Download Khóa luận Giúp học sinh trung học phổ thông vượt qua những sai lầm trong lập luận toán học: phần đại số miễn phí
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
MỞ ĐẦU 4
1. Lí do chọn đề tài 4
2. Mục đích nghiên cứu 5
3. Các đối tượng nghiên cứu 5
4. Câu hỏi nghiên cứu 5
5. Phương pháp nghiên cứu 5
6. Cấu trúc khoá luận 6
CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN 7
1. Nguyên nhân gây nên những khó khăn cho học sinh khi học toán 7
2. Một số nguyên tắc cho việc dạy và học nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn trong học toán 11
3. Một số biện pháp chung trong hoạt động dạy của giáo viên nhằm giúp học sinh hạn chế sai lầm trong lập luận toán: phần đại số 15
4. Một số kết quả về các sai lầm thường gặp ở học sinh khi giải phương trình, bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức 17
CHƯƠNG 2 GIÚP HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG VƯỢT QUA NHỮNG SAI LẦM TRONG LẬP LUẬN TOÁN HỌC: PHẦN ĐẠI SỐ 23
1. Chủ đề phương trình 23
2. Chủ đề bất phương trình 42
CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 61
1. Mục đích và ý nghĩa thực nghiệm 61
2. Quá trình thực nghiệm 61
3. Kết quả phiếu điều tra giáo viên và học sinh 67
4. Kết luận sư phạm 76
KẾT LUẬN 78
TÀI LIỆU THAM KHẢO 80
PHỤ LỤC
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho
Tóm tắt nội dung:
g mẫu số trong số học và đại số là hoàn toàn khác nhau. Chỉ khi nào khẳng định được mẫu số khác không ta mới qui đồng mà không đặt điều kiện cho mẫu. Vì thực ra qui đồng là nhân các số hạng trong phương trình với mẫu chung để rút gọn được mẫu số. Với phương trình (1), học sinh đã rút gọn sai nhưng “vô tình” kết quả lại đúng, vì thế khi ra đề trắc nghiệm ta nên tránh các trường hợp trùng như vậy để đánh giá được học sinh. Nắm vững những điều trên các em sẽ tránh được sai lầm trong quá trình giải. Khi đó, GV có thể ra cho học sinh một số bài tương tự, chẳng hạn giải các phương trình sau:a) ;
b) ;
c) .
Lời giải đề nghị: (1).
Vậy phương trình (1) có một nghiệm x = 2.
Bài 2: Giải phương trình: . (1)
Dự kiến: - Bình phương hai vế để làm mất căn, khi đó sẽ dẫn đến một phương
trình bậc bốn, càng phức tạp và bế tắc.
- Nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung là (x + 1) nên rút gọn và lúc này HS thường biến đổi theo các cách sau:
+ Bình phương 2 vế không có điều kiện gì và tìm được 2 nghiệm là x = 2 và x = - 3;
+ Đặt điều kiện , lược bỏ (x + 1) rồi bình phương hai vế;
+
Phân tích: Học sinh vẫn hay nhớ máy móc rằng có căn thức thì bình phương để
khử chúng mà không xem xét bài toán cụ thể để suy nghĩ hướng giải quyết. Tinh ý hơn, có em đặt 2 làm thừa số chung và nhận thấy (x + 1) xuất hiện ở hai vế của phương trình, vậy phải rút gọn nhưng quên điều kiện. Có học sinh lại “ép” cho để rút gọn, do tưởng rằng muốn rút gọn thì biểu thức đó phải khác không mà quên rằng biểu thức đó bằng không có khi vẫn thoả phương trình, vì vậy dẫn đến sót nghiệm. Với cách giải thứ ba, học sinh đưa được về dạng nhưng cách biến đổi đó đã thể hiện sự nhầm lẫn của các em khi bình phương hai vế của phương trình. Các em đã không nắm vững định lí 2 về phương trình hệ quả trình bày trong SGK.
Biện pháp: Điều mà GV cần nhắc nhở HS đó là tập xác định của phương
trình. Nhớ rằng chỉ có nghĩa khi . Với một biểu thức cần lược bỏ trong phương trình thì phải xét hai trường hợp: nếu nó bằng không thì xem thoả phương trình không; nếu khác không thì rút gọn, vì ta chưa khẳng định được biểu thức đó thế nào do còn phụ thuộc vào giá trị của x. Cách chia trường hợp này có giống với cách biến đổi không? Ta cùng xét ví dụ:
Giải phương trình: . (2)
Lời giải đúng:
Biến đổi từ (1) sang (2) là hiển nhiên, từ (2) sang (3) có thể viết lại dưới dạng sau . Điều này phải chăng luôn đúng?
Cần chỉ cho học sinh thấy rằng điều này không còn đúng với phương trình vô tỷ, logarit...Thật ra không có điều kiện gì trong biến đổi tương đương đó vì tập xác định của phương trình này luôn là , ta ngầm hiểu như vậy và phép biến đổi đã không làm thay đổi TXĐ của phương trình. Do đó, GV cần diễn giải một cách tường minh cho học sinh thấy rằng:
(*)
tức là những giá trị x tìm được từ f(x) = 0 phải thuộc miền xác định của g(x) và ngược lại.
