Chuyên đề Giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
1. CÁC BÀI TOÁN VỀHÌNH CHÓP TAM GIÁC
Bài 1 (trích đềthi đại học khối D – 2002). Cho tứdiện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC =
AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD).
Bài 2.Cho ABC ∆ vuông tại A có đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF.
1. Chứng minh H là trung điểm của SD.
2. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE).
3. Tính thểtích hình chóp A.BCFE.
Bài 3.Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với nhau từng đôi một.
Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên
(OBC), (OCA), (OAB).
1. Tính thểtích tứdiện HA’B’C’.
2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏS.ABC là tứdiện đều.
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho
ThS. ðoàn Vương Nguyên toancapba.com
CHUYÊN ðỀ
GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
ðể giải ñược các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa ñộ ta cần chọn hệ trục tọa ñộ
thích hợp. Lập tọa ñộ các ñỉnh, ñiểm liên quan dựa vào hệ trục tọa ñộ ñã chọn và ñộ dài cạnh của hình.
Ta thường gặp các dạng sau
1. Hình chóp tam giác
a. Dạng tam diện vuông
Ví dụ 1. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c ñôi một vuông góc. ðiểm M cố ñịnh thuộc
tam giác ABC có khoảng cách lần lượt ñến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c
ñể thể tích O.ABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa ñộ như hình vẽ, ta có:
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
d[M, (OAB)] = 3 ⇒ zM = 3.
Tương tự ⇒ M(1; 2; 3).
pt(ABC): x y z 1
a b c
+ + =
1 2 3
M (ABC) 1
a b c
∈ ⇒ + + = (1).
O.ABC
1
V abc
6
= (2).
3
1 2 3 1 2 3
(1) 1 3 . .
a b c a b c
⇒ = + + ≥
1
abc 27
6
⇒ ≥ .
(2) min 1 2 3 1V 27 a b c 3⇒ = ⇔ = = = .
b. Dạng khác
Ví dụ 2. Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với ñáy và ABC∆ vuông tại C. ðộ dài của các cạnh là
SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung ñiểm của cạnh AB, H là ñiểm ñối xứng của C qua M.
Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C]
2
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa ñộ như hình vẽ, ta có:
A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và
H(1; 0; 0).
mp(P) qua H vuông góc với SB tại I cắt ñường
thẳng SC tại K, dễ thấy
[H, SB, C] = ( )IH, IK
(1).
SB ( 1; 3; 4)= − −
, SC (0; 3; 4)= −
suy ra:
ptts SB:
x 1 t
y 3 3t
z 4t
= −
= −
=
, SC:
x 0
y 3 3t
z 4t
=
= −
=
và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0.
( ) ( )5 15 3 51 32I ; ; , K 0; ; 8 8 2 25 25⇒
IH.IK
cos[H, SB, C]
IH.IK
⇒ =
= …
Chú ý: Nếu C và H ñối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi ñó ta không cần tìm K.
Ví dụ 3 (trích ñề thi ðại học khối A – 2002). Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có ñộ dài cạnh ñáy là
a. Gọi M, N là trung ñiểm SB, SC. Tính theo a diện tích ∆AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC).
Hướng dẫn giải
Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O
là trọng tâm ABC∆ . Gọi I là trung ñiểm của BC,
ta có:
3 a 3
AI BC
2 2
= =
a 3 a 3
OA , OI
3 6
⇒ = =
Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA.
ðặt SO = h, chọn hệ trục tọa ñộ như hình vẽ ta
ñược:
O(0; 0; 0), S(0; 0; h), a 3A ; 0; 0
3
a 3
I ; 0; 0
6
⇒ −
,
a 3 a
B ; ; 0
6 2
−
,
a 3 a
C ; ; 0
6 2
− −
,
a 3 a h
M ; ;
12 4 2
−
và a 3 a hN ; ;
12 4 2
− −
.
2
(AMN)
ah 5a 3
n AM, AN ; 0;
4 24
⇒ = =
,
2
(SBC)
a 3
n SB, SC ah; 0;
6
= = −
3
2 2
2
(AMN) (SBC) AMN
5a 1 a 10
(AMN) (SBC) n .n 0 h S AM, AN
12 2 16∆
⊥ ⇒ = ⇒ = ⇒ = =
.
