minhhanh2504
New Member
Chuyên đề Bất đẳng thức lượng giác
Mục lục
Lời nói đầu . 1
Chương 1 : Các bước đầu cơsở3
1.1. Các bất đẳng thức đại sốcơbản 4
1.1.1. Bất đẳng thức AM – GM . . 4
1.1.2. Bất đẳng thức BCS . 8
1.1.3. Bất đẳng thức Jensen . 13
1.1.4. Bất đẳng thức Chebyshev . 16
1.2. Các đẳng thức, bất đẳng thức trong tam giác . 19
1.2.1. đẳng thức . 19
1.2.2. Bất đẳng thức . 21
1.3. Một số định lý khác . 22
1.3.1. định lý Largare . . 22
1.3.2. định lý về dấu của tam thức bậc hai . 25
1.3.3. định lý về hàm tuyến tính . 28
1.4. Bài tập . 29
Chương 2 : Các phương pháp chứng minh 31
2.1. Biến đổi lượng giác tương đương . 32
2.2. Sử dụng các bước đầu cơsở . 38
2.3. đưa về vector và tích vô hướng . 46
2.4. Kết hợp các bất đẳng thức cổ điển . 48
2.5. Tận dụng tính đơn điệu của hàm số 57
2.6. Bài tập . 64
Chương 3 : Áp dụng vào một số vấn đề khác 66
3.1. định tính tam giác .67
3.1.1. Tam giác đều .67
3.1.2. Tam giác cân .70
3.1.3. Tam giác vuông . .72
3.2. Cực trịlượng giác .73
3.3. Bài tập .76
Chương 4 : Một số chuyên đề bài viết hay, thú vịliên quan đến bất đẳng thức và lượng giác 77
Xung quanh bài toán Ecdôstrong tam giác .78
Ứng dụng của đại sốvào việc phát hiện và chứng minh bất đẳng thức trong tam giác . .82
Thửtrởvềcội nguồn của môn Lượng giác .91
Phương pháp giải một dạng bất đẳng thức lượng giác trong tam giác .94
Chương 5 : Bất đẳng thức nhưthế nào là hay ?
Làm sao có thể sáng tạo bất đẳng thức ? 99
Chương 6 : Hướng dẫn giải bài tập 101
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho
⇒
9
2
9
33
8
3
8
3
8
2
2
Một lần nữa theo AM – GM ta có :
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ac
caca
cb
bcbc
ba
abab
accbba
abc
accbba
abc
+
+
+
+
+
≤
+++
≤
+++++ 3.3
99
⇒vế phải chứng minh xong⇒Bất ñẳng thức ñược chứng minh hoàn toàn.
Ví dụ 2.2.10.
Cho ABC∆ bất kỳ. CMR :
4
2
8
2
8
2
8
3
6
2
cos
2
cos
2
cos
≥++
R
abc
C
c
B
b
A
a
www.VNMATH.com
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
The Inequalities Trigonometry 46
Lời giải :
Áp dụng BCS ta có :
( )
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos 222
2444
2
8
2
8
2
8
CBA
cba
C
c
B
b
A
a
++
++≥++
mà :
( )224
222
16
4
9
2
cos
2
cos
2
cos
S
R
abc
CBA
=
≤++
Vì thế ta chỉ cần chứng minh : 2444 16Scba ≥++
Trước hết ra có : ( ) ( )1444 cbaabccba ++≥++
Thật vậy : ( ) ( ) ( ) ( ) 01 222222 ≥−+−+−⇔ abcccabbbcaa
( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) 0222222222 ≥−+++−+++−++⇔ babacacacbcbcba (ñúng!)
Mặt khác ta cũng có :
( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )21616 2 bacacbcbacbacpbpappS −+−+−+++=−−−=
Từ ( ) ( )2,1 thì suy ra ta phải chứng minh : ( )( )( ) ( )3bacacbcbaabc −+−+−+≥
ðặt :
bacz
acby
cbax
−+=
−+=
−+=
vì cba ,, là ba cạnh của một tam giác nên 0,, >zyx
Khi ñó theo AM – GM thì :
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )bacacbcbaxyzzxyzxyxzzyyxabc −+−+−+==≥+++=
8
222
8
( )3⇒ ñúng ⇒ñpcm.
