thanhcarter1987

New Member

Download Tuyển tập kỷ yếu toán học Olympic trại hè Hùng Vương năm 2008 miễn phí





Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Đề thi Olympic Toán học Hùng vương 8
1.1 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 1, năm 2005 . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 2, năm 2006 . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3, năm 2007 . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 4, năm 2008 . . . . . . . . . . . . 10
2 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương 12
2.1 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 1 . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3 . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 3 . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Đáp án Olympic Toán học Hùng vương lần thứ 4 . . . . . . . . . . . . . 22
3 Một số phương pháp giải toán 26
3.1 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.1 Nguyên lý quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2 Phương pháp chứng minh bằng qui nạp . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.3 Vận dụng phương pháp qui nạp để giải toán đại số và số học . . 28
3.1.4 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải bài tập hình học . . . . . 37
3.2 Phương pháp phản chứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Nguyên lý Dirichlet còn được phát biểu dưới nhiều dạng tương tự
khác: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.2 Vận dụng phương pháp phản chứng để giải toán . . . . . . . . . . 44
3.2.3 Vận dụng phương pháp phản chứng để giải các bài toán không
mẫu mực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3 Phương pháp suy luận trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Phương pháp mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.1 Khái niệm về logic mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.2 Các phép toán mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.3 Công thức của logic mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4.4 Các luật của logic mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Phương pháp bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6 Phương pháp sơ đồ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.7 Phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.7.1 Một số khái niệm và kết quả cơ bản của lý thuyết đồ thị . . . . . 66
3.7.2 Phương pháp đồ thị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 Phương pháp giải phương trình và hệ phương trình 73
4.1 Phương pháp nghiệm duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Phương pháp bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3 Phương pháp đưa về hệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.4 Phương pháp đảo ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.5 Phương pháp sử dụng các tính chất đặc biệt của hệ thức . . . . . . . . . 90
4.6 Phương pháp Lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.6.1 Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.6.2 Trình tự lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.6.3 Ví dụ minh hoạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.7 Sử dụng định lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.8 Sử dụng định lý Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.9 Hệ phương trình dạng hoán vị vòng quanh . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.10 Các phương pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.10.1 Sử dụng phép biến đổi hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.10.2 Sử dụng tính chất của hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.10.3 Đẳng cấp hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.10.4 Sử dụng hình học, vectơ, toạ độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.10.5 Sử dụng hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5 Số đối xứng và một số quy luật của phép nhân 139
5.1 Số đối xứng và một số tính chất liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2 Nhận xét về một số quy luật trong bản cửu chương . . . . . . . . . . . . 142
6 Một số phương pháp giải bài toán chia hết 146
6.1 Các số nguyên và các phép tính số nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.2 Các định lý về chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.3 Phép chia có dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.3.2 Sự tồn tại và duy nhất của phép chia có dư . . . . . . . . . . . . 149
6.4 Phương pháp dùng phép chia có dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.5 Phương pháp đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.5.1 Phép đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.5.2 Phương pháp đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.6 Phương pháp sử dụng tính tuần hoàn khi nâng lên lũy thừa . . . . . . . 161
6.6.1 Sự tuần hoàn của các số dư khi nâng lên lũy thừa . . . . . . . . . 161
6.6.2 Thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.7 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.7.1 Nguyên lý quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.7.2 Phương pháp chứng minh bằng quy nạp . . . . . . . . . . . . . . 166
6.7.3 Vận dụng phương pháp quy nạp để giải các bài toán chia hết . . . 168
6.8 Tiêu chuẩn chia hết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.8.1 Phương pháp đồng dư với 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.8.2 Phương pháp dãy số dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.8.3 Phương pháp nhóm chữ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7 Biểu diễn toạ độ của các phép biến hình phẳng 182
7.1 Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.1.1 Các khái niệm đã biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.1.2 Các khái niệm bổ sung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.2 Biểu diễn toạ độ của phép biến hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.2.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
7.2.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
7.3 Phép biến hình tuyến tính (affin) và các tính chất . . . . . . . . . . . . . 190
7.3.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.3.2 Các định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
7.4 Phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8 Một số phép biến hình phẳng thường gặp 196
8.1 Các phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.1.1 Phép tịnh tiến song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
8.1.2 Phép quay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
8.1.3 Phép đối xứng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.1.4 Phép đối xứng trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
8.2 Phép vị tự và phép đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.2.1 Phép vị tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
8.2.2 Phép đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.3 Một số phép biến hình khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.3.1 Phép co trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.3.2 Phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.4 Bài tập áp dụng phép biến hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.4.1 Bài tập lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.4.2 Sử dụng phép biến hình giải bài tập hình học . . . . . . . . . . . 215



Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho

Tóm tắt nội dung:

3 nghiệm phân biệt
(trong mỗi khoảng (−2;−1); (−1; 1); (1; 2) phương trình (6) có ít nhất một nghiệm mà
ba khoảng đó đôi một rời nhau). Nhưng (6) là phương trình bậc 3 nên (6) có nhiều nhất
4.6. Phương pháp Lượng giác 103
3 nghiệm phân biệt. Vậy (6) có đúng ba nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3. Ngoài ra, từ
trên ta thấy mọi nghiệm của (6) đều ∈ (−2; 2) nên để tìm nghiệm của (6) ta có thể đặt
x = 2 cos t với 0 < t < pi (∗). Ta thu được phương trình
8 cos3 t− 6 cos t+ 1 = 0 ⇔ 4 cos3 t− 3 cos t = −1
2
⇔ cos 3t = −1
2
. (6.1)
(6.1) ⇔
 3t = 2pi3 + 2kpi
3t = −2pi
3
+ 2npi

 t = 2pi9 + 2kpi3
t = −2pi
9
+ 2n
pi
3
(k, n ∈ Z).
Do t ∈ I(a, b) nên ta được k = 0; k = 1; n = 1. Như vậy, (6.1) có ba nghiệm ∈ I(a, b) là
t =
8pi
9
:= t1; t =
4pi
9
:= t2; t =
2pi
9
:= t3 (t1 > t2 > t3).
Do hàm số cosx nghịch biến trên I(a, b) nên ta được ba nghiệm phân biệt của phương
trình (6) là
x1 = 2 cos
8pi
9
< x2 = 2 cos
4pi
9
< x3 = 2 cos
2pi
9
.
Ngoài ra,
x2 + 2 = 2 cos
4pi
9
+ 2 = 2(1 + cos
4pi
9
) = 2.2. cos2
2pi
9
= x23.
Đó chính là điều phải chứng minh.
Ví dụ 4.6.7. Tìm m để hệ:
{
|x|+ |y| = 1 (α)
x2 + y2 = m (β)
(7) có nghiệm.
Từ (α) có 0 6 |x|; |y| 6 1 nên có thể đặt |x| = sin2 t⇒ |y| = cos2 t. Ta thu được{
sin2 t+ cos2 t = 1 (luôn đúng với mọi t ∈ R)
sin4 t+ cos4 t = m
⇔ sin4 t+ cos4 t = m (7.1).
Mà (7.1) ⇔ m = (sin2 t + cos2 t)2 − 2 sin2 t cos2 t = 1 − 1
2
sin2 2t. (7.2), nên ta có:
Phương trình (7) có nghiệm ⇔(7.2) có nghiệm ⇔ 1
2
6 m 6 1. Vậy 1
2
6 m 6 1 là các
giá trị cần tìm.
Ví dụ 4.6.8. Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:

x+

1− x > m

x− x2 + 1. (8)
Điều kiện: 
x > 0
1− x > 0
x− x2 > 0


x > 0
x 6 1
0 6 x 6 1
⇔ 0 6 x 6 1. (∗)
4.6. Phương pháp Lượng giác 104
Với điều kiện đó ta có thể đặt x = cos2 t với 0 6 t 6 pi
2
(∗1). Ta thu được bất phương
trình
cos t+ sin t > m. sin t. cos t+ 1. (8.1)
(Do từ (∗1) có | sin t| = sin t; | cos t| = cos t; | sin t cos t| = sin t cos t.)
Lại đặt z = cos t+sin t. Với t ∈ (∗1) ta dễ thấy z ∈ [1;