Ví dụ: Giải phương trình: . (3)
Nếu biến đổi như sau:
khi đó, với x = - 2 thì không có nghĩa nên x = - 2 là nghiệm ngoại lai của phương trình. Vì vậy phép biến đổi trên là không tương đương.
Một điều quan trọng nữa là giáo viên giúp học sinh nhận ra cách nâng luỹ thừa chẵn hai vế của phương trình. Nếu thì hiển nhiên đúng nhưng thì sao?
Nhắc lại rằng nếu không có điều kiện gì thì bình phương hai vế ta thu được phương trình hệ quả, thử lại để kết luận nghiệm. Tuy nhiên cách này dễ thừa hay sót nghiệm và đôi khi tìm ra kết quả rồi HS không nhớ đến việc thử lại hay lúng túng trong quá trình loại bỏ nghiệm. Muốn biến đổi là tương đương thì làm thế nào? Chẳng hạn với phương trình (4), giải như sau:
Thấy rằng với x = , vế phải của (4) bằng trong khi vế trái là căn bậc hai luôn không âm, do đó x = là nghiệm ngoại lai. Đến đây, GV có thể hình thành cho học sinh một quy tắc nâng luỹ thừa hai vế như sau:
1. Muốn nâng hai vế phương trình lên một luỹ thừa chẵn ta phải chắc chắn rằng hai vế đang cùng dấu, tốt nhất là không âm;
2. Muốn làm cho hai vế không âm ta có thể:
+ Đặt điều kiện: (**), ở đây vìmànên không cần đặt điều kiện cho A;
+ Chuyển vế, chẳng hạn: ...
Các em hoàn toàn có thể hiểu được quy tắc trên.
Lời giải đề nghị: Với những kiến thức được dìu dắt như vậy, hi vọng rằng các em có thể vượt qua được những sai lầm thường vấp phải khi giải phương trình. Sau đây là một lời giải của phương trình (1) để HS tham khảo
Bài 3: Giải phương trình:. (1)
Dự kiến: Đối diện với bài này học sinh có nhiều hướng giải. Tuy nhiên, có thể
vẫn không tránh khỏi những sai lầm sau đây:
- Bình phương hai vế để làm mất căn nhưng không đặt điều kiện, khi đó:
, đến đây có thể các em giải theo một trong ba hướng sau:
+ Lược bỏ (x + 1) ở hai vế:
;
+ Đặt điều kiện rồi rút gọn, khi đó giải ra kết quả x = -1 hay x = 3 nhưng loại x = -1;
+ Biến đổi:
.
- Một hướng giải khác là tách biểu thức trong căn như sau:
,
sau đó đưa (x +1) ra khỏi căn không có trị tuyệt đối rồi rút gọn (x +1) ở hai vế, khi đó . Nhiều trường hợp từ (4) các em lại nhầm lẫn rằng , và biến đổi vì thế rút gọn sau khi phân tích như vậy, khi đó (4) ;
- hay từ (3) có học sinh đi theo hướng giải như sau:
(5)
cách giải này có vẻ chắc chắn và có cơ sở, tuy nhiên đã làm mất nghiệm vì x = -1 cũng thoả phương trình (1). Sai lầm ở đâu?
Phân tích: Sai lầm đầu tiên là do học sinh thiếu cẩn thận đôi khi chủ quan và đã
không hiểu sự cần thiết của việc đặt điều kiện trong bài toán giải phương trình. Điều này cũng thể hiện sự mơ hồ của các em về phép biến đổi tương đương và hệ quả. Từ (2) nếu tiếp tục vấp những sai lầm như đã chỉ ra, trước hết, do thói quen rút gọn phần tử giống nhau mà học sinh đã biết khi làm toán số học, đó là . Ở đây “vô tình” mà kết quả đúng dù bước lập luận đã sai ngay từ đầu, giáo viên nên chú ý điều này khi ra các đề toán trắc nghiệm. Biến đổi thứ hai với điều kiện để rút gọn được nhưng các em quên rằng x = -1 phương trình vẫn thoả. Biến đổi thứ ba là chính xác nhưng không chấp nhận vì phép bình phương ban đầu không tương đương. Sai lầm thứ hai cũng thường gặp ở học sinh vì đa số các em đều suy diễn rằng nên tách biểu thức trong căn mà không quan tâm có điều kiện gì hay không? Điều này là do các em “ngộ nhận” thực hiện một phép tương tự với (xy)2 = x2y2, nhắc đến sai lầm này còn có những kiểu nhầm lẫn như (x + y)2 = x2 + y2, , chúng là các “á hằng đẳng thức” mà các em hay “sáng tác” ra trong khi giải toán. Sai lầm thứ ba là do các em chưa hiểu cách đặt điều kiện để tập xác định của phương trình không đổi và để được một phép biến đổi tương đương vì thế đã dẫn đến sót nghiệm x = -1.
Biện pháp: Phương trình (1) có dạng , theo định lí 2 đã học, ta sẽ bình
phương hai vế và thu được phương trình hệ quả, khi đó kết quả có thể xuất hiện nghiệm ngoại lai nên phải thử lại. Để phép bình phương này là một biến đổi tương đương thì cần có điều kiện . Ở đây, cần giải thíc...