Sách chưa phân loại, sách kiến thức Ebook download miễn phí
Nội quy chuyên mục: - Hiện nay có khá nhiều trang chia sẻ Tài liệu nhưng mất phí, đó là lý do ket-noi mở ra chuyên mục Tài liệu miễn phí.

- Ai có tài liệu gì hay, hãy đăng lên đây để chia sẻ với mọi người nhé! Bạn chia sẻ hôm nay, ngày mai mọi người sẽ chia sẻ với bạn!
Cách chia sẻ, Upload tài liệu trên ket-noi

- Những bạn nào tích cực chia sẻ tài liệu, sẽ được ưu tiên cung cấp tài liệu khi có yêu cầu.
Nhận download tài liệu miễn phí
By Ladd
#674920

Download Chuyên đề Phương trình - Bất phương trình mũ, logarit miễn phí





DẠNG 6. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH
BIẾN CỦA HÀM SỐ
●Nhẩm nghiệm và sửdụng tính đơn điệu đểchứng minh nghiệm duy nhất
(thường là sửdụng công cụ đạo hàm)
●Ta thường sửdụng các tính chất sau:
Tính chất 1:Nếu hàm sốf tăng ( hay giảm ) trong khoảng (a;b) thì phương trình
f(x) = C có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). ( do đó nếu tồn tại x
0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhat của phương trình f(x) = C)
Tính chất 2 :Nếu hàm f tăng trong khoảng (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong
khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khoảng (a;b).
( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương
trình f(x) = g(x))
Tính chất 3 : định lí Rôn:Nếu hàm số y = f( x) lồi hay lõm trên khoảng ( a; b ) thì
phương trình f( x ) = 0 có không qua hai nghiệm thuộc khoảng ( a; b )



Để DOWNLOAD tài liệu, xin trả lời bài viết này, mình sẽ upload tài liệu cho bạn ngay

Tóm tắt nội dung:


( ) ( )2 ysinx 22 cos xy 2 cos xy 0  ⇔ − + − =   
Ta có ( ) 2sinx2 cos xy 0 − ≥  và ( ) ( )
y
y 2
2
2 1
2 cos xy 0
cos xy 1
 ≥  ⇒ − ≥  ≤
Do ñó ( ) ( )2 ysinx 22 cos xy 2 cos xy 0  − + − ≥   
Vậy phương trình
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
sinx sinx
y y2 2
2 cos xy 0 2 cos xy 1
2 cos xy 0 2 cos xy 0 2
 − = = 
⇔ ⇔ 
− = − =  
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
( ) ( ) ( )
y
22
y 02 1
2 y 0.
cos x.0 1cos xy 1
 == 
⇔ ⇔ ⇔ = 
==  
Thay vào (1) ta ñược x kπ= .
Bài 3. Giải phương trình: ( )
2x 1 3 2x
2
3
82 2
log 4x 4x 4
+ −+ =
− +
.
HD: Ta có ( )224x 4x 4 2x 1 3 3− + = − + ≥ nên ( )23log 4x 4x 4 1− + ≥
Suy ra ( )23
8 8
log 4x 4x 4

− +
(1)
Mặt khác 2x 1 3 2x 2x 1 3 2x 2x 1 3 2x2 2 2 2 .2 2 2 8+ − + − + + −+ ≥ = = (2)
Bài 4. Giải phương trình: ( )2 23 3log x x 1 log x 2x x+ + − = − .
HD: ðiều kiện x 0.> Phương trình ( )2 23 3log x x 1 log x 2x x+ + − = −
( )23 1 log x 1 1 x 1
x
 
⇔ + + = − − + 
 
Ta có
● 3
1 1 1
x 2 x 1 3 log x 1 1
x x x
 
+ ≥ ⇒ + + ≥ ⇒ + + ≥ 
 
● ( )21 x 1 1− − + ≤
Vậy phương trình
( )
3
2
1log x 1 1
x
x 1
1 x 1 1
  
+ + = 
 ⇔ ⇔ =

− − + =
.
Nhận xét: Bài toán tương ñương là giải phương trình 2
2
21 3 x xx x
x

+ +
= .
Bài 5. Giải phương trình: ( )2 3 1log x 2 4 log 8
x 1
 
− + = + 
− 
.
HD: ðiều kiện x 2> .
● ( )2x 2 4 4 log x 2 4 2− + ≥ ⇒ − + ≥
● Với x 2> ta có 1 1x 1 1 1 8 9
x 1 x 1
− ≥ ⇒ ≤ ⇒ + ≤
− −
3
1
log 8 2
x 1
 
