year_oflove
New Member
Chuyên đề Tích phân
Đẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thườngdùng cách đổi biến số và nhận
xét một số đặc điểm sau .
Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên +cận dưới, .
Chúng ta cần nhớnhững đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho
2
64
0
6
3
π
π
π
−=−
+−=
+
−+−=
+
==
∫
∫ ∫∫
dut
tt
dt
t
tt
t
dtt
xdxI
[email protected] | - Thư viện sách trực tuyến Trang 4
Tính các tích phân sau :
a) ∫
+
=
2
0
22221 cos.sin.
cos.sin
π
dx
xbxa
xx
I b) ∫ +
=
3
0
2
2cos2
cos
π
dx
x
x
I
Bài làm :
a) ðặt : xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin. 222222 +−=⇒+=
ðổi cận :
=→=
=→=
2
2
2
0
btx
atx
π
Nếu ba ≠
Vậy : ( )
baab
ba
t
ab
t
dt
ab
dx
xbxa
xx
I
b
a
b
a
+
=
−
−
=
−
=
−
=
+
= ∫ ∫
11
2
1
cos.sin.
cos.sin
2222
2
0
22221
2
2
2
2
π
Nếu ba =
Vậy :
a
x
a
xdx
a
a
xdxx
dx
xbxa
xx
I
2
1
2cos
4
1
2sin
2
1
cos.sin
cos.sin.
cos.sin
2
0
2
0
2
0
2
0
22221
=−==
=
+
=
∫
∫∫
ππ
ππ
b) ðặt : xdxdtxt cossin =⇒=
ðổi cận :
=→=
=→=
2
3
3
00
tx
tx
π
Vậy : ∫∫∫
−
=
−
=
+
=
2
3
0 2
2
3
0
2
3
0
2
2
32
1
232cos2
cos
t
dt
t
dt
dx
x
x
I
π
ðặt : ududtut sin
2
3
cos
2
3
−=⇒=
ðổi cận :
=→=
=→=
42
3
2
0
π
π
ut
ut
[email protected] | - Thư viện sách trực tuyến Trang 5
Vậy :
( )
242
1
2
1
cos1
2
3
sin
2
3
2
1
2
32
1
2
4
4
4
2
4
2
2
3
0 2
2
π
π
π
π
π
π
π
===
−
=
−
=
∫
∫∫
udu
u
udu
t
dt
I
Tính các tích phân sau :
a) ∫ ++=
2
0
1 5cos3sin4
1
π
dx
xx
I b) ∫ ++
++
=
2
0
2 5cos3sin4
6cos7sin
π
dx
xx
xx
I
Bài làm :
a) ðặt :
1
2
1
2
tan
2
tan
2
2
+
=⇒
+=⇒=
t
dt
dxdx
x
dt
x
t
ðổi cận :
=→=
=→=
1
2
00
tx
tx
π
Vậy :
( )
6
1
2
1
1
5
1
1
3
1
2
4
1
2
1
0
1
0
2
1
0
2
2
2
2
1
=
+
−=
+
=
+
+
−
+
+
+= ∫∫
t
t
dt
dt
t
t
t
t
tI
b)ðặt :
5cos3sin45cos3sin4
sin3cos4
5cos3sin4
6cos7sin
++
+
++
−
+=
++
++
xx
C
xx
xx
BA
xx
xx
Dùng ñồng nhất thức ta ñược: 1,1,1 === CBA
Vậy :
( )
6
1
8
9
ln
2
5cos3sin4ln
5cos3sin4
1
5cos3sin4
sin3cos4
1
5cos3sin4
6cos7sin
1
2
0
2
0
2
0
2
++=++++=
++
+
++
−
+=
++
++
= ∫∫
ππ
ππ
Ixxx
dx
xxxx
xx
dx
xx
xx
I
Bạn ñọc tự làm :
a) ∫=
2
6
2
3
1 sin
cos
π
π
dx
x
x
I b) ∫=
2
0
3
2 sin.cos
π
xdxxI c) ∫ +=
2
0
3 2sin
π
x
dx
I
[email protected] | - Thư viện sách trực tuyến Trang 6
c) ∫ +=
2
0
3
3 1cos
sin4
π
dx
x
x
I d) ∫ ++=
2
0
5 3cos2sin
1
π
dx
xx
I d) ∫ ++
+−
=
2
0
6 3cos2sin
1cossin
π
dx
xx
xx
I
Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ
Dạng 1 :
( ) ( )
C
axnax
dx
I
nn
+
−−
−=
−
= −∫ 1
1
.
