )d x x
.
Vậy khẳng định (i) được chứng minh.
Do
( , ( ))x f x
là phần tử lớn nhất trong
S
, mà
( , ( ))x f x S
x X
nên
( , ( ))x f x
( , ( ))x f x
,
x x
do đó
( ) ( , ) ( )f x d x x f x
,
x x
.
Vậy (iii) được chứng minh.
Nhận xét 1.2
Điểm
x
tìm được là điểm cực tiểu chặt của hàm nhiễu
( ) ( , )f x d x x
. Nếu
nhỏ ta có thông tin tốt hơn về vị trí của
x
so với điểm
x
ban đầu, nhưng khi
đó hàm nhiễu
( ) ( , )f x d x x
có sai khác tương đối so với
( )f x
. Ngược lại,
nếu
lớn ta không biết nhiều về vị trí điểm
x
, nhưng hàm
( ) ( , )f x d x x
có
thể không sai khác nhiều so với hàm
( )f x
ban đầu.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Hằng số
trong định lí trên rất linh hoạt. Chọn
ta có kết quả sau:
Định lí 1.2. [1]
Cho
( , )X d
là không gian mêtric đủ và hàm
:f X
là hàm nửa liên
tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử
0
và
x X
thoả mãn:
( ) infXf x f
Khi đó tồn tại
x X
sao cho:
(i)
( , )d x x
.
(ii)
( ) ( , ) ( )f x d x x f x
.
(iii)
( ) ( , ) ( )f x d x x f x
,
x X
\
{ }x
.
Khi mà điểm xấp xỉ cực tiểu
x
không biết rõ, ta chỉ quan tâm đến tính chất
của điểm
x
với hàm nhiễu, ta có dạng yếu của nguyên lí biến phân:
Định lí 1.3. [1]
Cho
( , )X d
là không gian mêtric đủ và hàm
:f X
là hàm nửa liên
tục dưới, bị chặn dưới. Khi đó với mọi
0
tồn tại
x
sao cho:
( ) ( , ) ( )f x d x x f x
,
x X
\
{ }x
.
1.2.2.Nguyên lí biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều
Trong không gian hữu hạn chiều, ta thu được kết quả của nguyên lí biến
phân Ekeland với hàm nhiễu là hàm trơn (tức là hàm khả vi liên tục).
Định lí 1.4. [19]
Cho
: { }Nf
là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới,
0
và
1.p
Giả sử
0
và
Nx
thoả mãn:
( ) inf Nf x f
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Khi đó tồn tại
Nx
sao cho:
(i)
.x x
(ii)
( ) ( )
p
p
f x x x f x
.
(iii)
( )
p
p
f x x x
( )
p
p
f x x x
,
Nx
.
Chứng minh
Xét hàm
( ) ( )
p
p
g x f x x x
. Khi đó
( )g x
là hàm nửa liên tục dưới, bị
chặn dưới. ta thấy
( )g x
thoả mãn điều kiện bức tức là
lim ( )
x
g x
.
Lấy
Na
bất kì, xét tập
( ) ( ) ( )Ng aL g x g x g a
do
g
là hàm nửa liên tục
dưới nên
( )g aL g
là tập đóng trong N .
Ta chứng minh
( )g aL g
là bị chặn N . Thật vậy, giả sử
( )g aL g
không bị chặn
N
, khi đó tồn tại dãy
{ }nx ( )g aL g
sao cho
nx
. Do
g
thoả mãn điều
kiện bức trên N nên
lim ( )n
n
g x
. Mặt khác
nx ( )g aL g
nên
( ) ( )ng x g a
( )n N
, suy ra
lim ( ) ( )n
n
g x g a
(mâu thuẫn). Vậy
( )g aL g
là đóng và bị chặn
trong N ,
g
là hàm nửa liên dưới trên tập compact
( )g aL g
nên tồn tại điểm cực
tiểu
x
của
g
trên
( )g aL g
.
Bây giờ ta sẽ chứng minh
x
chính là điểm cực tiểu của
g
trên N . Thật vậy
với
x
( )g aL g
thì
( ) ( ) ( )g x g a g x
. Điều này chứng tỏ
x
là điểm cực tiểu của
g
trên N . Dễ dàng kiểm tra x thoả mãn các kết luận của định lí.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.3. Dạng hình học của nguyên lí biến phân Ekeland
Trong phần này, ta xem xét định lí Bishop-Phelps, định lí cánh hoa (Flower-
Pental), định lí giọt nước (Drop). Chúng là các dạng hình học của nguyên lí
biến phân Ekeland.
1.3.1. Định lí Bishop-Phelps
Định nghĩa 1.3. [1]
Cho
X
là không gian Banach. Với bất kì
\{0}x X
và bất kì
0
chúng ta
gọi:
( , )K x || |||| || ( )x X x x x x
là nón Bishop-Phelps liên kết với
x
và
.
Định lí 1.5. (Định lí Bishop-Phelps) [1]
Cho
X
là không gian Banach và
S
là tập đóng trong
X
. Giả sử
x X
là bị
chặn trên
S
. Khi đó với mọi
0
,
S
có điểm
( , )K x
-support
y
tức là :
{ } ( , )y S K x y
.
Chứng minh
Ta áp dụng nguyên lí biến phân với hàm
( )
( ) ( )
|| ||
S
x x
f x l x
x
. Giả sử
z
là
điểm thoả mãn :
( ) infXf z f
ta tìm được điểm
y
sao cho:
(i)
( ) ( )f y y z f z
.
(ii)
( ) ( )f x x y f y
,
x y
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ta chứng minh
( , )y S K x y
. Thật vậy, từ (i) suy ra
y S
. Mặt khác
0 ( , )K x
nên
( , )y K x y
.
Tiếp theo ta chứng minh
( , ) { }S K x y y
bằng phản chứng. Giả sử ta có
y y
mà
y ( , )S K x y
. Suy ra
y y ( , )K x
Ta có:
|| |||| || ( ) ( ) ( ).x y y x y y x y x y
Hay
( ) ( )
|| || || ||
x y x y
y y
x x
điều này mâu thuẫn với (ii). Ta có điều phải chứng minh.
1.3.2. Định lí cánh hoa (Định lí Flower- Pental)
Định nghĩa 1.4. [1]
Cho
X
là không gian Banach và
,a b X
.
Ta gọi:
( , )P a b x X a x x b b a
là cánh hoa liên kết với
(0, )
và
,a b X
.
Ta dễ dàng chứng minh được một cánh hoa luôn lồi.
Định lí 1.6. (Định lí cánh hoa) [1]
Cho
X
là không gian Banach và
S
là tập đóng trong
X
. Giả sử
a S
và
\b X S
. Đặt
t b a
và
(0, ( , )).d S b
Khi đó bất kì
0
, tồn tại...