⇒ + ≤ 
− 
Bài 6. Giải phương trình: ( )2 2 x x 1 24x 8 2 x 4 x x .2 x.2 2 x++ − = + − + − .
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
HD: ðiều kiện 2 x 2− ≤ ≤ .
Phương trình ( )( ) ( )x 2 4 x.2 x 1 2 2 x 0 *⇔ − − + − =
Ta có
3
x 2 2x 2 x.2 2.2 2.2 4≤ ⇒ ≤ < = . Do ñó ( ) 2* x 1 2 2 x 0⇔ − + − = .
Bài 7. Giải phương trình: 2 3 4 2 22 25x 6x x x log x (x x) log x 5 5 6 x x+ − − = − + + + − .
HD: ðiều kiện 2
x 0
0 x 3
6 x x 0
>
⇔ < ≤
+ − ≥
.
Phương trình ( )( ) ( )22 x log x 5 6 x 1 x 0 *x⇔ − + − + − =
Do ( )2 2 2 2x 3 x log x 3log 3 log 32 5 x log x 5 0≤ ⇒ ≤ < = ⇒ − <
Khi ñó ( ) ( )2* 6 x 1 x 0x⇔ + − + − = .
Bài 8. Giải phương trình: 2 2sin x cos x x x3 3 2 2 2−+ = + + .
HD: Phương trình
2 2
x -x2 2
sin x 1 sin x 2 2
3 3 2 2 2−⇔ + = + +
( )( )
2
2
2 2
2
x -x2sin x 2 2
2 2
sin x
sin x sin x 2
x -x
2 2
sin x
3 3
4 2 2 2
3
3 1 3 3
2 2
3
+
⇔ − = + −
− −  
⇔ = − 
 
Ta có
22 sin x0 sin x 1 1 3 3≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ . Do ñó VT 0 VP≤ ≤ .
Bài 9. Giải phương trình: 3 22log cot x log cos x= .
HD: ðặt 3 22log cot x log cos x t= = , ta có
2 t
t 2 t
t
2 t 2 t 2
t
cos x 4
cos x 2 cos x 4
4
cot x 3 cot x 3 sin x
3
cos x 0,cot x 0 cos x 0,cot x 0
cos x 0,cot x 0
 =
 = = 
  
= ⇔ = ⇔ =  
  > > > >
  > >

2 t
2 t
t
t
t
cos x 4
cos x 4 1
cos x4
4 1 t 1 23
cos x 0,cot x 0cos x 0,cot x 0
cos x 0,cot x 0
 =
 = 
= 
⇔ + = ⇔ = − ⇔  
   > >> > > >

π
x k2π
3
⇔ = + .
Tổng quát: Dạng ( ) ( ).log .loga bf x g xα β= ta ñặt ( ) ( ).log .loga bt f x g xα β= =
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Bài 10. Giải phương trình: ( )2 3 22 23x 2x log x 1 log x.− = + −
HD: ðiều kiện x 0> .
ðặt ( ) ( ) ( )2 3 22 2f x 3x 2x , g x log x 1 log x= − = + −
● Ta có ( ) ( ) ( )2 3 2f x 3x 2x f ' x 6x 6x ; f ' x 0 x 0, x 1= − ⇒ = − = ⇔ = = . Lập bảng
biến thiên ta thấy f(x) ñồng biến trên (0,1) và nghịch biến trên ( )1, +∞ . Suy ra trên
( )0,+∞ , ( ) ( )maxf x f 1 1= = hay ( )f x 1, x 0.≤ ∀ >
● Ta có ( ) ( ) 222 2 2 2x 1 1g x log x 1 log x log log x
x x
 +  
= + − = = +   
  
. Với x 0> , ta có
( ) 2 21 1x 2 côsi log x log 2 1.
x x
 
+ ≥ => + ≥ = 
 
Suy ra ( )g x 1, x 0.≥ ∀ >
Vậy phương trình ( )
2 3
2
2 2
3x 2x 1
log x 1 log x 1
 − =
⇔ 
+ − =
Bài 11. Giải phương trình: ( )2 2x 1 x x2 2 x 1 .− −− = −
HD: phương trình ( ) ( )2x 1 x x 2 2 x 1 2 x x− −⇔ + − = + − .
ðặt 2u x 1; v x x.= − = − Khi ñó phương trình có dạng u v2 u 2 v+ = + .
Xét hàm số ( ) tf t 2 t= + , hàm này ñồng biến và liên tục trên ℝ .
Vậy phương trình ( ) ( ) 2 f u f v u v x 1 x x x 1⇔ = ⇔ = ⇔ − = − ⇔ = .
Bài 12. Giải phương trình: x x x2009 2011 2.2010+ = .
HD: Gọi 0x là một nghiệm của phương trình ñã cho. Ta ñược
( )0 0 0 0 0 0 0x x x x x x x2009 2011 2.2010 2009 2010 2010 2011 *+ = ⇔ − = −
Xét hàm số ( ) ( ) 00 xxF t t t 1= − + . Khi ñó (*) ( ) ( ) F 2009 F 2010⇔ = .
Vì F(t) liên tục trên [ ]2009, 2010 và có ñạo hàm trong khoảng ( )2009,2010 , do ñó
theo ñịnh lí Lagrange tồn tại ( )c 2009,2010∈ sao cho
( ) ( ) ( ) ( ) 00 x 1 0x 10
0
x 0F 2010 F 2009
F' c x . c c 1 0
x 12010 2009


