hangpthanh
New Member
Download Luận văn Ứng dụng của lí thuyết nhóm trong một số bài toán sơ cấp
Mục lục
Lời Thank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Kiến thức chuẩn bị về lí thuyết nhóm 5
1.1 Nhóm, nhóm xylic và nhóm con . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Định lí Lagrange, đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Tác động của nhóm lên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Công thức các lớp và Định lí Burnside . . . . . . . . . . 10
2 Một số ứng dụng vào số học 15
2.1 Một số ứng dụng đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Một số ứng dụng của Định lí Lagrange . . . . . . . . . . 19
2.3Ưng dụng của Công thức các lớp và Định lí Burnside . . 20
3Ưng dụng vào tổ hợp 26
3.1 Nhóm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2Ưng dụng vào tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Để tải bản DOC Đầy Đủ xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
ra s = es = x−1xs = x−1yr. Cho as ∈ Gs. Ta cã as = (ax−1y)r ∈ Gr.
Do ®ã Gs ⊆ Gr. T−¬ng tù Gr ⊆ Gs, vµ v× thÕ Gs = Gr.
MÖnh ®Ò 1.4.3 chØ ra r»ng tËp c¸c quü ®¹o trong S lµm thµnh mét
phÐp ph©n ho¹ch trªn S.
1.4.4. §Þnh lý. (C«ng thøc c¸c líp). Cho G lµ nhãm, S lµ G−tËp vµ
s ∈ S. KÝ hiÖu G/Gs lµ tËp c¸c líp ghÐp tr¸i cña nhãm con ®¼ng h−íng
Gs. Khi ®ã t−¬ng øng f : G/Gs −→ Gs cho bëi f(xGs) = xs lµ mét
song ¸nh. Gi¶ thiÕt thªm r»ng S lµ mét tËp h÷u h¹n. Khi ®ã chØ sè cña
Gs chÝnh lµ sè phÇn tö cña quü ®¹o Gs. H¬n n÷a, nÕu Gs1, . . . , Gst lµ
c¸c quü ®¹o ®«i mét rêi nhau trong S th×
Card(S) = Card
( t⋃
i=1
Gsi
)
=
t∑
i=1
(G : Gsi), (∗)
trong ®ã Card(S) lµ sè phÇn tö cña S vµ (G : Gsi), i = 1, . . . , t, lµ chØ
sè cña nhãm con ®¼ng h−íng Gsi.
Chøng minh. Gi¶ sö xGs = yGs ∈ G/Gs. Khi ®ã x−1y ∈ Gs. Suy ra
x−1ys = s. Do ®ã ys = xs. V× thÕ f lµ ¸nh x¹. Râ rµng f lµ toµn ¸nh.
Cho f(xGs) = f(yGs). Khi ®ã xs = ys. Do ®ã (x−1y)s = s. Suy ra
x−1y ∈ Gs. Do ®ã xGs = yGs. V× thÕ f lµ ®¬n ¸nh. Suy ra f lµ song
¸nh. Gi¶ sö S lµ tËp h÷u h¹n. Khi ®ã quü ®¹o Gs lµ tËp h÷u h¹n víi
mäi s ∈ S. Do f lµ song ¸nh nªn (G : Gs) = Card(Gs) víi mäi s ∈ S.
V× thÕ c«ng thøc (*) ®−îc chøng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
1.4.5. §Þnh lý. (§Þnh lÝ Burnside). Gi¶ sö mét nhãm h÷u h¹n G t¸c
®éng lªn mét tËp h÷u h¹n X. Víi mçi g ∈ G, kÝ hiÖu f(g) lµ sè phÇn
tö cña X cè ®Þnh qua t¸c ®éng cña g, tøc lµ sè phÇn tö cña tËp hîp
{x ∈ X : gx = x}. Khi ®ã sè quü ®¹o cña t¸c ®éng lµ
1
(G : e)
∑
g∈G
f(g).
Ng−êi ta gäi
1
(G : e)
∑
g∈G
f(g) lµ sè ®iÓm cè ®Þnh trung b×nh qua t¸c
®éng cña c¸c phÇn tö cña G. Theo ®Þnh lÝ trªn, sè quü ®¹o cña t¸c ®éng
chÝnh lµ sè ®iÓm cè ®Þnh trung b×nh.