2.3 ðưa về vector và tích vô hướng :
Phương pháp này luôn ñưa ra cho bạn ñọc những lời giải bất ngờ và thú vị. Nó ñặc
trưng cho sự kết hợp hoàn giữa ñại số và hình học. Những tính chất của vector lại mang
ñến lời giải thật sáng sủa và ñẹp mắt. Nhưng số lượng các bài toán của phương pháp này
không nhiều.
Ví dụ 2.3.1.
www.VNMATH.com
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
The Inequalities Trigonometry 47
A
B C
e
e
e
1
2
3
O
A
B C
CMR trong mọi tam giác ta có :
2
3
coscoscos ≤++ CBA
Lời giải :
Lấy các vector ñơn vị 321 ,, eee lần lượt trên các cạnh CABCAB ,, .
Hiển nhiên ta có :
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
3
coscoscos
0coscoscos23
0,cos2,cos2,cos23
0
133221
2
321
≤++⇔
≥++−⇔
≥+++⇔
≥++
CBA
CBA
eeeeee
eee
⇒ñpcm.
Ví dụ 2.3.2.
Cho ABC∆ nhọn. CMR :
2
32cos2cos2cos −≥++ CBA
Lời giải :
Gọi O, G lần lượt là tâm ñường tròn ngoại tiếp và trọng tâm ABC∆ .
Ta có : OGOCOBOA 3=++
Hiển nhiên :
( )
( ) ( ) ( )[ ]
( )
2
32cos2cos2cos
02cos2cos2cos23
0,cos,cos,cos23
0
22
22
2
−≥++⇔
≥+++⇔
≥+++⇔
≥++
CBA
BACRR
OAOCOCOBOBOARR
OCOBOA
⇒ñpcm.
ðẳng thức xảy ra ABCGOOGOCOBOA ∆⇔≡⇔=⇔=++⇔ 00 ñều.
Ví dụ 2.3.3.
www.VNMATH.com
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
The Inequalities Trigonometry 48
O
A
B C
Cho ABC∆ nhọn. CMR Rzyx ∈∀ ,, ta có :
( )222
2
12cos2cos2cos zyxCxyBzxAyz ++−≥++
Lời giải :
Gọi O là tâm ñường tròn ngoại tiếp ABC∆ .
Ta có :
( )
( )222
222
222
2
2
12cos2cos2cos
02cos22cos22cos2
0.2.2.2
0
zyxCxyBzxAyz
BzxAyzCxyzyx
OAOCzxOCOByzOBOAxyzyx
OCzOByOAx
++−≥++⇔
≥+++++⇔
≥+++++⇔
≥++
⇒ñpcm.
2.4. Kết hợp các bất ñẳng thức cổ ñiển :
Về nội dung cũng như cách thức sử dụng các bất ñẳng thức chúng ta ñã bàn ở chương
1: “Các bước ñầu cơ sở”. Vì thế ở phần này, ta sẽ không nhắc lại mà xét thêm một số ví
dụ phức tạp hơn, thú vị hơn.
Ví dụ 2.4.1.
CMR ABC∆∀ ta có :
2
39
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin ≥
++
++
CBACBA
Lời giải :
Theo AM – GM ta có :
3
2
sin
2
sin
2
sin
3
2
sin
2
sin
2
sin CBA
CBA
≥
++
Mặt khác :
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos
2
cos
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot CBA
CBA
CBACBA
==++
www.VNMATH.com
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
The Inequalities Trigonometry 49
( )
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
3
2
sin
2
sin
2
sin2
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
sinsinsin
4
1
3
CBA
CCBBAA
CBA
CCBBAA
CBA
CBA
⋅≥
++
=
++
=
Suy ra :
( )1
2
cot
2
cot
2
cot
2
9
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
9
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin
3
3
CBA
CBA
CCBBAACBA
CBACBA
=
⋅≥
≥
++
++
mà ta cũng có : 33
2
cot
2
cot
2
cot ≥CBA
( )2
2
3933
2
9
2
cot
2
cot
2
cot
2
9 33 =⋅≥⋅⇒ CBA
Từ ( )1 và ( )2 :
2
39
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin ≥
++
++⇒
CBACBA
⇒ñpcm.