2]. Ngoài ra, sin t. cos t =
z2 − 1
2
và bất phương trình (8.1) trở thành:
2z > m(z2 − 1) + 2 ⇔ 2(z − 1) > m(z2 − 1). (8.2)
Nếu z = 1 thì (8.2) ⇔ 2.0 > m.0 : vô lý. Vậy (8.2) không có nghiệm z = 1. Xét
z ∈ (1;√2] (∗2). Khi đó z − 1 > 0; z + 1 > 0 nên
(8.2) ⇔ m < 2
z + 1
:= f(z).
Ta có: (8) có nghiệm ⇔ (8.1) có nghiệm t ∈ (∗1)
⇔ (8.2) có nghiệm z ∈ (∗2)
⇔ m < cosh (∗2)Sup f(z).
Dễ thấy f(z) liên tục và nghịch biến trên (∗2) nên cosh (∗2)Sup f(z) = f(1) = 1. Vậy
m < 1 là các giá trị cần tìm.
Bài tập tương tự
1. Cho x2 + y2 = 1; u2 + v2 = 1. Chứng minh rằng
|xu+ yv| 6 1
2. Cho y = x4 − x2 + 1
8
. 1) Chứng minh rằng |y| 6 1
8
với mọi x ∈ [−1; 1]. 2) Chứng
minh rằng phương trình:
x4 − x2 + 1
8
= 0
có bốn nghiệm phân biệt x ∈ [−1; 1].
3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
y =
1 + x4
(1 + x2)2
4. Cho ab; bc; ca cùng 6= −1. Chứng minh rằng
a− b
1 + ab
+
b− c
1 + bc
+
c− a
1 + ca
=
a− b
1 + ab
.
b− c
1 + bc
.
c− a
1 + ca
4.6. Phương pháp Lượng giác 105
5. Cho a, b, c > 0; a > c; b > c. Chứng minh rằng√
c(a− c) +

c(b− c) 6

ab
6. Cho 0 < x, y, z < 1 và xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng:
x
1− x2 +
y
1− y2 +
z
1− z2 >
3

3
2
7. Chứng minh rằng với mọi x ∈ (−1; 1) và n > 2, ta luôn có:
(1 + x)n + (1− x)n < 2
8. Chứng minh rằng với mọi a, b ∈ R, ta luôn có:
−1
2
6 (a+ b)(1− ab)
(1 + a2)(1 + b2)
6 1
2
9. Cho a, b, c > 0 và abc+ a+ c = b. Tìm MaxP với:
P =
2
a2 + 1
− 2
b2 + 1
+
3
c2 + 1
10. Cho dãy số (xn) xác định như sau:
x1 =
1
2
; xn+1 =

1−√1− x2n
2
Chứng minh rằng:
xk + xk+1 + xk+2 + · · ·+ xk+l < 1, 03
với mọi k, l ∈ N∗
11. Tìm a để phương trình : x+

1− x2 = a có nghiệm.
12. Giải và biện luận:

a+ x+

a− x = x.
13. Tìm nghiệm của hệ:

x2 + y2 = 4
z2 + t2 = 9
xt+ yz > 6
với x+ z lớn nhất.
14. Giải phương trình: x2 + (
x
x− 1)
2 = 1.
15. Giải hệ: 3(x+
1
x
) = 4(y +
1
y
) = 5(z +
1
z
)
xy + yz + zx = 1
4.6. Phương pháp Lượng giác 106
16. Cho y = |x|(4x2 +m). Tìm m để |y| 6 1 với mọi x; |x| 6 1.
17. Cho A,B,C là ba góc của một tam giác. Chứng minh rằng:
1 + cosA. cosB. cosC >

3 sinA. sinB. sinC
18. Giải hệ: {√
2(x− y)(1 + 4xy) = √3
x2 + y2 = 1
19. Cho dãy {un} xác định như sau:
u1 =

2
un+1 =
un +

2− 1
(1−√2)un + 1
(n > 1)
Hãy tính u2004
20. Cho 0 < x1 < y1. Hai dãy {xn}; {yn} xác định như sau:xn+1 =
xn + yn
2
yn+1 =

xn+1yn
(n > 1)
Chứng minh rằng Lim
n→+∞
xn = Lim
n→+∞
yn. Hãy tìm giới hạn đó.
21. Cho dãy {xk}nk=0 thoả mãn:{
x0 = 0; n = 50.000
xk+1 = xk +
1
30.000