Chøng minh. Chóng ta dïng mét kÜ thuËt chuÈn t¾c cña tæ hîp gäi lµ “kÜ
thuËt tÝnh to¸n theo 2 c¸ch” ®Ó chøng minh. Gäi T lµ tËp c¸c cÆp s¾p
thø tù (g, x) sao cho g ∈ G, x ∈ X vµ gx = x. Víi mçi x ∈ X, sè c¸c
phÇn tö g ∈ G sao cho (g, x) ∈ T chÝnh lµ cÊp cña nhãm con ®¼ng h−íng
Gx cña x. V× thÕ ta cã
Card(T ) =
∑
x∈X
(Gx : e),
trong ®ã (Gx : e) lµ cÊp cña Gx. Víi mçi g ∈ G, sè phÇn tö x ∈ X sao
cho (g, x) ∈ T chÝnh lµ f(g). V× thÕ
Card(T ) =
∑
g∈G
f(g).
Tõ hai ®¼ng thøc trªn ta cã∑
x∈X
(Gx : e)
(G : e)
=
1
(G : e)
∑
g∈G
f(g).
Gäi t lµ sè quü ®¹o. Gäi Gx1, . . . , Gxt lµ c¸c quü ®¹o. V× c¸c quü ®¹o
lµ ®«i mét rêi nhau vµ X lµ hîp cña c¸c quü ®¹o nªn ta cã∑
x∈X
(Gx : e)
(G : e)
=
∑
x∈Gx1
(Gx : e)
(G : e)
+ . . .+
∑
x∈Gxt
(Gx : e)
(G : e)
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Víi mçi i = 1, . . . , t, theo §Þnh lÝ 1.4.4, tæng
∑
x∈Gxi
(Gx : e)
(G : e)
bao gåm
Card(Gxi) sè h¹ng, mçi sè h¹ng ®Òu b»ng
1
Card(Gxi)
. V× thÕ
∑
x∈Gxi
(Gx : e)
(G : e)
= 1
víi mäi i = 1, . . . , t. Suy ra
∑
x∈X
(Gx : e)
(G : e)
= t.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ch−¬ng 2
Mét sè øng dông vµo sè häc
2.1 Mét sè øng dông ®¬n gi¶n
NhËn xÐt më ®Çu. Gi¶ sö p lµ sè nguyªn tè. Khi ®ã Z∗p = {1, . . . , p− 1}
lµ mét nhãm víi phÐp nh©n c¸c líp thÆng d− theo m«®un p. V× nghÞch
®¶o cña hai phÇn tö kh¸c nhau trong Z∗p lµ kh¸c nhau nªn ta lu«n cã
{1
−1
, 2
−1
, . . . , (p− 1)−1} = {1, 2, . . . , p− 1}.
B©y giê ta ¸p dông nhËn xÐt nµy ®Ó chøng minh mét sè bµi to¸n vÒ
sè häc liªn quan ®Õn sè nguyªn tè, ®−îc thÓ hiÖn qua c¸c mÖnh ®Ò sau.
2.1.1. MÖnh ®Ò. Cho p > 2 lµ mét sè nguyªn tè. ViÕt biÓu thøc
1
1
+
1
2
+ . . .+
1
p− 1
d−íi d¹ng ph©n sè tèi gi¶n a/b. Khi ®ã p lµ −íc cña a.
Chøng minh. Theo nhËn xÐt trªn, trong Zp ta cã
1
1
+
1
2
+ . . .+
1
p− 1
=
p−1∑
i=1
(i)−1 =
p−1∑
i=1
i.
Víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 1, b»ng quy n¹p theo n ta cã
1 + 2 + . . .+ n =
n(n+ 1)
2
.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
V× p > 2 lµ sè nguyªn tè nªn p− 1 lµ sè ch½n. Do ®ã
p−1∑
i=1
i =
p(p− 1)
2
lµ sè nguyªn chia hÕt cho p, tøc lµ
p−1∑
i=1
(i)−1 =
p−1∑
i=1
i = 0 ∈ Zp. V× thÕ p
lµ −íc cña a.