Ví dụ 2.4.2.
Cho ABC∆ nhọn. CMR :
( )( )
2
39
tantantancoscoscos ≥++++ CBACBA
Lời giải :
Vì ABC∆ nhọn nên CBACBA tan,tan,tan,cos,cos,cos ñều dương.
Theo AM – GM ta có : 3 coscoscos
3
coscoscos CBACBA ≥++
CBA
CBACBACBA
coscoscos
sinsinsin
tantantantantantan ==++
www.VNMATH.com
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
The Inequalities Trigonometry 50
( )
CBA
CCBBAA
CBA
CCBBAA
CBA
CBA
coscoscos2
cossincossincossin
2
3
coscoscos2
cossincossincossin
coscoscos
2sin2sin2sin
4
1
3
⋅≥
++
=
++
=
Suy ra :
( )( )
( )1tantantan
2
9
coscoscos
cossincossincossincoscoscos
2
9
tantantancoscoscos
3
3
CBA
CBA
CCBBAACBACBACBA
=
⋅≥++++
Mặt khác : 33tantantan ≥CBA
( )2
2
3933
2
9
tantantan
2
9 33
=⋅≥⋅⇒ CBA
Từ ( )1 và ( )2 suy ra :
( )( )
2
39
tantantancoscoscos ≥++++ CBACBA
⇒ñpcm.
Ví dụ 2.4.3.
Cho ABC∆ tùy ý. CMR :
34
2
tan
1
2
tan
2
tan
1
2
tan
2
tan
1
2
tan ≥
++
++
+ C
C
B
B
A
A
Lời giải :
Xét ( )
∈∀=
2
;0tan pixxxf
Khi ñó : ( ) =xf ''
Theo Jensen thì : ( )13
2
tan
2
tan
2
tan ≥++ CBA
Xét ( )
∈∀=
2
;0cot pixxxg
Và ( ) ( )
∈∀>+=
2
;00cotcot12'' 2 pixxxxg
Theo Jensen thì : ( )233
2
cot
2
cot
2
cot ≥++ CBA
Vậy ( ) ( )⇒+ 21 ñpcm.
www.VNMATH.com
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
The Inequalities Trigonometry 51
Ví dụ 2.4.4.
CMR trong mọi tam giác ta có :
3
3
21
sin
11
sin
11
sin
11
+≥
+
+
+
CBA
Lời giải :
Ta sử dụng bổ ñề sau :
Bổ ñề : Cho 0,, >zyx và Szyx ≤++ thì :
( )121111111
3
+≥
+
+
+
Szyx
Chứng minh bổ ñề :
Ta có :
( ) ( )2111111111
xyzzxyzxyzyx
VT +
+++
+++=
Theo AM – GM ta có :
( )399111
Szyxzyx
≥
++
≥++
Dấu bằng xảy ra trong ( )
3
3 Szyx ===⇔
Tiếp tục theo AM –GM thì :
33 xyzzyxS ≥++≥
( )4271
27 3
3
Sxyz
xyzS ≥⇒≥⇒
Dấu bằng trong ( )4 xảy ra
3
S
zyx ===⇔
Vẫn theo AM – GM ta lại có :
( )513111 3
2
≥++
xyzzxyzxy
Dấu bằng trong ( )5 xảy ra
3
S
zyx ===⇔
Từ ( )( )54 suy ra :
( )627111 2Szxyzxy ≥++
Dấu bằng trong ( )6 xảy ra ⇔ ñồng thời có dấu bằng trong ( )( )
