Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Ôn thi toán đại học

Chuyên đề Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Ôn thi toán đại học

Download Chuyên đề Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Ôn thi toán đại học miễn phí

Ví dụ21: Cho một tam giác đều ABC cạnh a . Người ta dựng một hình chữ
nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC , hai đỉnh P và Q theo thứtự
nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác . Xác định vịtrí điểm M sao cho
hình chữnhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trịlớn nhất đó.



Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho

Tóm tắt nội dung:

y và tìm các điểm 1 2, , ..., nx x x mà tại đó 'y triệt tiêu hay hàm số
không có đạo hàm.
* Tính các giá trị 1 2( ), ( ), ..., ( ), ( ), ( )nf x f x f x f a f b .Khi đó
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2
; ;
max max , , ... ,
i
x a b x a b
f x f a f x f x f x f b
   ∈ ∈   
+ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 2
; ;
min min , , ... ,
i
x a b x a b
f x f a f x f x f x f b
   ∈ ∈   
+ =
• Nếu hàm số ( )y f x= là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN
của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn thuộc D có độ dài
bằng T .
* Cho hàm số ( )y f x= xác định trên D . Khi đặt ẩn phụ ( )t u x= , ta tìm được
t E∈ với x D∀ ∈ , ta có ( )y g t= thì Max, Min của hàm f trên D chính là
Max, Min của hàmg trên E .
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
96
* Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập
nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số.
* Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền
giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min.
4.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:
3 1
1.
3
x
y
x
−
=
−
trên đoạn 0;2   .
2. 2( 6) 4y x x= − + trên đoạn 0;3   .
( )36 23. 4 1y x x= + − trên đoạn 1;1 −  .
24. 5 6y x x = − + + trên đoạn [ 1; 6]− .
Giải :
3 1
1.
3
x
y
x
−
=
−
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 0;2   .
* Ta có ( )2
8
' 0, 0;2
3
y x
x
−
 = < ∀ ∈  
−
* Bảng biến thiên
x 0 2
'y
−
y
1
3
5−
Từ bảng biến thiên suy ra :
( ) ( )
0;2 0;2
1
max 0 min 5 2
3
f x khi x f x khi x
      
= = = − =
2. 2( 6) 4y x x= − +
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 0;3   .
* Ta có :
2
2
2 6 4
' , 0;3
4
x x
y x
x
− +
 = ∈  
+
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
97
1
' 0
2
x
y
x
 =
= ⇔ 
=
0;3
0;3
(1) 5 5
max 3 13(0) 12
(2) 8 2 min 12
(3) 3 13
x
x
y
yy
y y
y
 ∈ 
 ∈ 

= −
 
= −= −  
⇒ 
= − = − 

= −

Vậy
0;3
max 3 13
x
y
 ∈ 
= − khi 3x = ,
0;3
min 12
x
y
 ∈ 
= − khi 0x = .
( )36 23. 4 1y x x= + −
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 1;1 −  .
Đặt 2, 1;1 0;1t x x t   = ∈ − ⇒ ∈   
Hàm số đã cho viết lại ( ) ( )33 4 1 , 0;1f t t t t  = + − ∈  
* Ta có ( ) ( ) ( )22 2' 3 12 1 3 3 8 4f t t t t t= − − = − + −
( )
2 2 4
,
' 0 3 3 9
2
t f
f t
t
  
= =  
= ⇔  
 =

( ) ( )0 4, 1 1f f= =
* Bảng biến thiên
t
0
2
3
1
( )'f t − 0 +
( )f t
4 1
4
9
Từ bảng biến thiên suy ra :
( ) ( )
1;1 1;1
4 2
max 4 0 min
9 3
f x khi x f x khi x
   
− −   
= = = = ±
24. 5 6y x x = − + +
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
98
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [ 1; 6]− .
* Ta có
2
2 5
'
2 5 6
x
y
x x
− +
=
− + +
5
' 0 [ 1; 6]
2
y x= ⇔ = ∈ −
( ) 5 7( 1) 6 0,
2 2
y y y
 
− = = = 
 
.
Vậy :
1;6
min 0 1, 6
x
y khi x x
∈ −  
= = − = và
1;6
7 5
max
2 2x
y khi x
∈ −  
= = .
Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số:
2
2
1 9
, 0
8 1
x x
y x
x
+ +
= >
+
.
Giải :
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng ( )0;+∞
( )
2 2 2
2 22 2
9 1 9 1 1
8 1 9 1(8 1) 9 1
x x x x
y
x x xx x x
+ + + −
= = =
+ + −+ + −
Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên khoảng ( )0;+∞ khi hàm số
2( ) 9 1 f x x x= + − đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng ( )0;+∞ .
( )
2
9
' 1
9 1
x
f x
x
= −
+
( ) 2 20 1' 0 9 1 9 72 1 6 2
x
f x x x x
x
 >
= ⇔ + = ⇔ ⇔ =
=
( )
0 0
2 2 1 1 3 2 1
min khi m khi
3 46 2 2 2 6 2
3
x x
f x x y x
> >
= = ⇒ = = =ax .
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số:
21. 4y x x= + − trên đoạn 2;2 −  .
2
1
2.
1
x
y
x
+
=
+
trên đoạn 1;2x  ∈ −  .
Giải :
21. 4y x x= + −
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 2;2 −  .
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
99
* Ta có ( )2
2 2
4
' 1 , 2;2
4 4
x x x
y x
x x
− −
= − = ∈ −
− −
( ) ( )
2 24 0 4
' 0
2;2 2;2
x x x x
y
x x
 