Cho k > 1 lµ sè tù nhiªn vµ p lµ sè nguyªn tè. NÕu
p−1∑
i=1
ik chia hÕt
cho p th× ta cã kÕt qu¶ t−¬ng tù ®èi víi tæng
1
1k
+
1
2k
+ . . . +
1
(p− 1)k
.
Ch¼ng h¹n, víi k = 2 hoÆc k = 3 ta cã kÕt qu¶ sau.
2.1.2. MÖnh ®Ò. Cho p lµ sè nguyªn tè. Gi¶ sö
a
b
=
1
12
+
1
22
+ . . .+
1
(p− 1)2
a′
b′
=
1
13
+
1
23
+ . . .+
1
(p− 1)3
,
trong ®ã a/b vµ a′/b′ lµ nh÷ng ph©n sè tèi gi¶n. Khi ®ã
i) NÕu p > 3 th× p lµ −íc cña a.
ii) NÕu p > 2 th× p lµ −íc cña a′.
Chøng minh. (i) Theo nhËn xÐt trªn, trong Zp ta cã
1
12
+
1
22
+ . . .+
1
(p− 1)2
=
p−1∑
i=1
(i
−1
)2 =
p−1∑
i=1
i
2
.
Víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 1, b»ng quy n¹p theo n ta cã
12 + 22 + . . .+ n2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
.
V× p > 3 lµ sè nguyªn tè nªn p kh«ng lµ béi cña 3 vµ còng kh«ng lµ béi
cña 2. Do ®ã 12 + 22 + . . .+ (p− 1)2 =
(p− 1)p(2p− 1)
6
lµ sè nguyªn
chia hÕt cho p, tøc lµ
p−1∑
i=1
i
2
= 0 ∈ Zp. Do ®ã p lµ −íc cña a.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
(ii) T−¬ng tù ta cã
1
13
+
1
23
+ . . .+
1
(p− 1)3
=
p−1∑
i=1
(i
−1
)3 =
p−1∑
i=1
i
3
.
Víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 1, b»ng quy n¹p theo n ta cã
13 + 23 + . . .+ n3 =
n2(n+ 1)2
4
.
V× p > 2 lµ sè nguyªn tè nªn (p− 1)2 chia hÕt cho 4. Do ®ã
13 + 23 + . . .+ (p− 1)3 =
(p− 1)2p2
4
lµ sè nguyªn chia hÕt cho p, tøc lµ
p−1∑
i=1
i
3
= 0 ∈ Zp. V× thÕ p lµ −íc cña
a′.
NhËn xÐt trªn cã thÓ sö dông ®Ó chøng minh kÕt qu¶ sau ®©y.
2.1.3. MÖnh ®Ò. (§Þnh lÝ Wilson). Sè tù nhiªn p lµ sè nguyªn tè nÕu vµ
chØ nÕu (p− 1)! ≡ −1 (mod p).
Chøng minh. Cho p nguyªn tè. NÕu p = 2 th× (2 − 1)! ≡ −1 (mod 2).
Cho p > 2. Khi ®ã p lÎ. Trong nhãm nh©n Z∗p = {1, . . . , p− 1}, nghÞch
®¶o cña 1 lµ 1, nghÞch ®¶o cña p− 1 lµ p− 1. H¬n n÷a, nghÞch ®¶o cña a
kh¸c a víi 1 < a < p− 1. ThËt vËy, nÕu ng−îc l¹i ta cã a2 ≡ 1 (mod p),
do ®ã p lµ −íc cña a2− 1 = (a− 1)(a+1), ®iÒu nµy lµ v« lÝ. Nh− vËy ta
cã thÓ nhãm p − 3 phÇn tö {2, . . . , p− 2} cña Z∗p thµnh (p − 3)/2 cÆp,
mçi cÆp lµ nghÞch ®¶o cña nhau. Suy ra 2 . . . (p− 2) = 1 ∈ Z∗p. Do ®ã
(p− 1)! = 2 . . . (p− 2)(p− 1) ≡ 1.(p− 1) ≡ −1 (mod p).
Ng−îc l¹i, gi¶ sö (p − 1)! ≡ −1 (mod p). Gi¶ sö p kh«ng nguyªn tè.