3
54 Szyx ==...
Download Chuyên đề Bất đẳng thức lượng giác miễn phí
Mục lục
Lời nói đầu . 1
Chương 1 : Các bước đầu cơsở3
1.1. Các bất đẳng thức đại sốcơbản 4
1.1.1. Bất đẳng thức AM – GM . . 4
1.1.2. Bất đẳng thức BCS . 8
1.1.3. Bất đẳng thức Jensen . 13
1.1.4. Bất đẳng thức Chebyshev . 16
1.2. Các đẳng thức, bất đẳng thức trong tam giác . 19
1.2.1. đẳng thức . 19
1.2.2. Bất đẳng thức . 21
1.3. Một số định lý khác . 22
1.3.1. định lý Largare . . 22
1.3.2. định lý về dấu của tam thức bậc hai . 25
1.3.3. định lý về hàm tuyến tính . 28
1.4. Bài tập . 29
Chương 2 : Các phương pháp chứng minh 31
2.1. Biến đổi lượng giác tương đương . 32
2.2. Sử dụng các bước đầu cơsở . 38
2.3. đưa về vector và tích vô hướng . 46
2.4. Kết hợp các bất đẳng thức cổ điển . 48
2.5. Tận dụng tính đơn điệu của hàm số 57
2.6. Bài tập . 64
Chương 3 : Áp dụng vào một số vấn đề khác 66
3.1. định tính tam giác .67
3.1.1. Tam giác đều .67
3.1.2. Tam giác cân .70
3.1.3. Tam giác vuông . .72
3.2. Cực trịlượng giác .73
3.3. Bài tập .76
Chương 4 : Một số chuyên đề bài viết hay, thú vịliên quan đến bất đẳng thức và lượng giác 77
Xung quanh bài toán Ecdôstrong tam giác .78
Ứng dụng của đại sốvào việc phát hiện và chứng minh bất đẳng thức trong tam giác . .82
Thửtrởvềcội nguồn của môn Lượng giác .91
Phương pháp giải một dạng bất đẳng thức lượng giác trong tam giác .94
Chương 5 : Bất đẳng thức nhưthế nào là hay ?
Làm sao có thể sáng tạo bất đẳng thức ? 99
Chương 6 : Hướng dẫn giải bài tập 101
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho
Tóm tắt nội dung:
⇒
9
2
9
33
8
3
8
3
8
2
2
Một lần nữa theo AM – GM ta có :
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ac
caca
cb
bcbc
ba
abab
accbba
abc
accbba
abc
+
+
+
+
+
≤
+++
≤
+++++ 3.3
99
⇒vế phải chứng minh xong⇒Bất ñẳng thức ñược chứng minh hoàn toàn.
Ví dụ 2.2.10.
Cho ABC∆ bất kỳ. CMR :
4
2
8
2
8
2
8
3
6
2
cos
2
cos
2
cos
≥++
R
abc
C
c
B
b
A
a
www.VNMATH.com
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
The Inequalities Trigonometry 46
Lời giải :
Áp dụng BCS ta có :
( )
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos 222
2444
2
8
2
8
2
8
CBA
cba
C
c
B
b
A
a
++
++≥++
mà :
( )224
222
16
4
9
2
cos
2
cos
2
cos
S
R
abc
CBA
=
≤++
Vì thế ta chỉ cần chứng minh : 2444 16Scba ≥++
Trước hết ra có : ( ) ( )1444 cbaabccba ++≥++
Thật vậy : ( ) ( ) ( ) ( ) 01 222222 ≥−+−+−⇔ abcccabbbcaa
( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) 0222222222 ≥−+++−+++−++⇔ babacacacbcbcba (ñúng!)
Mặt khác ta cũng có :
( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )21616 2 bacacbcbacbacpbpappS −+−+−+++=−−−=
Từ ( ) ( )2,1 thì suy ra ta phải chứng minh : ( )( )( ) ( )3bacacbcbaabc −+−+−+≥
ðặt :
bacz
acby
cbax
−+=
−+=
−+=
vì cba ,, là ba cạnh của một tam giác nên 0,, >zyx
Khi ñó theo AM – GM thì :
( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )bacacbcbaxyzzxyzxyxzzyyxabc −+−+−+==≥+++=
8
222
8
( )3⇒ ñúng ⇒ñpcm.