1
1 với ( ) { }( )1,0, −×∈ NCna ta có :
Nếu Ran ∈= ,1 ta có : Cx
ax
dx
I +=
−
= ∫ ln
Dạng 2 :
( )∫ ++
+
= dx
cbxax
x
I
n2
βα trong ñó :
<−=∆
∈
04
,,,,
2 acb
Rcbaβα
* Giai ñoạn 1 : 0≠α ,làm xuất hiện ở tử thức ñạo hàm của tam thức cbxax ++2 ,
sai khác một số :
( ) ( ) ( )∫∫∫ ++
−+
++
+
=
++
−++
=
nnn
cbxax
dx
b
a
a
dx
cbxax
bax
a
dx
cbxax
b
a
bax
a
I
222
2
2
2
2
2
2
2 α
βααα
β
α
* Giai ñoạn 2 :
Tính
( ) ( )∫∫
∆−
+
=
+
∆−
∆−
=
++
=
bax
t
n
n
n
t
dt
a
a
dx
cbxax
dx
I
2
22 12
.
4
* Giai ñoạn 3 :
Tính
( )∫ +
= dt
t
I
n
1
1
2
có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hay ñặt φtan=t
Dạng 3 : ( )
( )∫= dxxQ
xP
I
n
m
Ta có : ( )
( ) 01
01
......
......
bxbxb
axaxa
xQ
xP
n
n
m
m
n
m
+++
+++
=
Nếu : ( ) ( )QP degdeg ≥ thì ta thực hiện phép chia ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )xQ
xR
xA
xQ
xP
n
r
nm
n
m += − trong ñó
phân số ( )
( )xQ
xR
n
r có ( ) ( )QR degdeg <
Nếu : ( ) ( )QP degdeg < ta có các qui tắc sau :
*Qt 1: ( )
( ) ( ) ( ) ( )n
n
n
n
n
xm
ax
A
ax
A
ax
A
ax
P
−
+
−
++
−
=
− −
−
1
11 ......
Vdụ 1a :
( )
( ) ( )
∑
∏ =
=
−
=
−
n
i
i
i
i
n
i
i
i
m
ax
A
ax
xP
1
1
Vdụ 1b : ( )
( )22))()(( cx
D
cx
C
bx
B
ax
A
cxbxax
xPm
−
+
−
+
−
+
−
=
−−−
[email protected] | - Thư viện sách trực tuyến Trang 7
*Qt 2': ( )
( ) ( ) ( ) ( )n
nn
n
nn
n
m
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
xP
++
+
+
++
+
++
++
+
=
++
−
−−
212
11
2
11
2
...... với 0<∆
*Qt 3: ( )
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑= = ++
+
+
−
=
++−
m
i
n
k
i
i
i
i
nm
t
cbxax
BxA
x
A
cbxaxx
xP
1 1
2
1
2 αα
Vdụ 1 : ( )( ) ( )cbxax
CBx
x
A
cbxaxx
xPt
++
+
+
−
=
++− 22)( αα
Vdụ 2 : ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
22
2
11
22 cbxax
CxB
cbxax
CxB
x
A
cbxaxx
xPt
++
+
+
++
+
+
−
=
++− αα
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a) ∫ ++=
1
0
21 23xx
dx
I b)
( )∫ ++
=
1
0
222 23xx
dx
I
Bài làm :
a)
( )( ) ∫∫∫
+
−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
1
0
21 2
1
1
1
2123
dx
xxxx
dx
xx
dx
I
b)
( ) ( ) ( ) ( )( )
dx
xxxx
dx
xx
dx
I ∫∫
++
−
+
+
+
=
++
=
1
0
22
1
0
222 21
2
2
1
1
1
23
( ) OKxx
xx
=
+−+−
+
−
+
−=
1
0
2ln1ln2
2
1
1
1
Tính các tích phân sau :
a) ∫ ++=
1
0
241 33xx
dx
I b) ( )( )∫ ++
−
=
1
0
22 21
24
dx
xx
x
I
Bài làm :
a)* Bạn ñọc dễ dàng chứng minh ñược ∫ +=+= Ca
x
aax
dx
I arctan