Gäi a lµ mét −íc thùc sù cña p. Khi ®ã 1 < a < p. Do ®ã a lµ −íc cña
(p − 1)!. V× (p − 1)! + 1 lµ béi cña p nªn nã lµ béi cña a. L¹i do a lµ
−íc cña (p− 1)! nªn a lµ −íc cña 1, ®iÒu nµy lµ v« lÝ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Chó ý r»ng nhãm con cña mét nhãm xyclic lµ xyclic. Tõ nhËn xÐt
nµy ta cã thÓ chøng minh kÕt qu¶ sau ®©y.
2.1.4. Bæ ®Ò. Cho a1, . . . , an lµ c¸c sè tù nhiªn kh«ng ®ång thêi b»ng
0. Gi¶ sö d = gcd(a1, . . . , an). Khi ®ã tån t¹i c¸c sè nguyªn x1, . . . , xn
sao cho d = a1x1 + . . .+ anxn.
Chøng minh. §Æt H = {a1x1+ a2x2+ . . .+ anxn | xi ∈ Z, ∀i}. Khi ®ã
H lµ nhãm con cña nhãm céng Z. V× Z xylic nªn H lµ xyclic, tøc lµ
H = tZ víi t ∈ N. Ta kh¼ng ®Þnh t = gcd(a1, . . . , an). V×
ai = 0a1 + . . .+ 0ai−1 + 1ai + 0ai+1 + . . .+ 0an
nªn ai ∈ H = tZ, suy ra ai chia hÕt cho t víi mäi i = 1, . . . , n. Gi¶ sö
r lµ mét −íc chung cña a1, . . . , an. V× t ∈ H nªn t biÓu diÔn ®−îc d−íi
d¹ng t = a1x1 + . . . + anxn, trong ®ã x1, . . . , xn ∈ Z. Do xi chia hÕt
cho t víi mäi i = 1, . . . , n nªn t chia hÕt cho r. VËy t lµ −íc chung lín
nhÊt cña c¸c ai. Suy ra d = t. Do ®ã ta cã kÕt qu¶.
2.1.5. MÖnh ®Ò. (§Þnh lÝ Bezout). C¸c sè nguyªn a1, . . . , an lµ nguyªn
tè cïng nhau nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i c¸c ...
Download miễn phí Luận văn Ứng dụng của lí thuyết nhóm trong một số bài toán sơ cấp
Mục lục
Lời Thank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Kiến thức chuẩn bị về lí thuyết nhóm 5
1.1 Nhóm, nhóm xylic và nhóm con . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Định lí Lagrange, đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Tác động của nhóm lên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Công thức các lớp và Định lí Burnside . . . . . . . . . . 10
2 Một số ứng dụng vào số học 15
2.1 Một số ứng dụng đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Một số ứng dụng của Định lí Lagrange . . . . . . . . . . 19
2.3Ưng dụng của Công thức các lớp và Định lí Burnside . . 20
3Ưng dụng vào tổ hợp 26
3.1 Nhóm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2Ưng dụng vào tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Để tải bản DOC Đầy Đủ xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Tóm tắt nội dung:
Suyra s = es = x−1xs = x−1yr. Cho as ∈ Gs. Ta cã as = (ax−1y)r ∈ Gr.
Do ®ã Gs ⊆ Gr. T−¬ng tù Gr ⊆ Gs, vµ v× thÕ Gs = Gr.
MÖnh ®Ò 1.4.3 chØ ra r»ng tËp c¸c quü ®¹o trong S lµm thµnh mét
phÐp ph©n ho¹ch trªn S.
1.4.4. §Þnh lý. (C«ng thøc c¸c líp). Cho G lµ nhãm, S lµ G−tËp vµ
s ∈ S. KÝ hiÖu G/Gs lµ tËp c¸c líp ghÐp tr¸i cña nhãm con ®¼ng h−íng
Gs. Khi ®ã t−¬ng øng f : G/Gs −→ Gs cho bëi f(xGs) = xs lµ mét
song ¸nh. Gi¶ thiÕt thªm r»ng S lµ mét tËp h÷u h¹n. Khi ®ã chØ sè cña
Gs chÝnh lµ sè phÇn tö cña quü ®¹o Gs. H¬n n÷a, nÕu Gs1, . . . , Gst lµ
c¸c quü ®¹o ®«i mét rêi nhau trong S th×
Card(S) = Card
( t⋃
i=1
Gsi
)
=
t∑
i=1
(G : Gsi), (∗)
trong ®ã Card(S) lµ sè phÇn tö cña S vµ (G : Gsi), i = 1, . . . , t, lµ chØ
sè cña nhãm con ®¼ng h−íng Gsi.
