Sách chưa phân loại, sách kiến thức Ebook download miễn phí
Nội quy chuyên mục: - Hiện nay có khá nhiều trang chia sẻ Tài liệu nhưng mất phí, đó là lý do ket-noi mở ra chuyên mục Tài liệu miễn phí.

- Ai có tài liệu gì hay, hãy đăng lên đây để chia sẻ với mọi người nhé! Bạn chia sẻ hôm nay, ngày mai mọi người sẽ chia sẻ với bạn!
Cách chia sẻ, Upload tài liệu trên ket-noi

- Những bạn nào tích cực chia sẻ tài liệu, sẽ được ưu tiên cung cấp tài liệu khi có yêu cầu.
Nhận download tài liệu miễn phí
By Yuuto
#674859

Download Chuyên đề Đại số tổ hợp - Ôn thi Toán đại học miễn phí





Dạng 3: Tích phân hai vế của nhị thức Newton để chứng minh một đẳng thức
+ Viết khai triển Newton của (ax + b) ^n
+ Lấy tích phân xác định hai vế thường là trên các đoạn : [0, 1], [0, 2] hay [1, 2] ta được đẳng thức cần chứng minh.
 
Chú ý :
• Cần chứng minh đẳng thức chứa Ckn/k+1 ta lấy tích phân với cận thích hợp hai vế
trong khai triển của (a + x)^n
 



Để DOWNLOAD tài liệu, xin trả lời bài viết này, mình sẽ upload tài liệu cho bạn ngay

Tóm tắt nội dung:

ĐẠI SỐ TỔ HỢP
Chương V
NHỊ THỨC NEWTON (phần 2)
Dạng 2:
ĐẠO HÀM HAI VẾ CỦA KHAI TRIỂN NEWTON ĐỂ
CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC
– Viết khai triển Newton của (ax + b)n.
– Đạo hàm 2 vế một số lần thích hợp .
– Chọn giá trị x sao cho thay vào ta được đẳng thức phải chứng minh.
Chú ý :
• Khi cần chứng minh đẳng thức chứa k knC ta đạo hàm hai vế trong khai triển (a
+ x)n..
• Khi cần chứng minh đẳng thức chứa k(k – 1) knC ta đạo hàm 2 lần hai vế của
khai triển (a + x)n.
Bài 136. Chứng minh :
a) 1 2n nC 2C 3C
3 n n 1
n n... nC n2
−+ +
1 2 3 n 1 n
n n nC 2C 3C .
−− + −
n 1 1 n 1 2
n n n n2 C 2 C 3.2 C ... ( 1) nC n
− −− + − + − =
0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n
n n n nC a C a x C a x ... C x
− −+ + + +
1 n 1 2 n 2 3 n 3 2 n n 1
n n n na 2C a x 3C a x ... nC x
+ + =
b) n.. ( 1) nC 0+ − =
n 3 3 n 1 n− − c) .
Giải
Ta có nhị thức
(a + x)n = .
Đạo hàm 2 vế ta được :
n(a + x)n-1 = C − − − −+ + + +
1 2 3 n n 1
n n n nC 2C 3C ... nC n2
a) Với a = 1, x = 1, ta được :
−+ + + + =
b) Với a = 1, x = –1, ta được :
1 2 3 n 1 nn n n nC 2C 3C ... ( 1) nC 0
−− + − + − =
c) Với a = 2, x = –1, ta được :
. n 1 1 n 1 2 n 3 3 n 1 n2 C 2 C 3.2 C ... ( 1) nC n− − − −− + − + −n n n n =
0 k k 100 100
100 100 100 100( x) ... C x− + +
3 97( 1)−
Bài 137. Cho (x – 2)100 = a0 + a1x + a2x2 + … + a100x100 . Tính :
a) a97
b) S = a0 + a1 + … + a100
c) M = a1 + 2a2 + 3a3 + … + 100a100
Đại học Hàng hải 1998
Giải
Ta có :
(x – 2)100 = (2 – x)100
= C 2 100 1 99 k 100C 2 .x ... C 2 −− + +
a) Ứng với k = 97 ta được a97.
Vậy a97 = 97100C 2
= –8. 100 = !
3!97!
8 100 99 98
6
− × × ×
f (x)′
f (x)′

//f (1)
= – 1 293 600
b) Đặt f(x) = (x – 2)100 = a0 + a1x + a2x2 + … + a100x100
Chọn x = 1 ta được
S = a0 + a1 + a2 + … + a100 = (–1)100 = 1.
c) Ta có : = a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + 100a100x99
Mặt khác f(x) = (x – 2)100
⇒ = 100(x – 2)99
Vậy 100(x – 2)99 = a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + 100a100x99
Chọn x = 1 ta được
M = a1 + 2a2 + … + 100a100 = 100(–1)99 = –100.
Bài 138. Cho f(x) = (1 + x)n với n 2.
a) Tính
b) Chứng minh
2 3 4 nn n n n2.1.C 3.2.C 4.3.C ... n(n 1)C n(n 1)2
n 2−+ + + + − = − .
Đại học An ninh 1998
Giải