2.3 ðưa về vector và tích vô hướng :
Phương pháp này luôn ñưa ra cho bạn ñọc những lời giải bất ngờ và thú vị. Nó ñặc
trưng cho sự kết hợp hoàn giữa ñại số và hình học. Những tính chất của vector lại mang
ñến lời giải thật sáng sủa và ñẹp mắt. Nhưng số lượng các bài toán của phương pháp này
không nhiều.
Ví dụ 2.3.1.
www.VNMATH.com
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
The Inequalities Trigonometry 47
A
B C
e
e
e
1
2
3
O
A
B C
CMR trong mọi tam giác ta có :
2
3
coscoscos ≤++ CBA
Lời giải :
Lấy các vector ñơn vị 321 ,, eee lần lượt trên các cạnh CABCAB ,, .
Hiển nhiên ta có :
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
3
coscoscos
0coscoscos23
0,cos2,cos2,cos23
0
133221
2
321
≤++⇔
≥++−⇔
≥+++⇔
≥++
CBA
CBA
eeeeee
eee
⇒ñpcm.
Ví dụ 2.3.2.
Cho ABC∆ nhọn. CMR :
2
32cos2cos2cos −≥++ CBA
Lời giải :
Gọi O, G lần lượt là tâm ñường tròn ngoại tiếp và trọng tâm ABC∆ .
Ta có : OGOCOBOA 3=++
Hiển nhiên :
( )
( ) ( ) ( )[ ]
( )
2
32cos2cos2cos
02cos2cos2cos23
0,cos,cos,cos23
0
22
22
2
−≥++⇔
≥+++⇔
≥+++⇔
≥++
CBA
BACRR
OAOCOCOBOBOARR
OCOBOA
⇒ñpcm.
ðẳng thức xảy ra ABCGOOGOCOBOA ∆⇔≡⇔=⇔=++⇔ 00 ñều.
Ví dụ 2.3.3.
www.VNMATH.com
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
The Inequalities Trigonometry 48
O
A
B C
Cho ABC∆ nhọn. CMR Rzyx ∈∀ ,, ta có :
( )222
2
12cos2cos2cos zyxCxyBzxAyz ++−≥++
Lời giải :
Gọi O là tâm ñường tròn ngoại tiếp ABC∆ .
Ta có :
( )
( )222
222
222
2
2
12cos2cos2cos
02cos22cos22cos2
0.2.2.2
0
zyxCxyBzxAyz
BzxAyzCxyzyx
OAOCzxOCOByzOBOAxyzyx
OCzOByOAx
++−≥++⇔
≥+++++⇔
≥+++++⇔
≥++
⇒ñpcm.
2.4. Kết hợp các bất ñẳng thức cổ ñiển :
Về nội dung cũng như cách thức sử dụng các bất ñẳng thức chúng ta ñã bàn ở chương
1: “Các bước ñầu cơ sở”. Vì thế ở phần này, ta sẽ không nhắc lại mà xét thêm một số ví
dụ phức tạp hơn, thú vị hơn.
Ví dụ 2.4.1.
CMR ABC∆∀ ta có :
2
39
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin ≥
++
++
CBACBA
Lời giải :
Theo AM – GM ta có :
3
2
sin
2
sin
2
sin
3
2
sin
2
sin
2
sin CBA
CBA
≥
++
Mặt khác :
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos
2
cos
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot CBA
CBA
CBACBA
==++
www.VNMATH.com
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
The Inequalities Trigonometry 49
( )
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
3
2
sin
2
sin
2
sin2
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
sinsinsin
4
1
3
CBA
CCBBAA
CBA
CCBBAA
CBA
CBA
⋅≥
++
=
++
=
Suy ra :
( )1
2
cot
2
cot
2
cot
2
9
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
sin
2
9
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin
3
3
CBA
CBA
CCBBAACBA
CBACBA
=
⋅≥
≥
++
++
mà ta cũng có : 33
2
cot
2
cot
2
cot ≥CBA
( )2
2
3933
2
9
2
cot
2
cot
2
cot
2
9 33 =⋅≥⋅⇒ CBA
Từ ( )1 và ( )2 :
2
39
2
cot
2
cot
2
cot
2
sin
2
sin
2
sin ≥
++
++⇒
CBACBA
⇒ñpcm.
