Chuyên đề Phương pháp giải các bài tập hình không gian trong kỳ thi Đại học
Phần 5: Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian.
Khi cần tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải tìm 1 đường
thẳng trung gian là c song song với a và c cắt b. Khi đó góc tạo bởi a và b cũng chính là góc
tạo bởi b và c. hay ta dựng liên tiếp 2 đường thẳng c và d cắt nhau lần lượt song song với a
và b. Sau đó ta tính góc giữa c và d theo định lý hàm sốcôsin hay theo hệthức lượng trong
tam giác vuông
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho
đường cao hạ từ B xuống mp(SAC). O chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác SAC. Gọi M là
S
M
N
A D
C B
7
trung điểm BC ta có ;SM BC AM BC⊥ ⊥ . Nên góc tạo bởi (SBC) và (ABC) là
0 a 3
ˆ 60 AS=
2
SMA SM AM= ⇒ = = .
Bây giờ ta tìm vị trí tâm vòng ngoại tiếp tam giác SAC.
Tam giác SAC cân tại C nên tâm vòng tròn ngoại tiếp nằm trên trung trực của SA và CN (N là
trung diểm của SA). Kẻ trung trực của SC cắt trung trực của SA tại O là điểm cần tìm
2 2
2 2 3
2 1316cos
4
SA aSC aNCSNC
SC SC a
−
−
= = = =
2
2 2 22 4 32 ;
ˆ 13cos 13 13
SC
a a aOC BO BC OC a
SCN
⇒ = = = − = − = .
Cách 2: 0( ) ( )
1 22 2 . ( ) . .sin 60
3 3.2SABCD SABM
aV V BM dt SAM AM MS= = = 3 3 ( )
16
a dt SAC=
=
21 1 13 3 39 3 ( ) 3
.AS= . . ( , ( )
2 2 4 2 16 ( ) 13
a V SABC aCN a a d B SAC
dt SAC
= ⇒ = =
Câu 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang 0ˆˆ 90ABC BAD= = , BA=BC=2a,
AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA= 2a , gọi H là hình chiếu của A lên SB. Chứng
minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD) (TSĐH D 2007)
HD giải: Ta có 2 2 2 22; 6; 2AC a SD SA AD a SC SA AC a= = + = = + = . Ta cũng dễ dàng
tính được 2CD a= . Ta có 2 2 2SD SC CD= + nên tam giác SCD vuông tại C.
O
S
P
C
M
B
A
N
8
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 .AS . 2 2
AS 3AB AS 2
2
2 23
33 3
AB a aAH a
AH AB a a
aSHSH SA AH a
SB a
= + ⇒ = = =
+ +
⇒ = − = ⇒ = =
21. .( ) 1( ) ( ) ( ) . ;
2 2 2
AB BC AD adt BCD dt ABCD dt ABD AB AD+= − = − =
2
2
3
1( ) . 2
2
( ) . . 2 1 1. 2. 2
; ( ) . ( )( ) . . 3 3 3.2 6
dt SCD SC CD a
V SHCD SH SC SD a aV SBCD SA dt BCD a
V SBCD SB SC SD
= =
= = = = =
32( )
9
V SHCD a= .Ta có 3
2
3 ( ) 2 1( /( )) .3( ) 9 32
V SHCD ad H SCD a
dt SCD a
= = =
B. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian
Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta tìm đoạn vuông
góc chung của 2 đường thẳng đó, Nếu việc tìm đoạn vuông góc chung gặp khó khăn thì ta tiến
hành theo phương pháp sau:
- Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau đó tính khoảng cách từ 1
điểm bất kỳ trên b đến mp(P) hay ngược lại dựng mp(P) chứa b song song với a sau đó tính
khoảng cách từ 1 điểm a đến (P).
- Khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng ta có thể vận dụng 1 trong 2 phương pháp đã
trình bày ở mục A.
B
C
D A
H
S
9
Câu 1) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông AB=BC=a, cạnh bên
2AA a′ = . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA B C′ ′ ′ và
khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B’C.(TSĐH D2008)
HD giải: 3 2( ) .
2
V ABCA B C S h a′ ′ ′ = = . Gọi N là trung điểm của BB’ ta có B’C song song với
mp(AMN). Từ đó ta có: ( , ) ( , ( )) ( , ( ))d B C AM d B AMN d B AMN′ ′= = vì N là trung điểm của BB’.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (AMN), vì tứ diện BAMN là tứ diện vuông tại B nên ta
có 2 2 2 2
1 1 1 1
7
aBH
BH BA BN BM
= + + ⇒ =
chính là khoảng cách giữa AM và B’C.