// (x n – 2
) thức Newt
f(x) = nx
⇒ f (x)′ 2 2 3 3 4 n 1 nn3x C 4x C ... nx C−+ + + +
n 2 n
nn(n 1)x C
−+ −
. Chứng minh
n 1 1 n 1 2n n2 C 2 C 3
− −+ +
Đại học Kinh tế Quốc dân 2000
1 n 1 2 n 2 2 3 n 3 3 n n
n n n nC 2 x C 2 x C 2 x ... C x
− − −+ + + +
ha c
1 n 1 2 n 2 2 3 n 3 n 1 n
n n n nC 2 2xC 2 3x C 2 ... nx C
− − − −+ + + +
n x ợc
n 1 1 n 1 2 3 n 3 nn n n n2 C 2 C 3C 2 ... nC
− − −+ + + + .
Bài 140. Chứng minh 1 n 1 2 n 2 3 n 3 n n 1n n n nC 3 2C 3 3C 3 ... nC n4
− − − −+ + + + = .
Đại học Luật 2001
a) T ù : f(x + x)n a co ) = (1
= n(1 + x)n – 1 f (x)′
⇒ f = n(n – 1)(1 + x))
Vậy //f (1) = n(n – 1)2n – 2 .
b Do khai triển nhị on
(1 + x)n = 0C C+ 1 2 2 3 3 4 4 nn n n n n nx C x C x C x ... C+ + + + +
= n(1 + x)n - 1 = 1n nC 2xC+ n n
)n - 2 = 2 3 2 4n n n2C 6xC 12x C ...+ + +⇒ f (x)′′ = n(n – 1)(1 + x
Chọn x = 1 ta được
n – 2 = 2 3 4 nn n n n2C 6C 12C ... n(n 1)C+ + + + − . n(n – 1)2
Bài 139
n 3 3 n 4 4 n
n n n.2 C 4.2 C ... nC
− −+ + + = n 1n3 − .
Giải
Ta có :
(2 + x)n = 0 nnC 2 +
Đạo øm 2 vế ta đượ
n(2 + x)n – 1 =
Chọ = 1 ta đư
n3n – 1 =
Giải
n n n n
ha
x) n n 1n... nC x
Ta có :
(3 + x)n = 0 nnC 3 + 1 n 1 2 n 2 2 3 n 3 3 n nC 3 x C 3 x C 3 x ... C x− − −+ + + +
Đạo øm 2 vế ta được
n(3 + n – 1 = 1 n 1 2 n 2 2 3 n 3n n nC 3 2xC 3 3x C 3
− − −+ + −+ +
h
1 = 1 n 1 2 n 2 3 n 3 nn n n nC 3 2C 3 3C 3 ... n
− − −+ + + + .
Bài 141. Tính A = 1 2 3 4 n 1C 2C 3C 4C ... ( 1) nC−− + − + + −
Đại học Bách khoa Hà Nội 1999
n n n
n1) C x−
đa được
n n n 1
n... ( 1) nC x
C ọn x = 1
⇒ n4n – C
n
n n n n n
Giải
Ta có :
(1 – x )n = 0 1n nC C x C− + 2 2 3 3x C x−n n ... (+ +
Lấy ïo hàm hai vế ta
–n(1 – x)n – 1 = 1 2 2 3n n nC 2xC 3x C
−− + − + + −
n x ta có :
C 2+
ứn nh với
Chọ = 1
0 = − 1 2 3 n nn n n nC 3C ... ( 1) nC− + + −
⇒ A = 1 2 3n n nC 2C 3C ... ( 1− + + + − n 1 nn) nC 0− =
Bài 142. Ch g mi n ∈ N và n > 2
1 2 3 n
n n n
1 (C 2C 3C ... n!
n
+ + + + (*)
Giải
n n
n... x C+
đa ế ta được :
1 = 1 2 n 1 nn n nC 2xC ... nx C
−+ + +
n x
2n – 1 = 1 2 nn nC 2C nC+ +
nnC ) <
Ta có : (1 + x)n = 0 1 2 2n n nC xC x C+ + +
Lấy ïo hàm theo x hai v
n(1 + x)n –
Chọ = 1 ta được
n n ...+
Vậy (*) ⇔ n 11 (n.2 )− < n! ⇔ 2n – 1 < n!
n
(**)
u = 22 < 3! = 6
û ! > 2k – 1
k – 1
k – 1 k do k > 3 nên k + 1 > 4 )
Kết quả (**) sẽ được chứng minh bằng qui nạp
(**) đ ùng khi n = 3. Thật vậy 4
G ư (**) đúng khi n = k với k > 3 nghĩa là ta đã có : kiả s
Vậy (k + 1)k! > (k + 1)2
⇔ (k + 1)! > 2 . 2 = 2 (
Do đó (**) đúng khi n = k + 1.
n – 1 Kết luận : 2 2.
Bài 143.
a)
Chứng minh
2 3 n 2
n n n1.2C 2.3C ... (n 1)nC n(n 1)2
n−+ + + − = −
b) 2 3 n 2 nn n n1.2C 2.3C ... ( 1) (n 1)nC 0