1
220
với 0>a
( )( ) dxxxxx
dx
xx
dx
I ∫ ∫∫
+
−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
2222
1
0
241 3
1
1
1
2
1
3133
( )329
23
arctan
3
1
arctan
2
1
1
0
−=
−=
πx
x
[ ]
3
4
ln2ln1ln
1
0
=+−+= xx
[email protected] | - Thư viện sách trực tuyến Trang 8
b) ðặt :
( )( )
( ) ( )
( )( )12
22
1212
24
2
2
22 ++
+++++
=
+
+
+
+
=
++
−
xx
ACCBxBAx
x
CBx
x
A
xx
x
Do ñó ta có hệ :
=
=
−=
⇔
=+
=+
=+
0
2
2
02
42
0
C
B
A
AC
CB
BA
Vậy : ( )( )∫ ∫
+
+
+
−=
++
−
=
1
0
1
0
222 1
2
2
2
21
24
dx
x
x
x
dx
xx
x
I
[ ]
9
4
ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2
1
0
2 =−++−=+++−= xx
Bạn ñọc tự làm :
a)
( )∫ −
+
=
3
2
21 1
1
dx
xx
x
I b) ∫ −+=
5
2
22 32xx
dx
I
c) dx
xx
x
I ∫ −
−
=
2
1
3
3
3 4
1 d) ∫ +−=
2
3
243 23
dx
xx
x
I
HD:
a)
( ) 11
1
22 −
++=
−
+
x
C
x
B
x
A
xx
x b)
3132
1
2 +
+
−
=
−+ x
B
x
A
xx
c)
( )( )
−+
−
+=
−
−
1212
4
1
4
1
4
1
3
3
xxx
x
xx
x d)
221123 24 −
+
+
+
+
+
−
=
+− x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
ðẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh ñẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách ñổi biến số và nhận
xét một số ñặc ñiểm sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần nhớ những ñẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ ñề áp dụng.
BÀI TẬP
Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫ −=−
1
0
1
0
11 dxxxdxxx mnnm
Bài làm :
Xét ( )∫ −=
1
0
1 dxxxI nm
ðặt : dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=1
[email protected] | - Thư viện sách trực tuyến Trang 9
ðổi cận :
=→=
=→=
01
10
tx
tx
Vậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=−−=−=
0
1
1
0
1
0
111 dtttdtttdxxxI nmnmnm (ñpcm)
Chứng minh rằng nếu )(xf là hàm lẻ và liên tục trên ñoạn [ ]aa,− thì :
( )∫
−
==
a
a
dxxfI 0
Bài làm :
( ) ( ) ( )1)(
0
0
∫ ∫ ∫
− −
+==
a
a a
a
dxxfdxxfdxxfI
Xét ( )∫
−
0
a
dxxf . ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=
ðổi cận :
=→=
=→−=
00 tx
atax
V ậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=−=
−
a a
a
dttfdttfdxxf
0 0
0
Thế vào (1) ta ñược : 0=I (ñpcm)
Tương tự bạn ñọc có thể chứng minh : Nếu )(xf là hàm chẳn và liên tục trên ñoạn
[ ]aa,− thì ( )...
Download Chuyên đề Tích phân miễn phí
Đẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thườngdùng cách đổi biến số và nhận
xét một số đặc điểm sau .
Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên +cận dưới, .
Chúng ta cần nhớnhững đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho
Tóm tắt nội dung:
2
64
0
6
3
π
π
π
−=−
+−=
+
−+−=
+
==
∫
∫ ∫∫
dut
tt
dt
t
tt
t
dtt
xdxI
[email protected] | - Thư viện sách trực tuyến Trang 4
Tính các tích phân sau :
a) ∫
+
=
2
0
22221 cos.sin.
cos.sin
π
dx
xbxa
xx
I b) ∫ +
=
3
0
2
2cos2
cos
π
dx
x
x
I
Bài làm :
a) ðặt : xdxxabdtxbxat cos.sin)(2cos.sin. 222222 +−=⇒+=
ðổi cận :
=→=
=→=
2
2
2
0
btx
atx
π
Nếu ba ≠
Vậy : ( )
baab
ba
t
ab
t
dt
ab
dx
xbxa
xx
I
b
a
b
a
+
=
−
−
=
−
=
−
=
+
= ∫ ∫
11
2
1
cos.sin.
cos.sin
2222
2
0
22221
2
2
2
2
π
Nếu ba =
Vậy :
a
x
a
xdx
a
a
xdxx
dx
xbxa
xx
I
2
1
2cos
4
1
2sin
2
1
cos.sin
cos.sin.
cos.sin
2
0
2
0
2
0
2
0
22221
=−==
=
+
=
∫
∫∫
ππ
ππ
b) ðặt : xdxdtxt cossin =⇒=
ðổi cận :
=→=
=→=
2
3
3
00
tx
tx
π
Vậy : ∫∫∫
−
=
−
=
+
=
2
3
0 2
2
3
0
2
3
0
2
2
32
1
232cos2
cos
t
dt
t
dt
dx
x
x
I
π
ðặt : ududtut sin
2
3
cos
2
3
−=⇒=
ðổi cận :
=→=
=→=
42
3
2
0
π
π
ut
ut
[email protected] | - Thư viện sách trực tuyến Trang 5
Vậy :
( )
242
1
2
1
cos1
2
3
sin
2
3
2
1
2
32
1
2
4
4
4
2
4
2
2
3
0 2
2
π
π
π
π
π
π
π
===
−
=
−
=
∫
∫∫
udu
u
udu
t
dt
I
Tính các tích phân sau :
a) ∫ ++=
2
0
1 5cos3sin4
1
π
dx
xx
I b) ∫ ++
++
=
2
0
2 5cos3sin4
6cos7sin
π
dx
xx
xx
I
Bài làm :
a) ðặt :
1
2
1
2
tan
2
tan
2
2
+
=⇒
+=⇒=
t
dt
dxdx
x
dt
x
t
ðổi cận :
=→=
=→=
1
2
00
tx
tx
π
Vậy :
( )
6
1
2
1
1
5
1
1
3
1
2
4
1
2
1
0
1
0
2
1
0
2
2
2
2
1
=
+
−=
+
=
+
+
−
+
+
+= ∫∫
t
t
dt
dt
t
t
t
t
tI
b)ðặt :
5cos3sin45cos3sin4
sin3cos4
5cos3sin4
6cos7sin
++
+
++
−
+=
++
++
xx
C
xx
xx
BA
xx
xx
Dùng ñồng nhất thức ta ñược: 1,1,1 === CBA
Vậy :
( )
6
1
8
9
ln
2
5cos3sin4ln
5cos3sin4
1
5cos3sin4
sin3cos4
1
5cos3sin4
6cos7sin
1
2
0
2
0
2
0
2
++=++++=
++
+
++
−
+=
++
++
= ∫∫
ππ
ππ
Ixxx
dx
xxxx
xx
dx
xx
xx
I
Bạn ñọc tự làm :
a) ∫=
2
6
2
3
1 sin
cos
π
π
dx
x
x
I b) ∫=
2
0
3
2 sin.cos
π
xdxxI c) ∫ +=
2
0
3 2sin
π
x
dx
I
[email protected] | - Thư viện sách trực tuyến Trang 6
c) ∫ +=
2
0
3
3 1cos
sin4
π
dx
x
x
I d) ∫ ++=
2
0
5 3cos2sin
1
π
dx
xx
I d) ∫ ++
+−
=
2
0
6 3cos2sin
1cossin
π
dx
xx
xx
I
Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ
Dạng 1 :
( ) ( )
C
axnax
dx
I
nn
+
−−
−=
−
= −∫ 1
1
.
1
1 với ( ) { }( )1,0, −×∈ NCna ta có :
Nếu Ran ∈= ,1 ta có : Cx
ax
dx
I +=
−
= ∫ ln
Dạng 2 :
( )∫ ++
+
= dx
cbxax
x
I
n2
βα trong ñó :
<−=∆
∈
04
,,,,
2 acb
Rcbaβα
* Giai ñoạn 1 : 0≠α ,làm xuất hiện ở tử thức ñạo hàm của tam thức cbxax ++2 ,
sai khác một số :
( ) ( ) ( )∫∫∫ ++
−+
++
+
=
++
−++
=
nnn
cbxax
dx
b
a
a
dx
cbxax
bax
a
dx
cbxax
b
a
bax
a
I
222
2
2
2
2
2
2
2 α
βααα
β
α
* Giai ñoạn 2 :
Tính
( ) ( )∫∫
∆−
+
=
+
∆−
∆−
=
++
=
bax
t
n
n
n
t
dt
a
a
dx
cbxax
dx
I
2
22 12
.
4
* Giai ñoạn 3 :
Tính
( )∫ +
= dt
t
I
n
1
1
2
có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hay ñặt φtan=t
Dạng 3 : ( )
( )∫= dxxQ
xP
I
n
m
Ta có : ( )
( ) 01
01
......
......
bxbxb
axaxa
xQ
xP
n
n
m
m
n
m
+++
+++
=
Nếu : ( ) ( )QP degdeg ≥ thì ta thực hiện phép chia ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )xQ
xR
xA
xQ
xP
n
r
nm
n
m += − trong ñó
phân số ( )
( )xQ
xR
n
r có ( ) ( )QR degdeg <
Nếu : ( ) ( )QP degdeg < ta có các qui tắc sau :
*Qt 1: ( )
( ) ( ) ( ) ( )n
n
n
n
n
xm
ax
A
ax
A
ax
A
ax
P
−
+
−
++
−
=
− −
−
1
11 ......
Vdụ 1a :
( )
( ) ( )
∑
∏ =
=
−
=
−
n
i
i
i
i
n
i
i
i
m
ax
A
ax
xP
1
1
Vdụ 1b : ( )
( )22))()(( cx
D
cx
C
bx
B
ax
A
cxbxax
xPm
−
+
−
+
−
+
−
=
−−−
[email protected] | - Thư viện sách trực tuyến Trang 7
*Qt 2': ( )
( ) ( ) ( ) ( )n
nn
n
nn
n
m
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
xP
++
+
+
++
+
++
++
+
=
++
−
−−
212
11
2
11
2
...... với 0<∆
*Qt 3: ( )
( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑= = ++
+
+
−
=
++−
m
i
n
k
i
i
i
i
nm
t
cbxax
BxA
x
A
cbxaxx
xP
1 1
2
1
2 αα
Vdụ 1 : ( )( ) ( )cbxax
CBx
x
A
cbxaxx
xPt
++
+
+
−
=
++− 22)( αα
Vdụ 2 : ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
22
2
11
22 cbxax
CxB
cbxax
CxB
x
A
cbxaxx
xPt
++
+
+
++
+
+
−
=
++− αα
BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
a) ∫ ++=
1
0
21 23xx
dx
I b)
( )∫ ++
=
1
0
222 23xx
dx
I
Bài làm :
a)
( )( ) ∫∫∫
+
−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
1
0
21 2
1
1
1
2123
dx
xxxx
dx
xx
dx
I
b)
( ) ( ) ( ) ( )( )
dx
xxxx
dx
xx
dx
I ∫∫
++
−
+
+
+
=
++
=
1
0
22
1
0
222 21
2
2
1
1
1
23
( ) OKxx
xx
=
+−+−
+
−
+
−=
1
0
2ln1ln2
2
1
1
1
Tính các tích phân sau :