1− x2k (k ∈ 0;n− 1)
Bất đẳng thức xn 6 1 đúng hay sai?.
22. Cho dãy các hàm số {Tn(x)} được xác định như sau:
T1(x) = x
T2(x) = 2x
2 − 1
Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x) (n > 2)
Chứng minh rằng: 1) Nếu |x| 6 1 thì |Tn(x)| 6 1 với mọi n ∈ N∗. 2) Phương trình
Tn(x) = 0 có đúng n nghiệm phân biệt và các nghiệm đó đều ∈ [−1; 1]. 3) Tìm tất
cả các giá trị của x để |Tn(x)| = 1.
23. Chứng minh rằng với a, b > 0, ta luôn có:√
a+

b =

a+

a2 − b
2
+

a+

a2 − b
2
4.6. Phương pháp Lượng giác 107
24. Chứng minh rằng với a > c; b > c; c > 0 ta luôn có:√
(a+ c)(b+ c) +

(a− c)(b− c) 6 2

ab
25. Rút gọn biểu thức:
T =

a−√4(a− 1) +√a+√4(a− 1)√
a2 − 4(a− 1)
26. Chứng minh rằng với a > |b|, ta luôn có

2b
2a+

a2 − b2√
a+

a2 − b2
=

(a+ b)3 −

(a− b)3
27. Giải phương trình:√
4 +

16− x
2
+

4−√16− x
2
=

4 +

x+

16− x
28. Cho xyz 6= 0; xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng
(x− 1
x
)(y − 1
y
) + (y − 1
y
)(z − 1
z
) + (z − 1
z
)(x− 1
x
) = 4
29. Cho x; y; z 6= ±

3
3
; x+ y + z = xyz. Chứng minh rằng
3x− x3
1− 3x2 +
3y − y3
1− 3y2 +
3z − z3
1− 3z2 =
3x− x3
1− 3x2 .
3y − y3
1− 3y2 .
3z − z3
1− 3z2
30. Cho xyz 6= 0; x+ y + z − xyz = 1− xy − yz − zx. Chứng minh rằng
1− x2
x
+
1− y2
y
+
1− z2
z
=
1
4
.
1− x2
x
.
1− y2
y
.
1− z2
z
31. Cho x1;x2;x3 là các nghiệm của phương trình
x3 + ax2 + x+ b = 0
Chứng minh rằng
(x1 − 1
x1
)(x2 − 1
x2
) + (x2 − 1
x2
)(x3 − 1
x3
) + (x3 − 1
x3
)(x1 − 1
x1
) = 4
4.6. Phương pháp Lượng giác 108
32. Cho x; y;x 6= 1 thoả mãn:
1 + x
1− x +
1 + y
1− y +
1 + z
1− z =
1 + x
1− x.
1 + y
1− y .
1 + z
1− z
Chứng minh rằng
a) x+ y + z − xyz = xy + yz + zx− 1
b)
2(x+ y)(1− xy)
(1 + x2)(1 + y2)
=
1− z2
1 + z2
c)
(1− xy)2 − (x+ y)2
(1 + x2)(1 + y)2
=
2z
1 + z2
33. Giải biện luận phương trình: x+

a2 − x2 0.
34. Giải hệ: {
|x+ y|+ |x− y| 6 2
x2 + y2 = 1
35. Giải hệ x

1− y2 + y√1− x2 = 1
x

1− y2 − y√1− x2 = 1
2
36. Giải hệ {√
x+

1− y = m+ 1√
y +

1− x = m+ 1
37. Giải hệ {
4xy(2x2 − 1) = 1
x2 + y2 = 1
38. Giải biện luận phương trình:
(a+ b)

a2 + b2 + x2 − (a− b)

a2 + b2 − x2 = a2 + b2
39. Giải phương trình:
1
x
+
1√
1− x2 =
5
12
40. Giải phương trình:
x+
x√
x2 − 1 =
35
12
41. Giải phương trình:√
1 +

1− x2
(√
(1 + x)3 −

(1− x)3
)
= 2 +

1− x2
4.6. Phương pháp Lượng giác 109
42. Giải phương trình: √
x− 2 +√4− x = x2 − 6x+ 11
43. Giải phương trình: √
1− x = 2x2 − 1 + 2x

1− x2
44. Giải biện luận phương trình:(
2a
1 + a2
)x

(
1− a2
1 + a2
)x
= 1 (0 < a < 1)
45. Giải phươn...
 

Các chủ đề có liên quan khác

Top