(Chú ý:1) Trong bài toán này ta đã dựng mặt phẳng trung gian là mp(AMN) để tận dụng điều
kiện B’C song song với (AMN). Tại sao không tìm mặt phẳng chứa B’C các em học sinh tự suy
nghĩ điều này
Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của đoạn AB thì khoảng cách từ A đến (P)
cũng bằng khoảng cách từ B đến (P))
Câu 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng
của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh
MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC.(TSĐH B 2007)
HD giải: Gọi P là trung điểm của SA, ta có tứ giác MPNC là hình bình hành.
Nên MN// PC. Từ đó suy ra MN//(SAC). Mặt khác BD ⊥ mp(SAC) nên BD ⊥ PC BD MN⇒ ⊥ .
Ta có: d(MN, AC)=d(N,(SAC))= 1 1 1( , ( )) 2
2 4 2
d B SAC BD a= =
B’
C’
A’
N
B H
M
C A
K
10
( Việc chuyển tính khoảng cách từ N đến (SAC) sang tính khoảng cách từ B đến (SAC) giúp
ta đơn giản hoá bài toán đi rất nhiều. Các em học sinh cần nghiên cứu kỹ dạng toán này để
vận dụng)
Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của đoạn AB thì khoảng cách từ A đến (P)
cũng bằng khoảng cách từ B đến (P))
Phần 5: Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian.
Khi cần tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải tìm 1 đường
thẳng trung gian là c song song với a và c cắt b. Khi đó góc tạo bởi a và b cũng chính là góc
tạo bởi b và c. hay ta dựng liên tiếp 2 đường thẳng c và d cắt nhau lần lượt song song với a
và b. Sau đó ta tính góc giữa c và d theo định lý hàm số côsin hay theo hệ thức lượng trong
tam giác vuông.
Câu 1) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông
tại A. AB = a , AC = a và hình chiếu vuông góc của A’ lên mp (ABC) là trung điểm của cạnh
BC , Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC và tính côsin góc tạo bởi AA’ và B’C’ . (TSĐH
A2008)
HD giải :Gọi H là trung điểm của BC. Suy ra A’H ⊥ (ABC) và
2 21 1 3
2 2
AH BC a a a= = + = Do đó A’H = 2 2' 3.A A AH a− =
V(A’ABC) = 1
3
A’H.dt (ABC) =
3
2
a Trong tam giác vuông A’B’H ta có
HB’= 2 2' ' 2A B A H a+ = nên tam giác B’BH cân tại B’. Đặt α là góc tạo bởi AA’ và B’C’ thì
1
ˆ
' cos
2.2 4
aB BH
a
α α= ⇒ = =
(Trong Bài toán này ta đã chuyển tính góc tạo bởi AA’ và B’C’ sang tính góc tạo bởi hai đường
thẳng lần lượt song song với AA’ và B’C’ là BB’và BC )
Tel 0988844088
S
M P
E
A
N C
D
B
11
B
Câu 2:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA = a, SB = a 3 mp
(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC.
Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN và tính cosin góc tạo bởi SM và DN.
Hd giải: Từ S hạ SH vuông góc AB thì SH vuông góc với mp (ABCD). SH cũng chính là đường
cao khối chóp SBMDN . Ta có SA2 + SB2 = 4a2 = AB2 SAB⇒ ∆ vuông tại
S
2
ABSM a SAM⇒ = = ⇒ ∆ là tam giác đều 3
2
aSH⇒ =
Dễ thấy dt(BMDN)=1/2dt(ABCD)=2a2 . Do đó V(SBMDN)=
31 3
. ( )
3 3
aSH dt BMDN =
Kẻ ME song song với DN ( E thuộc AD) suy ra AE =
2
a
giả sử
(SM,DN)= ( , ).SM MEα α⇒ = Ta có SA vuông góc với AD (Định lý 3 đường vuông góc ) suy
ra 2 2 2 2
5 5
,
2 2
a aSA AE SE SA AE ME AM ME⊥ ⇒ = + = = + = Tam giác SME cân tại E
nên cos 52
5
SM
ME
α = =
B
H
C
A
B’
C’
A’
12
MỘT SỐ BÀI TẬP
Câu 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với hình
chóp. Cho AB=a, SA= 2a . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh
SC ⊥ (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.
Câu 2) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn
AA1. Chứng minh BM ⊥ B1C và tính d(BM,B1C)
Câu 3) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB=a, AC=2a, AA1=2a 5 và 0ˆ 120BAC = . Gọi M là
trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB ⊥ MA1 và tính khoảng cách từ C tới mp(A1BM).
Câu 4) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB=AC=a, AA1=a 2 .
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc
chung của các đường thẳng AA1 và BC1. Tính 1 1MA BCV .
Câu 5) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD. Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM.
Câu 6) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC=...