Chøng minh. Gi¶ sö xGs = yGs ∈ G/Gs. Khi ®ã x−1y ∈ Gs. Suy ra
x−1ys = s. Do ®ã ys = xs. V× thÕ f lµ ¸nh x¹. Râ rµng f lµ toµn ¸nh.
Cho f(xGs) = f(yGs). Khi ®ã xs = ys. Do ®ã (x−1y)s = s. Suy ra
x−1y ∈ Gs. Do ®ã xGs = yGs. V× thÕ f lµ ®¬n ¸nh. Suy ra f lµ song
¸nh. Gi¶ sö S lµ tËp h÷u h¹n. Khi ®ã quü ®¹o Gs lµ tËp h÷u h¹n víi
mäi s ∈ S. Do f lµ song ¸nh nªn (G : Gs) = Card(Gs) víi mäi s ∈ S.
V× thÕ c«ng thøc (*) ®−îc chøng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
1.4.5. §Þnh lý. (§Þnh lÝ Burnside). Gi¶ sö mét nhãm h÷u h¹n G t¸c
®éng lªn mét tËp h÷u h¹n X. Víi mçi g ∈ G, kÝ hiÖu f(g) lµ sè phÇn
tö cña X cè ®Þnh qua t¸c ®éng cña g, tøc lµ sè phÇn tö cña tËp hîp
{x ∈ X : gx = x}. Khi ®ã sè quü ®¹o cña t¸c ®éng lµ
1
(G : e)
∑
g∈G
f(g).
Ng−êi ta gäi
1
(G : e)
∑
g∈G
f(g) lµ sè ®iÓm cè ®Þnh trung b×nh qua t¸c
®éng cña c¸c phÇn tö cña G. Theo ®Þnh lÝ trªn, sè quü ®¹o cña t¸c ®éng
chÝnh lµ sè ®iÓm cè ®Þnh trung b×nh.
Chøng minh. Chóng ta dïng mét kÜ thuËt chuÈn t¾c cña tæ hîp gäi lµ “kÜ
thuËt tÝnh to¸n theo 2 c¸ch” ®Ó chøng minh. Gäi T lµ tËp c¸c cÆp s¾p
thø tù (g, x) sao cho g ∈ G, x ∈ X vµ gx = x. Víi mçi x ∈ X, sè c¸c
phÇn tö g ∈ G sao cho (g, x) ∈ T chÝnh lµ cÊp cña nhãm con ®¼ng h−íng
Gx cña x. V× thÕ ta cã
Card(T ) =
∑
x∈X
(Gx : e),
trong ®ã (Gx : e) lµ cÊp cña Gx. Víi mçi g ∈ G, sè phÇn tö x ∈ X sao
cho (g, x) ∈ T chÝnh lµ f(g). V× thÕ
Card(T ) =
∑
g∈G
f(g).
Tõ hai ®¼ng thøc trªn ta cã∑
x∈X
(Gx : e)
(G : e)
=
1
(G : e)
∑
g∈G
f(g).
Gäi t lµ sè quü ®¹o. Gäi Gx1, . . . , Gxt lµ c¸c quü ®¹o. V× c¸c quü ®¹o
lµ ®«i mét rêi nhau vµ X lµ hîp cña c¸c quü ®¹o nªn ta cã∑
x∈X
(Gx : e)
(G : e)
=
∑
x∈Gx1
(Gx : e)
(G : e)
+ . . .+
∑
x∈Gxt
(Gx : e)
(G : e)
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Víi mçi i = 1, . . . , t, theo §Þnh lÝ 1.4.4, tæng
∑
x∈Gxi
(Gx : e)
(G : e)
bao gåm
Card(Gxi) sè h¹ng, mçi sè h¹ng ®Òu b»ng
1
Card(Gxi)
. V× thÕ
∑
x∈Gxi
(Gx : e)
(G : e)
= 1
víi mäi i = 1, . . . , t. Suy ra
∑
x∈X
(Gx : e)
(G : e)
= t.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ch−¬ng 2
Mét sè øng dông vµo sè häc
2.1 Mét sè øng dông ®¬n gi¶n
NhËn xÐt më ®Çu. Gi¶ sö p lµ sè nguyªn tè. Khi ®ã Z∗p = {1, . . . , p− 1}
lµ mét nhãm víi phÐp nh©n c¸c líp thÆng d− theo m«®un p. V× nghÞch
®¶o cña hai phÇn tö kh¸c nhau trong Z∗p lµ kh¸c nhau nªn ta lu«n cã
{1
−1
, 2
−1
, . . . , (p− 1)−1} = {1, 2, . . . , p− 1}.