a) ∫ ++=
1
0
241 33xx
dx
I b) ( )( )∫ ++
−
=
1
0
22 21
24
dx
xx
x
I
Bài làm :
a)* Bạn ñọc dễ dàng chứng minh ñược ∫ +=+= Ca
x
aax
dx
I arctan
1
220
với 0>a
( )( ) dxxxxx
dx
xx
dx
I ∫ ∫∫
+
−
+
=
++
=
++
=
1
0
1
0
2222
1
0
241 3
1
1
1
2
1
3133
( )329
23
arctan
3
1
arctan
2
1
1
0
−=
−=
πx
x
[ ]
3
4
ln2ln1ln
1
0
=+−+= xx
[email protected] | - Thư viện sách trực tuyến Trang 8
b) ðặt :
( )( )
( ) ( )
( )( )12
22
1212
24
2
2
22 ++
+++++
=
+
+
+
+
=
++
−
xx
ACCBxBAx
x
CBx
x
A
xx
x
Do ñó ta có hệ :
=
=
−=
⇔
=+
=+
=+
0
2
2
02
42
0
C
B
A
AC
CB
BA
Vậy : ( )( )∫ ∫
+
+
+
−=
++
−
=
1
0
1
0
222 1
2
2
2
21
24
dx
x
x
x
dx
xx
x
I
[ ]
9
4
ln1ln2ln2ln3ln21ln2ln2
1
0
2 =−++−=+++−= xx
Bạn ñọc tự làm :
a)
( )∫ −
+
=
3
2
21 1
1
dx
xx
x
I b) ∫ −+=
5
2
22 32xx
dx
I
c) dx
xx
x
I ∫ −
−
=
2
1
3
3
3 4
1 d) ∫ +−=
2
3
243 23
dx
xx
x
I
HD:
a)
( ) 11
1
22 −
++=
−
+
x
C
x
B
x
A
xx
x b)
3132
1
2 +
+
−
=
−+ x
B
x
A
xx
c)
( )( )
−+
−
+=
−
−
1212
4
1
4
1
4
1
3
3
xxx
x
xx
x d)
221123 24 −
+
+
+
+
+
−
=
+− x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
ðẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh ñẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách ñổi biến số và nhận
xét một số ñặc ñiểm sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần nhớ những ñẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ ñề áp dụng.
BÀI TẬP
Chứng minh rằng : ( ) ( )∫ ∫ −=−
1
0
1
0
11 dxxxdxxx mnnm
Bài làm :
Xét ( )∫ −=
1
0
1 dxxxI nm
ðặt : dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=1
[email protected] | - Thư viện sách trực tuyến Trang 9
ðổi cận :
=→=
=→=
01
10
tx
tx
Vậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=−−=−=
0
1
1
0
1
0
111 dtttdtttdxxxI nmnmnm (ñpcm)
Chứng minh rằng nếu )(xf là hàm lẻ và liên tục trên ñoạn [ ]aa,− thì :
( )∫
−
==
a
a
dxxfI 0
Bài làm :
( ) ( ) ( )1)(
0
0
∫ ∫ ∫
− −
+==
a
a a
a
dxxfdxxfdxxfI
Xét ( )∫
−
0
a
dxxf . ðặt dtdxdxdtxt −=⇒−=⇒−=
ðổi cận :
=→=
=→−=
00 tx
atax
V ậy : ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ −=−=
−
a a
a
dttfdttfdxxf
0 0
0
Thế vào (1) ta ñược : 0=I (ñpcm)
Tương tự bạn ñọc có thể chứng minh : Nếu )(xf là hàm chẳn và liên tục trên ñoạn
[ ]aa,− thì ( )...