Download Chuyên đề Phương pháp giải các bài tập hình không gian trong kỳ thi Đại học miễn phí
Phần 5: Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian.
Khi cần tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải tìm 1 đường
thẳng trung gian là c song song với a và c cắt b. Khi đó góc tạo bởi a và b cũng chính là góc
tạo bởi b và c. hay ta dựng liên tiếp 2 đường thẳng c và d cắt nhau lần lượt song song với a
và b. Sau đó ta tính góc giữa c và d theo định lý hàm sốcôsin hay theo hệthức lượng trong
tam giác vuông
Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho
Tóm tắt nội dung:
O là chânđường cao hạ từ B xuống mp(SAC). O chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác SAC. Gọi M là
S
M
N
A D
C B
7
trung điểm BC ta có ;SM BC AM BC⊥ ⊥ . Nên góc tạo bởi (SBC) và (ABC) là
0 a 3
ˆ 60 AS=
2
SMA SM AM= ⇒ = = .
Bây giờ ta tìm vị trí tâm vòng ngoại tiếp tam giác SAC.
Tam giác SAC cân tại C nên tâm vòng tròn ngoại tiếp nằm trên trung trực của SA và CN (N là
trung diểm của SA). Kẻ trung trực của SC cắt trung trực của SA tại O là điểm cần tìm
2 2
2 2 3
2 1316cos
4
SA aSC aNCSNC
SC SC a
−
−
= = = =
2
2 2 22 4 32 ;
ˆ 13cos 13 13
SC
a a aOC BO BC OC a
SCN
⇒ = = = − = − = .
Cách 2: 0( ) ( )
1 22 2 . ( ) . .sin 60
3 3.2SABCD SABM
aV V BM dt SAM AM MS= = = 3 3 ( )
16
a dt SAC=
=
21 1 13 3 39 3 ( ) 3
.AS= . . ( , ( )
2 2 4 2 16 ( ) 13
a V SABC aCN a a d B SAC
dt SAC
= ⇒ = =
Câu 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang 0ˆˆ 90ABC BAD= = , BA=BC=2a,
AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA= 2a , gọi H là hình chiếu của A lên SB. Chứng
minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD) (TSĐH D 2007)
HD giải: Ta có 2 2 2 22; 6; 2AC a SD SA AD a SC SA AC a= = + = = + = . Ta cũng dễ dàng
tính được 2CD a= . Ta có 2 2 2SD SC CD= + nên tam giác SCD vuông tại C.
O
S
P
C
M
B
A
N
8
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 .AS . 2 2
AS 3AB AS 2
2
2 23
33 3
AB a aAH a
AH AB a a
aSHSH SA AH a
SB a
= + ⇒ = = =
+ +
⇒ = − = ⇒ = =
21. .( ) 1( ) ( ) ( ) . ;
2 2 2
AB BC AD adt BCD dt ABCD dt ABD AB AD+= − = − =
2
2
3
1( ) . 2
2
( ) . . 2 1 1. 2. 2
; ( ) . ( )( ) . . 3 3 3.2 6
dt SCD SC CD a
V SHCD SH SC SD a aV SBCD SA dt BCD a
V SBCD SB SC SD
= =
= = = = =
32( )
9
V SHCD a= .Ta có 3
2
3 ( ) 2 1( /( )) .3( ) 9 32
V SHCD ad H SCD a
dt SCD a
= = =
B. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian
Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta tìm đoạn vuông
góc chung của 2 đường thẳng đó, Nếu việc tìm đoạn vuông góc chung gặp khó khăn thì ta tiến
hành theo phương pháp sau:
- Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau đó tính khoảng cách từ 1
điểm bất kỳ trên b đến mp(P) hay ngược lại dựng mp(P) chứa b song song với a sau đó tính
khoảng cách từ 1 điểm a đến (P).
- Khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng ta có thể vận dụng 1 trong 2 phương pháp đã
trình bày ở mục A.
B
C
D A
H
S
9
Câu 1) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông AB=BC=a, cạnh bên
2AA a′ = . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA B C′ ′ ′ và
khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B’C.(TSĐH D2008)
HD giải: 3 2( ) .
2
V ABCA B C S h a′ ′ ′ = = . Gọi N là trung điểm của BB’ ta có B’C song song với
mp(AMN). Từ đó ta có: ( , ) ( , ( )) ( , ( ))d B C AM d B AMN d B AMN′ ′= = vì N là trung điểm của BB’.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (AMN), vì tứ diện BAMN là tứ diện vuông tại B nên ta
có 2 2 2 2
1 1 1 1
7
aBH
BH BA BN BM
= + + ⇒ =
chính là khoảng cách giữa AM và B’C.