2. Hình chóp tứ giác
a) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với ñáy và ñáy là hình vuông (hay hình chữ nhật). Ta chọn hệ
trục tọa ñộ như dạng tam diện vuông.
b) Hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông (hay hình thoi) tâm O ñường cao SO vuông góc với ñáy.
Ta chọn hệ trục tọa ñộ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h).
c) Hình chóp S.ABCD có ñáy hình chữ nhật ABCD và AB = b. SAD∆ ñều cạnh a và vuông góc với
ñáy. Gọi H là trung ñiểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuông góc với AD. Chọn hệ trục tọa ñộ Hxyz
ta có:
H(0; 0; 0), ( ) ( )a aA ; 0; 0 , B ; b; 02 2 ( ) ( )
a a a 3
, C ; b; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0; .
2 2 2
− −
3. Hình lăng trụ ñứng
Tùy theo hình dạng của ñáy ta chọn hệ trục như các dạng trên.
Chú ý
+ Hình chóp tam giác ñều có ñáy là tam giác ñều và các cạnh bên bằng nhau, nhưng không nhất thiết
phải bằng ñáy. Chân ñường cao là trọng tâm của ñáy.
+ Tứ diện ñều là hình chóp tam giác ñều có cạnh bên bằng ñáy.
+ Hình hộp có ñáy là hình bình hành nhưng không nhất thiết phải là hình chữ nhật.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TAM GIÁC
Bài 1 (trích ñề thi ðại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC =
AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ ñỉnh A ñến (BCD).
Bài 2. Cho ABC∆ vuông tại A có ñường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên ñường thẳng vuông góc với
(ABC) tại A lấy ñiểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung ñiểm của SB, SC và H là hình chiếu của A
trên EF.
1. Chứng minh H là trung ñiểm của SD.
2. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE).
3. Tính thể tích hình chóp A.BCFE.
Bài 3. Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với nhau từng ñôi một.
Gọi H là hình chiếu của ñiểm O lên (ABC) và các ñiểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên
(OBC), (OCA), (OAB).
1. Tính thể tích tứ diện HA’B’C’.
2. Gọi S là ñiểm ñối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện ñều.
Bài 4. Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC ñôi một vuông góc. Gọi , , α β γ lần lượt là góc nhị diện
cạnh AB, BC, CA. Gọi H là hình chiếu của ñỉnh O trên (ABC).
1. Chứng minh H là trực tâm của ABC∆ .
2. Chứng minh 2 2 2 2
1 1 1 1
.
OH OA OB OC
= + +
3. Chứng minh 2 2 2cos cos cos 1.α + β + γ =
4
4. Chứng minh cos cos cos 3.α + β + γ ≤
Bài 5. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng ñôi một. Gọi M, N,
P lần lượt là trung ñiểm BC, CA, AB.
1. Tính góc ϕ giữa (OMN) và (OAB).
2. Tìm ñiều kiện a, b, c ñể hình chiếu của O trên (ABC) là trọng tâm ANP∆ .
3. Chứng minh rằng góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuông khi và chỉ khi 2 2 2
1 1 1
.
a b c
= +
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có ABC∆ vuông cân tại A, SA vuông góc với ñáy. Biết AB = 2,
0(ABC),(SBC) 60= .
1. Tính ñộ dài SA.
2. Tính khoảng cách từ ñỉnh A ñến (SBC).
3. Tính góc phẳng nhị diện [A, SB, C].
Bài 7. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng ñôi một.
1. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp.
2. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 8 (trích ñề thi ðại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao
tuyến là ñường thẳng (d). Trên (d) lấy hai ñiểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy ñiểm C, trong (Q) lấy
ñiểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện ABCD và khoảng cách từ ñỉnh A ñến (BCD) theo a.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuông góc với
ñáy và SA = 2a. Gọi M là trung ñiểm của SC.
1. Tính diện tích MAB∆ theo a.
2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a.
3. Tính góc phẳng nhị diện [A, SC, B].
Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có ABC∆ vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuông góc với ñáy. Vẽ
AH vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K.
1. Chứng minh HK vuông góc với CS.
2. Gọi I là giao ñiểm của HK và BC. Chứng minh B là trung ñiểm của CI.
3. Tính sin của góc giữa SB và (AHK).
4. Xác ñịnh tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có ABC∆ vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh...