−− + + − − =
c) n 1 2 n 2 n 2n n2 C 3.2 C 1)3
− − −−
d) n 1 2 n 2 3 nn2 C 3.2 C 3.4.2
− −− +
Ta có nhị thức
n nnC x+ .
2n
3 n 4 4 n
n n3.4.2 C ... (n 1)nC n(n
−+ + + + − =
4 4 n 2 n
n nC ... ( 1) (n 1)nC n(n 1)
− −− + − − = − . n
Giải
(a + x)n = 0 n 1 n 1 2 n 2 2nC a C a x C a x ...
− −+ + +n n
Đạo hàm 2 vế 2 lần , ta được :
2 n 2 3 n 3 n(n – 1)(a + x) = n nn n1.2C a 2.3C a x ... (n 1)nC x
n – 2 − − −+ + + −
Với a = 1, x = 1, ta được :
n n 2
n n n1.2C 2.3C ... (n 1)nC n(n 1)2
a)
2 3 −+ + + − = −
Với a = 1, x = – 1, ta được :
n 2 nn n n1.2C 2.3C ... ( 1) (n 1)nC 0
−− + + − − =
c) Với a = 2, x = 1, ta được :
n 2 2 n 3 3 n n 2n n1.2.2 C 2.3.2 C ... (n 1)nC n(n 1)3
− − −+ + + − = −
n 4 4 n n 2
n n n n2 C 3.2 C 3.4.2 C ... (n 1)nC n(n 1)3
− −+ + + + − = −
d) Với a = 2, x = –1, ta được :
b)
2 3
n
n 1 2 n 2 3− − ⇔
nn 2 2 n 3 3 n 4 4 n 2 nn n n n1.2.2 C 2.3.2 C 3.4.2 C ... ( 1) (n 1)nC n( 1)
− − − −− + − + − − = −
− .
à
+ .
b) 0 1 nn n3C 4C ... ( 1) (n− + + −
Giải
n
n
được :
1 n 1 4 2 n 2 5 n n 3
nC a x C a x ... C x
⇔ n 1 2n2 C 3− − n 2 3 n 4 4 n 2 nn n n.2 C 3.4.2 C ... ( 1) (n 1)nC n(n 1)− − −+ − + − − =
B i 144. Chứng minh :
a) n)0 1 n n 1n n n3C 4C ... (n 3)C 2 (6
−+ + + + =
n
n3)C 0+ = .
Ta có nhị thức (a + x)n = 0 nC 1 n 1 2 n 2 2 nn n na C a x C a x ... C x
− −+ + + +
Nhân 2 vế với x3, ta
x3(a + x)n = 0 n 3nC a x n n
− − + .
1 n 1 3 n n 2
na x ... (n 3)C x
+ + + +
Đạo hàm 2 vế, ta được :
3x2(a + x)n + nx3(a + x)n – 1 = 0 n 2n n3C a x 4C
− ++ + + + .
a = 1, x = 1, ta được :
n n n 1 n 1
n3)C 3.2 n2 2 (6 n)
− −= + = + .
a = , x = –1, ta được :
n n
n) (n 3)C 0+ = .
-- -------------
Dạng
TÍCH PH ON ĐỂ
ÄT ĐẲNG THỨC
+ Lấy tích phân xác định hai vế thường là trên các đoạn : [0, 1], [0, 2] hay [1, 2]
c đẳng thức cần chứng minh.
ứa
a) Với
0 1n n3C 4C ... (n+ + + +
b) Với 1
0 1n n3C 4C ... ( 1− + + −
--------------------------
3:
ÂN HAI VẾ CỦA NHỊ THỨC NEWT
CHỨNG MINH MO
+ Viết khai triển Newton của (ax + b)n.
ta sẽ đượ
Chú ý :
• Cần chứng minh đẳng thức ch
k
nC
k 1
ta lấy tích phân với cận thích hợp hai vế +
trong khai triển của (a + x)n.
• Cần chứn minh đa g thg ún ức chứa 1
k m 1+ +
k
nC ta lấy tích phân với cận thích hợp
g khai triển cu xm(a + x)n.
Bài 145. Cho n N và n 2.
a) Tính I =
b) Chứng minh :
hai vế tron ûa
∈ ≥
1 2 3 n
0
x (1 x ) dx+∫
n 1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 2C C C 1C
3 6 9 n 1) 3(n 1)
+ −...
3(
+ + + =+ + .
Đại học Mở 1999
+
Giải
a) Ta có : I =
1
x ( = 2 3 n1 x ) dx+
0∫ 13
1 3 n 3
0
(1 x ) d(x 1)+ + ∫
I =
13 n 11 (1 x+
3
.
0
Kết nối đề xuất:
Thành ngữ tiếng Anh có chứa die
Advertisement
Advertisement