(Chú ý:1) Trong bài toán này ta đã dựng mặt phẳng trung gian là mp(AMN) để tận dụng điều
kiện B’C song song với (AMN). Tại sao không tìm mặt phẳng chứa B’C các em học sinh tự suy
nghĩ điều này
Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của đoạn AB thì khoảng cách từ A đến (P)
cũng bằng khoảng cách từ B đến (P))
Câu 2) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng
của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh
MN vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC.(TSĐH B 2007)
HD giải: Gọi P là trung điểm của SA, ta có tứ giác MPNC là hình bình hành.
Nên MN// PC. Từ đó suy ra MN//(SAC). Mặt khác BD ⊥ mp(SAC) nên BD ⊥ PC BD MN⇒ ⊥ .
Ta có: d(MN, AC)=d(N,(SAC))= 1 1 1( , ( )) 2
2 4 2
d B SAC BD a= =
B’
C’
A’
N
B H
M
C A
K
10
( Việc chuyển tính khoảng cách từ N đến (SAC) sang tính khoảng cách từ B đến (SAC) giúp
ta đơn giản hoá bài toán đi rất nhiều. Các em học sinh cần nghiên cứu kỹ dạng toán này để
vận dụng)
Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của đoạn AB thì khoảng cách từ A đến (P)
cũng bằng khoảng cách từ B đến (P))
Phần 5: Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian.
Khi cần tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải tìm 1 đường
thẳng trung gian là c song song với a và c cắt b. Khi đó góc tạo bởi a và b cũng chính là góc
tạo bởi b và c. hay ta dựng liên tiếp 2 đường thẳng c và d cắt nhau lần lượt song song với a
và b. Sau đó ta tính góc giữa c và d theo định lý hàm số côsin hay theo hệ thức lượng trong
tam giác vuông.
Câu 1) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông
tại A. AB = a , AC = a và hình chiếu vuông góc của A’ lên mp (ABC) là trung điểm của cạnh
BC , Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC và tính côsin góc tạo bởi AA’ và B’C’ . (TSĐH
A2008)
HD giải :Gọi H là trung điểm của BC. Suy ra A’H ⊥ (ABC) và
2 21 1 3
2 2
AH BC a a a= = + = Do đó A’H = 2 2' 3.A A AH a− =
V(A’ABC) = 1
3
A’H.dt (ABC) =
3
2
a Trong tam giác vuông A’B’H ta có
HB’= 2 2' ' 2A B A H a+ = nên tam giác B’BH cân tại B’. Đặt α là góc tạo bởi AA’ và B’C’ thì
1
ˆ
' cos
2.2 4
aB BH
a
α α= ⇒ = =
(Trong Bài toán này ta đã chuyển tính góc tạo bởi AA’ và B’C’ sang tính góc tạo bởi hai đường
thẳng lần lượt song song với AA’ và B’C’ là BB’và BC )
Tel 0988844088
S
M P
E
A
N C
D
B
11
B
Câu 2:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA = a, SB = a 3 mp
(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC.
Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN và tính cosin góc tạo bởi SM và DN.
Hd giải: Từ S hạ SH vuông góc AB thì SH vuông góc với mp (ABCD). SH cũng chính là đường
cao khối chóp SBMDN . Ta có SA2 + SB2 = 4a2 = AB2 SAB⇒ ∆ vuông tại
S
2
ABSM a SAM⇒ = = ⇒ ∆ là tam giác đều 3
2
aSH⇒ =
Dễ thấy dt(BMDN)=1/2dt(ABCD)=2a2 . Do đó V(SBMDN)=
31 3
. ( )
3 3
aSH dt BMDN =
Kẻ ME song song với DN ( E thuộc AD) suy ra AE =
2
a
giả sử
(SM,DN)= ( , ).SM MEα α⇒ = Ta có SA vuông góc với AD (Định lý 3 đường vuông góc ) suy
ra 2 2 2 2
5 5
,
2 2
a aSA AE SE SA AE ME AM ME⊥ ⇒ = + = = + = Tam giác SME cân tại E
nên cos 52
5
SM
ME
α = =
B
H
C
A
B’
C’
A’
12
MỘT SỐ BÀI TẬP
Câu 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với hình
chóp. Cho AB=a, SA= 2a . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh
SC ⊥ (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.
Câu 2) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn
AA1. Chứng minh BM ⊥ B1C và tính d(BM,B1C)
Câu 3) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB=a, AC=2a, AA1=2a 5 và 0ˆ 120BAC = . Gọi M là
trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB ⊥ MA1 và tính khoảng cách từ C tới mp(A1BM).
Câu 4) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông AB=AC=a, AA1=a 2 .
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1 và BC1. Chứng minh MN là đường vuông góc
chung của các đường thẳng AA1 và BC1. Tính 1 1MA BCV .
Câu 5) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD. Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM.
Câu 6) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC=...