B©y giê ta ¸p dông nhËn xÐt nµy ®Ó chøng minh mét sè bµi to¸n vÒ
sè häc liªn quan ®Õn sè nguyªn tè, ®−îc thÓ hiÖn qua c¸c mÖnh ®Ò sau.
2.1.1. MÖnh ®Ò. Cho p > 2 lµ mét sè nguyªn tè. ViÕt biÓu thøc
1
1
+
1
2
+ . . .+
1
p− 1
d−íi d¹ng ph©n sè tèi gi¶n a/b. Khi ®ã p lµ −íc cña a.
Chøng minh. Theo nhËn xÐt trªn, trong Zp ta cã
1
1
+
1
2
+ . . .+
1
p− 1
=
p−1∑
i=1
(i)−1 =
p−1∑
i=1
i.
Víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 1, b»ng quy n¹p theo n ta cã
1 + 2 + . . .+ n =
n(n+ 1)
2
.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16
V× p > 2 lµ sè nguyªn tè nªn p− 1 lµ sè ch½n. Do ®ã
p−1∑
i=1
i =
p(p− 1)
2
lµ sè nguyªn chia hÕt cho p, tøc lµ
p−1∑
i=1
(i)−1 =
p−1∑
i=1
i = 0 ∈ Zp. V× thÕ p
lµ −íc cña a.
Cho k > 1 lµ sè tù nhiªn vµ p lµ sè nguyªn tè. NÕu
p−1∑
i=1
ik chia hÕt
cho p th× ta cã kÕt qu¶ t−¬ng tù ®èi víi tæng
1
1k
+
1
2k
+ . . . +
1
(p− 1)k
.
Ch¼ng h¹n, víi k = 2 hoÆc k = 3 ta cã kÕt qu¶ sau.
2.1.2. MÖnh ®Ò. Cho p lµ sè nguyªn tè. Gi¶ sö
a
b
=
1
12
+
1
22
+ . . .+
1
(p− 1)2
a′
b′
=
1
13
+
1
23
+ . . .+
1
(p− 1)3
,
trong ®ã a/b vµ a′/b′ lµ nh÷ng ph©n sè tèi gi¶n. Khi ®ã
i) NÕu p > 3 th× p lµ −íc cña a.
ii) NÕu p > 2 th× p lµ −íc cña a′.
Chøng minh. (i) Theo nhËn xÐt trªn, trong Zp ta cã
1
12
+
1
22
+ . . .+
1
(p− 1)2
=
p−1∑
i=1
(i
−1
)2 =
p−1∑
i=1
i
2
.
Víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 1, b»ng quy n¹p theo n ta cã
12 + 22 + . . .+ n2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
.
V× p > 3 lµ sè nguyªn tè nªn p kh«ng lµ béi cña 3 vµ còng kh«ng lµ béi
cña 2. Do ®ã 12 + 22 + . . .+ (p− 1)2 =
(p− 1)p(2p− 1)
6
lµ sè nguyªn
chia hÕt cho p, tøc lµ
p−1∑
i=1
i
2
= 0 ∈ Zp. Do ®ã p lµ −íc cña a.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
(ii) T−¬ng tù ta cã
1
13
+
1
23
+ . . .+
1
(p− 1)3
=
p−1∑
i=1
(i
−1
)3 =
p−1∑
i=1
i
3
.
Víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 1, b»ng quy n¹p theo n ta cã
13 + 23 + . . .+ n3 =
n2(n+ 1)2
4
.