Ví dụ 2.4.2.
Cho ABC∆ nhọn. CMR :
( )( )
2
39
tantantancoscoscos ≥++++ CBACBA
Lời giải :
Vì ABC∆ nhọn nên CBACBA tan,tan,tan,cos,cos,cos ñều dương.
Theo AM – GM ta có : 3 coscoscos
3
coscoscos CBACBA ≥++
CBA
CBACBACBA
coscoscos
sinsinsin
tantantantantantan ==++
www.VNMATH.com
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
The Inequalities Trigonometry 50
( )
CBA
CCBBAA
CBA
CCBBAA
CBA
CBA
coscoscos2
cossincossincossin
2
3
coscoscos2
cossincossincossin
coscoscos
2sin2sin2sin
4
1
3
⋅≥
++
=
++
=
Suy ra :
( )( )
( )1tantantan
2
9
coscoscos
cossincossincossincoscoscos
2
9
tantantancoscoscos
3
3
CBA
CBA
CCBBAACBACBACBA
=
⋅≥++++
Mặt khác : 33tantantan ≥CBA
( )2
2
3933
2
9
tantantan
2
9 33
=⋅≥⋅⇒ CBA
Từ ( )1 và ( )2 suy ra :
( )( )
2
39
tantantancoscoscos ≥++++ CBACBA
⇒ñpcm.
Ví dụ 2.4.3.
Cho ABC∆ tùy ý. CMR :
34
2
tan
1
2
tan
2
tan
1
2
tan
2
tan
1
2
tan ≥
++
++
+ C
C
B
B
A
A
Lời giải :
Xét ( )
∈∀=
2
;0tan pixxxf
Khi ñó : ( ) =xf ''
Theo Jensen thì : ( )13
2
tan
2
tan
2
tan ≥++ CBA
Xét ( )
∈∀=
2
;0cot pixxxg
Và ( ) ( )
∈∀>+=
2
;00cotcot12'' 2 pixxxxg
Theo Jensen thì : ( )233
2
cot
2
cot
2
cot ≥++ CBA
Vậy ( ) ( )⇒+ 21 ñpcm.
www.VNMATH.com
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác
Chương 2 Các phương pháp chứng minh
The Inequalities Trigonometry 51
Ví dụ 2.4.4.
CMR trong mọi tam giác ta có :
3
3
21
sin
11
sin
11
sin
11
+≥
+
+
+
CBA
Lời giải :
Ta sử dụng bổ ñề sau :
Bổ ñề : Cho 0,, >zyx và Szyx ≤++ thì :
( )121111111
3
+≥
+
+
+
Szyx
Chứng minh bổ ñề :
Ta có :
( ) ( )2111111111
xyzzxyzxyzyx
VT +
+++
+++=
Theo AM – GM ta có :
( )399111
Szyxzyx
≥
++
≥++
Dấu bằng xảy ra trong ( )
3
3 Szyx ===⇔
Tiếp tục theo AM –GM thì :
33 xyzzyxS ≥++≥
( )4271
27 3
3
Sxyz
xyzS ≥⇒≥⇒
Dấu bằng trong ( )4 xảy ra
3
S
zyx ===⇔
Vẫn theo AM – GM ta lại có :
( )513111 3
2
≥++
xyzzxyzxy
Dấu bằng trong ( )5 xảy ra
3
S
zyx ===⇔
Từ ( )( )54 suy ra :
( )627111 2Szxyzxy ≥++
Dấu bằng trong ( )6 xảy ra ⇔ ñồng thời có dấu bằng trong ( )( )
3
54 Szyx ==...