Download Chuyên đề Giải hình học không gian bằng phương pháp tọa độ miễn phí
1. CÁC BÀI TOÁN VỀHÌNH CHÓP TAM GIÁC
Bài 1 (trích đềthi đại học khối D – 2002). Cho tứdiện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC =
AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD).
Bài 2.Cho ABC ∆ vuông tại A có đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF.
1. Chứng minh H là trung điểm của SD.
2. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE).
3. Tính thểtích hình chóp A.BCFE.
Bài 3.Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với nhau từng đôi một.
Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên
(OBC), (OCA), (OAB).
1. Tính thểtích tứdiện HA’B’C’.
2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏS.ABC là tứdiện đều.
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho
Tóm tắt nội dung:
1ThS. ðoàn Vương Nguyên toancapba.com
CHUYÊN ðỀ
GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ
I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
ðể giải ñược các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa ñộ ta cần chọn hệ trục tọa ñộ
thích hợp. Lập tọa ñộ các ñỉnh, ñiểm liên quan dựa vào hệ trục tọa ñộ ñã chọn và ñộ dài cạnh của hình.
Ta thường gặp các dạng sau
1. Hình chóp tam giác
a. Dạng tam diện vuông
Ví dụ 1. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c ñôi một vuông góc. ðiểm M cố ñịnh thuộc
tam giác ABC có khoảng cách lần lượt ñến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c
ñể thể tích O.ABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa ñộ như hình vẽ, ta có:
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).
d[M, (OAB)] = 3 ⇒ zM = 3.
Tương tự ⇒ M(1; 2; 3).
pt(ABC): x y z 1
a b c
+ + =
1 2 3
M (ABC) 1
a b c
∈ ⇒ + + = (1).
O.ABC
1
V abc
6
= (2).
3
1 2 3 1 2 3
(1) 1 3 . .
a b c a b c
⇒ = + + ≥
1
abc 27
6
⇒ ≥ .
(2) min 1 2 3 1V 27 a b c 3⇒ = ⇔ = = = .
b. Dạng khác
Ví dụ 2. Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với ñáy và ABC∆ vuông tại C. ðộ dài của các cạnh là
SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung ñiểm của cạnh AB, H là ñiểm ñối xứng của C qua M.
Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C]
2
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa ñộ như hình vẽ, ta có:
A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và
H(1; 0; 0).
mp(P) qua H vuông góc với SB tại I cắt ñường
thẳng SC tại K, dễ thấy
[H, SB, C] = ( )IH, IK
(1).
SB ( 1; 3; 4)= − −
, SC (0; 3; 4)= −
suy ra:
ptts SB:
x 1 t
y 3 3t
z 4t
= −
= −
=
, SC:
x 0
y 3 3t
z 4t
=
= −
=
và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0.
( ) ( )5 15 3 51 32I ; ; , K 0; ; 8 8 2 25 25⇒
IH.IK
cos[H, SB, C]
IH.IK
⇒ =
= …
Chú ý: Nếu C và H ñối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi ñó ta không cần tìm K.
Ví dụ 3 (trích ñề thi ðại học khối A – 2002). Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có ñộ dài cạnh ñáy là
a. Gọi M, N là trung ñiểm SB, SC. Tính theo a diện tích ∆AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC).
Hướng dẫn giải
Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O
là trọng tâm ABC∆ . Gọi I là trung ñiểm của BC,
ta có:
3 a 3
AI BC
2 2
= =
a 3 a 3
OA , OI
3 6
⇒ = =
Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA.
ðặt SO = h, chọn hệ trục tọa ñộ như hình vẽ ta
ñược:
O(0; 0; 0), S(0; 0; h), a 3A ; 0; 0
3
a 3
I ; 0; 0
6
⇒ −
,
a 3 a
B ; ; 0
6 2
−
,
a 3 a
C ; ; 0
6 2
− −
,
a 3 a h
M ; ;
12 4 2
−
và a 3 a hN ; ;
12 4 2
− −
.
2
(AMN)
ah 5a 3
n AM, AN ; 0;
4 24
⇒ = =
,
2
(SBC)
a 3
n SB, SC ah; 0;
6
= = −
3
2 2
2
(AMN) (SBC) AMN
5a 1 a 10
(AMN) (SBC) n .n 0 h S AM, AN
12 2 16∆
⊥ ⇒ = ⇒ = ⇒ = =
.