− − = − = 
= ⇔ ⇔ 
∈ − ∈ −  
2 2 2
0 2 0 2
2
4 2
x x
x
x x x
 < < < < 
⇔ ⇔ ⇔ = 
− = =  
Bảng biến thiên
x 2−
2 2
'y
−
0 +
y
2−
2 2
2
Từ bảng biến thiên , ta được
( ) ( )
2;2 2;2
max 2 2 2 min 2 2
x x
f x khi x f x khi x
   ∈ − ∈ −   
= = = − = −
2
1
2.
1
x
y
x
+
=
+
trên đoạn 1;2x  ∈ −  .
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 1;2 −  .
* Ta có
( )32
1
' ' 0 1
1
x
y y x
x
− +
= ⇒ = ⇔ =
+
* Bảng biến thiên .
x 1−
1 2
'y
+ 0 −
y
0
2
3 5
5
Từ bảng biến thiên , ta được
1;2 1;2
max 2 1 min 0 1
x x
y khi x y khi x
   ∈ − ∈ −   
= = = = −
Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
3 23 1y x x= − + trên đoạn 2;1 . −
 
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
100
Giải :
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 2;1 −  .
Đặt ( ) 3 23 1, 2;1g x x x x  = − + ∈ − 
( ) 2' 3 6 .g x x x= −
( ) 0' 0
2 2;1
x
g x
x
 =
= ⇔ 
 = ∉ −  
( ) ( ) ( )2 19, 0 1, 1 1g g g− = − = = − , suy ra ( ) ( )
2;1 2;1
max 1,min 19g x g x
   
− −
   
= = − .
( ) ( ) ( )2;1 19;1 0;19 .x g x f x g x    ∈ − ⇒ ∈ − ⇒ = ∈     
( ) ( ) ( ) ( )1 10 . 1 0 0;1 sao cho 0.g g x g x< ⇒ ∃ ∈ =
Vậy ( ) ( )
2;1 2;1
max 19,min 0.f x f x
   
− −
   
= =
Ví dụ 5:
1. Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số 2 2 4y x x a= + + − trên đoạn
2;1 −  đạt giá trị nhỏ nhất .
2. Tìm giá trị ,p q để giá trị lớn nhất của hàm số 2y x px q= + + trên đoạn
1;1 −  là bé nhất .
Giải :
1.
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 2;1 −  .
( )22 2 4 1 5y x x a x a= + + − = + + −
Đặt ( )21 , 2;1 0;4t x x t   = + ∈ − ⇒ ∈   
Ta có ( ) 5 , 0;4f t t a t  = + − ∈  
( ) ( ) { }{ } { }
2;1 0;4 0;4 0;4
max max max 0 , 4 max 5 , 1
x t t t
y f t f f a a
       ∈ − ∈ ∈ ∈       
⇔ = = − −
( )
0;4
5 1 3 max 5 5
t
a a a f t a a
 ∈ 
• − ≥ − ⇔ ≤ ⇒ = − = −
( )
0;4
5 1 3 max 1 1
t
a a a f t a a
 ∈ 
• − ≤ − ⇔ ≥ ⇒ = − = −
Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt
101
Mặt khác ( )
0;4
5 5 3 2, 3
max 2,
1 3 1 2, 3 t
a a
f t a
a a  ∈ 

− ≥ − = ∀ ≤
⇒ ≥ ∀ ∈
− ≥ − = ∀ ≥


Vậy giá trị nhỏ nhất của ( )
0;4
max 2 3
t
f t khi a
 ∈ 
= =
2. Xét hàm số ( ) 2f x x px q= + +
* Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 1;1 −  ( )y f x⇒ =
( ) ( ) ( )1 1 , 0 , 1 1f p q f q f p q− = − + = = + +
Giả sử ( )maxy f α=
(1) (0) (1) (0) 1f f f f p⇒ + ≥ − = + , ( 1) (0) ( 1) (0) 1f f f f p− + ≥ − − = −
( )
1
(1) 120 1 1
1 2
(0)
2
f
p p f
f
α

>
• > ⇒ + > ⇒ ⇒ >
 >

( )
1
( 1) 120 1 1
1 2
(0)
2
f
p p f
f
α

− >
• ⇒ ⇒ >
 >

1;1
max max ( ) ; ( 1) ; (1)
2x
p
y f f f
 ∈ − 
  
= − −