=−  = ⇔ − + = ⇔   =− 
Thử lại 0 0x 0, x 1= = thấy ñúng. Vậy nghiệm của phương trình là 0 0x 0, x 1= = .
Nhận xét: Bài toán tương tự
1) cos x cos x cos x cos x3 2 cosx 3 2 3cosx 2cosx− = ⇔ − = − .
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
2) 3 3log x log x4 2 2x+ = . ðặt u3u log x x 3= ⇒ = . Phương trình u u u 4 2 2.3⇔ + = .
Lưu ý: Bài toán trên ta sử dụng ñịnh lí Lagrange: Nếu hàm số ( )y f x= liên tục trên ñoạn
[ ];a b và có ñạo hàm trên khoảng ( );a b thì tồn tại một ñiểm ( );c a b∈ sao cho
( ) ( ) ( )' f b f af c
b a

=

.
Bài 13. Giải phương trình:
2
2
3 2
x x 1log x 3x 2
2x 2x 3
+ +
= − +
− +
.
HD: ðặt ( )2 2u x x 1; v 2x 2x 3 u 0, v 0= + + = − + > > . Suy ra 2v u x 3x 2.− = − +
Phương trình ñã cho trở thành 3 3 3
ulog v u log u log v v u
v
= − ⇔ − = −
3 3 log u u log v v⇔ + = + .
Xét hàm số ( ) 3f t log t t= + . Ta có ' 1f (t) 1 0, t 0t.ln 3= + > ∀ > nên hàm số ñồng biến
khi t 0> . Do ñó phương trình ( ) ( ) f u f v⇔ = suy ra u v= hay v u 0− = tức là
2x 3x 2 0 x 1, x 2− + = ⇔ = = . Vậy phương trình có nghiệm x 1, x 2= = .
Lưu ý: Với phương trình dạng ( )log , 0, 0, 1a u v u u v a
v
= − > > > ta thường biến ñổi
log log log loga a a au v v u u u v v− = − ⇔ + = + . Vì hàm số ( ) logaf t t t= + ñồng biến khi 0t > .
Suy ra u v= .
Bài 14. Giải phương trình: cos x sinx2 2 3+ = .
HD: Áp dụng BðT Becnuli mở rộng: ( )1 1t tα α+ − ≤ với [ ]0, 0,1t α> ∈
Từ phương trình suy ra: [ ]s inx, cos x 0,1∈ . Suy ra πx k2π; k2π
2
 
∈ +  
Theo Becnuli: ( )cosx2 1 2 cos x 1+ − ≤
( )sinx2 1 2 sinx 1+ − ≤
Suy ra ( )cosx sinx2 2 sinx cos x 2+ ≤ + +
Suy ra ( ) ( )cosx sinx2 2 min sinx cos x 2 min s inx cos x 2 + ≤ + + = + + 
Mà: ( )min sinx cos x 1+ = với πx k2π; k2π
2
 
∈ +  
.
Do ñó cos x sinx2 2 3+ ≤ . Dấu '' ''= xảy ra khi và chi khi
sinx 1
cosx 0
=

=
hay
sinx 0
cosx 1
=

=
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
x k2π
π
x k2π
2
=
⇔
 = +

.
---------- HẾT ----------
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH
Ta có thể dùng các phương pháp biến ñổi như ñối với giải phương trình và sử dụng
các công thức sau
HAØM SOÁ MUÕ
● 0 a 1< <
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
> ⇔ <
≥ ⇔ ≤
(nghịch biến)
● a 1>
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x
f x g x
a a f x g x
a a f x g x
> ⇔ >
≥ ⇔ ≥
(ñồng biến)
HAØM SOÁ LOGARIT
● ( )alog f x có nghĩa ( )
0 a 1
f x 0
< ≠
⇔ 
>
● ( ) ( ) balog f x b f x a= ⇔ =
● ( ) ( ) ( ) ( )a a f x g xlog f...
Kết nối đề xuất:
Nơi này có anh English Lyrics
Synonym dictionary
Advertisement
Advertisement