V× p > 2 lµ sè nguyªn tè nªn (p− 1)2 chia hÕt cho 4. Do ®ã
13 + 23 + . . .+ (p− 1)3 =
(p− 1)2p2
4
lµ sè nguyªn chia hÕt cho p, tøc lµ
p−1∑
i=1
i
3
= 0 ∈ Zp. V× thÕ p lµ −íc cña
a′.
NhËn xÐt trªn cã thÓ sö dông ®Ó chøng minh kÕt qu¶ sau ®©y.
2.1.3. MÖnh ®Ò. (§Þnh lÝ Wilson). Sè tù nhiªn p lµ sè nguyªn tè nÕu vµ
chØ nÕu (p− 1)! ≡ −1 (mod p).
Chøng minh. Cho p nguyªn tè. NÕu p = 2 th× (2 − 1)! ≡ −1 (mod 2).
Cho p > 2. Khi ®ã p lÎ. Trong nhãm nh©n Z∗p = {1, . . . , p− 1}, nghÞch
®¶o cña 1 lµ 1, nghÞch ®¶o cña p− 1 lµ p− 1. H¬n n÷a, nghÞch ®¶o cña a
kh¸c a víi 1 < a < p− 1. ThËt vËy, nÕu ng−îc l¹i ta cã a2 ≡ 1 (mod p),
do ®ã p lµ −íc cña a2− 1 = (a− 1)(a+1), ®iÒu nµy lµ v« lÝ. Nh− vËy ta
cã thÓ nhãm p − 3 phÇn tö {2, . . . , p− 2} cña Z∗p thµnh (p − 3)/2 cÆp,
mçi cÆp lµ nghÞch ®¶o cña nhau. Suy ra 2 . . . (p− 2) = 1 ∈ Z∗p. Do ®ã
(p− 1)! = 2 . . . (p− 2)(p− 1) ≡ 1.(p− 1) ≡ −1 (mod p).
Ng−îc l¹i, gi¶ sö (p − 1)! ≡ −1 (mod p). Gi¶ sö p kh«ng nguyªn tè.
Gäi a lµ mét −íc thùc sù cña p. Khi ®ã 1 < a < p. Do ®ã a lµ −íc cña
(p − 1)!. V× (p − 1)! + 1 lµ béi cña p nªn nã lµ béi cña a. L¹i do a lµ
−íc cña (p− 1)! nªn a lµ −íc cña 1, ®iÒu nµy lµ v« lÝ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
Chó ý r»ng nhãm con cña mét nhãm xyclic lµ xyclic. Tõ nhËn xÐt
nµy ta cã thÓ chøng minh kÕt qu¶ sau ®©y.
2.1.4. Bæ ®Ò. Cho a1, . . . , an lµ c¸c sè tù nhiªn kh«ng ®ång thêi b»ng
0. Gi¶ sö d = gcd(a1, . . . , an). Khi ®ã tån t¹i c¸c sè nguyªn x1, . . . , xn
sao cho d = a1x1 + . . .+ anxn.
Chøng minh. §Æt H = {a1x1+ a2x2+ . . .+ anxn | xi ∈ Z, ∀i}. Khi ®ã
H lµ nhãm con cña nhãm céng Z. V× Z xylic nªn H lµ xyclic, tøc lµ
H = tZ víi t ∈ N. Ta kh¼ng ®Þnh t = gcd(a1, . . . , an). V×
ai = 0a1 + . . .+ 0ai−1 + 1ai + 0ai+1 + . . .+ 0an
nªn ai ∈ H = tZ, suy ra ai chia hÕt cho t víi mäi i = 1, . . . , n. Gi¶ sö
r lµ mét −íc chung cña a1, . . . , an. V× t ∈ H nªn t biÓu diÔn ®−îc d−íi
d¹ng t = a1x1 + . . . + anxn, trong ®ã x1, . . . , xn ∈ Z. Do xi chia hÕt
cho t víi mäi i = 1, . . . , n nªn t chia hÕt cho r. VËy t lµ −íc chung lín
nhÊt cña c¸c ai. Suy ra d = t. Do ®ã ta cã kÕt qu¶.
2.1.5. MÖnh ®Ò. (§Þnh lÝ Bezout). C¸c sè nguyªn a1, . . . , an lµ nguyªn
tè cïng nhau nÕu vµ chØ nÕu tån t¹i c¸c ...