2. Hình chóp tứ giác
a) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với ñáy và ñáy là hình vuông (hay hình chữ nhật). Ta chọn hệ
trục tọa ñộ như dạng tam diện vuông.
b) Hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông (hay hình thoi) tâm O ñường cao SO vuông góc với ñáy.
Ta chọn hệ trục tọa ñộ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có
O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h).
c) Hình chóp S.ABCD có ñáy hình chữ nhật ABCD và AB = b. SAD∆ ñều cạnh a và vuông góc với
ñáy. Gọi H là trung ñiểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuông góc với AD. Chọn hệ trục tọa ñộ Hxyz
ta có:
H(0; 0; 0), ( ) ( )a aA ; 0; 0 , B ; b; 02 2 ( ) ( )
a a a 3
, C ; b; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0; .
2 2 2
− −
3. Hình lăng trụ ñứng
Tùy theo hình dạng của ñáy ta chọn hệ trục như các dạng trên.
Chú ý
+ Hình chóp tam giác ñều có ñáy là tam giác ñều và các cạnh bên bằng nhau, nhưng không nhất thiết
phải bằng ñáy. Chân ñường cao là trọng tâm của ñáy.
+ Tứ diện ñều là hình chóp tam giác ñều có cạnh bên bằng ñáy.
+ Hình hộp có ñáy là hình bình hành nhưng không nhất thiết phải là hình chữ nhật.
II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TAM GIÁC
Bài 1 (trích ñề thi ðại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC =
AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ ñỉnh A ñến (BCD).
Bài 2. Cho ABC∆ vuông tại A có ñường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên ñường thẳng vuông góc với
(ABC) tại A lấy ñiểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung ñiểm của SB, SC và H là hình chiếu của A
trên EF.
1. Chứng minh H là trung ñiểm của SD.
2. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE).
3. Tính thể tích hình chóp A.BCFE.
Bài 3. Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với nhau từng ñôi một.
Gọi H là hình chiếu của ñiểm O lên (ABC) và các ñiểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên
(OBC), (OCA), (OAB).
1. Tính thể tích tứ diện HA’B’C’.
2. Gọi S là ñiểm ñối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện ñều.
Bài 4. Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC ñôi một vuông góc. Gọi , , α β γ lần lượt là góc nhị diện
cạnh AB, BC, CA. Gọi H là hình chiếu của ñỉnh O trên (ABC).
1. Chứng minh H là trực tâm của ABC∆ .
2. Chứng minh 2 2 2 2
1 1 1 1
.
OH OA OB OC
= + +
3. Chứng minh 2 2 2cos cos cos 1.α + β + γ =
4
4. Chứng minh cos cos cos 3.α + β + γ ≤
Bài 5. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng ñôi một. Gọi M, N,
P lần lượt là trung ñiểm BC, CA, AB.
1. Tính góc ϕ giữa (OMN) và (OAB).
2. Tìm ñiều kiện a, b, c ñể hình chiếu của O trên (ABC) là trọng tâm ANP∆ .
3. Chứng minh rằng góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuông khi và chỉ khi 2 2 2
1 1 1
.
a b c
= +
Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có ABC∆ vuông cân tại A, SA vuông góc với ñáy. Biết AB = 2,
0(ABC),(SBC) 60= .
1. Tính ñộ dài SA.
2. Tính khoảng cách từ ñỉnh A ñến (SBC).
3. Tính góc phẳng nhị diện [A, SB, C].
Bài 7. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng ñôi một.
1. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp.
2. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 8 (trích ñề thi ðại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao
tuyến là ñường thẳng (d). Trên (d) lấy hai ñiểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy ñiểm C, trong (Q) lấy
ñiểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện ABCD và khoảng cách từ ñỉnh A ñến (BCD) theo a.
Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuông góc với
ñáy và SA = 2a. Gọi M là trung ñiểm của SC.
1. Tính diện tích MAB∆ theo a.
2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a.
3. Tính góc phẳng nhị diện [A, SC, B].
Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có ABC∆ vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuông góc với ñáy. Vẽ
AH vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K.
1. Chứng minh HK vuông góc với CS.
2. Gọi I là giao ñiểm của HK và BC. Chứng minh B là trung ñiểm của CI.
3. Tính sin của góc giữa SB và (AHK).
4. Xác ñịnh tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có ABC∆ vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh...