Một số kỹ thuật giải nhanh phương trình lượng giác

Download Một số kỹ thuật giải nhanh phương trình lượng giác miễn phí

1. Dựa vào mối quan hệ giữa các cung
Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với các công thức lượng giác, các phép biến đổilượng giác để đưa về các phương trình cơ bản là một vấn đề rất “then chốt”trong việc giải phương trình lượng chúng ta xét các bài toán sau để thấy được việc xem xét mối quan hệ giữa các cung quan trọng như thế nào



Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho

Tóm tắt nội dung:

3 0 2cos3 (cos cos3 ) 0 4cos3 cos 2 cos 0x x x x x x x x x       
6 3
,
4 2
2
x k
x k k
x k
 
 


  

   


  


www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
DĐ: 01694 013 498
19
Bài 8: (ĐHKT – 1999) Giải phương trình 3 22
3(1 sin )3 tan tan 8cos 0
4 2cos
x xx x x
x
       
 
Giải:
Phương trình    3 23 tan tan 3(1 sin ) 1 tan 4 1 sin 0x x x x x       
   
   
  
3 2
2
2
3 tan tan 3 1 sin tan 1 sin 0
3tan 1 sin tan 1 sin tan 0
1 sin tan 3 tan 1 0
x x x x x
x x x x x
x x x
      
     
    
TH 1: 1tan ,
63
x x k k       
TH 2: 1 sin tan 0 sin cos sin cos 0x x x x x x       (pt đối xứng với sin và cos)
Giải phương trình này ta được 2 ,
4
x k k      với 2 1cos
2



Bài 9: ĐH – B 2007) Giải phương trình: 22sin 2 sin 7 1 sinx x x  
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện các cung x, 2x, 7x và 7 2.2
2
x x x  chính vì thế ta định hướng hạ bậc chẵn và áp dụng công
thức biến đổi tổng thành tích
Phương trình  2sin 7 sin 1 2sin 2 0x x x    
2cos 4 .sin 3 cos 4 0x x x  
 
cos 4 0
cos 4 2sin 3 1 0 1sin 3
2
x
x x
x

   
 

4
8 42
23 2 ,
6 18 3
5 5 23 2
6 18 3
x kx k
x k x k k
x k x k
 

  

  

    

      


    
  

Đs:  2 5 2; ,
18 3 18 3
x k x k k       
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
DĐ: 01694 013 498
20
Bài tập tự giải:
Bài 1: (GTVT – 2001) Giải phương trình: sin4x +
8
9)
4
(sin)
4
(sin 44   xx
Đs: ,
2
x k k     với 2 6cos
2

 

Bài 2: (ĐHQGHN – 1998) Giải phương trình: 2 2 2sin cos 2 cos 3x x x 
Đs: 6 3 ,
4 2
kx
k
kx
 
 
  

  


Bài 3: (Đề 48 II) Giải phương trình: 2 2 17sin 2 – cos 8 sin 10
2
x x x   
 
Đs: 20 10 ,
6 3
kx
k
kx
 
 
  

  


Bài 4: (ĐHD – 1999) Giải phương trình:  2 2sin 4 – cos 6 sin 10,5 10x x x 
Đs: 20 10 ,
2
kx
k
x k
 


  

  


Bài 5: (TCKT – 2001) 2 2 2sin sin 3 3cos 2 0x x x  
Đs: ,
3 2
x k x k        với 5 1,cos
2
k   
Bài 6: (ĐHTDTT – 2001) Giải phương trình: cos3x + sin7x =
2
9cos2)
2
5
4
(sin2 22 xx 
Đs:
12 6
,
4
8 2
kx
x k k
kx
 


 
  

   


   


Bài 7: (ĐHNTHCM – 1995) Giải phương trình: 8 8 217sin cos cos 2
16
x x x 
Đs: ,
8 4
kx k   
Bài 8: (KTMM – 1999) Giải phương trình: 8 8 17sin cos
32
x x 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
DĐ: 01694 013 498
21
Đs: ,
8 4
kx k   
Bài 9: (HVQY – 1997) Giải phương trình: 8 8 1sin 2 cos 2
8
x x 
Đs: ,
8 4
kx k   
Bài 10: (ĐHSPHN – A 200) Tìm các nghiệm của phương trình
2 2 7sin sin 4 sin 2 4sin
4 2 2
xx x x      
 
thỏa mãn điều kiện 1 3x  
Đs:
7;
6 6
x   
Bài 11: (ĐHSP HCM – A 2000) Giải phương trình:
2 2sin sin cos sin 1 2cos
2 2 4 2
x x xx x      
 
Đs: ,x k k 
Bài 12: (ĐHCĐ – 2000) Giải phương trình: 2 2 22cos 2 cos 2 4sin 2 cosx x x x 
Đs: ,
8 4
kx k   
5. Sử dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ và một số đẳng thức quan trọng
 22 21 sin 2 sin cos 2sin cos sin cosx x x x x x x     
2 2 21 sin 2 sin cos 2sin cos (sin cos )x x x x x x x     
sin 2sin cos
2
xx x 
     3 3 2 2sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cosx x x x x x x x x x x x       
     3 3 2 2sin cos sin cos sin sin .cos cos sin cos 1 sin .cosx x x x x x x x x x x x       
2tan cot
sin 2
x x
x
  , cot tan 2cotx x x 
4 4 2 2 2 21 1 1 3 1sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2 cos 2 cos 4
2 2 2 4 4
x x x x x x x        
  4 4 2 2 2 2cos sin cos sin cos sin cos 2x x x x x    
6 6 4 4 2 2 23 3 5sin cos sin cos sin cos 1 sin 2 cos 4
4 8 8
x x x x x x x x       
6 6 4 4 2 2cos sin cos 2 (sin cos sin cos )x x x x x x x   
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
DĐ: 01694 013 498
22
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x          
   

11 tan .tan
2 cos
xx
x
 
Mối quan hệ giữa cos x và 1 sin x là
2cos cos 1 sin
1 sin cos (1 sin ) cos
x x x
x x x x

 
 
Bài 1: (ĐH – D 2007) Giải phương trình:
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x x    
 
Giải:
Phương trình 2 2sin 2sin cos cos 3 cos 2
2 2 2 2
x x x x x    
sin 3 cos 1x x   1 3 1sin cos
2 2 2
x x  
1sin .cos cos .sin
3 3 2
x x    1sin
3 2
x     
 
 
2 2
3 6 6
5 2 2
3 6 2
x k x k
k
x k x k
  
 
  
 
       
   
     
 

Đs:  2 , 2 ,
2 6
x k x k k       
Bài 2: (ĐH – B 2003) Giải phương trình:
x
xxx
2sin
22sin4tancot 
Giải:
Nhận xét:
Từ sự xuất hiện hiệu cot tanx x và sin 2x ta xem chúng có mối quan hệ thế nào, có đưa về nhân tử chung
hay cung một cung 2x hay không
Ta có
2 2cos sin cos 2 2cos 2
sin cos sin cos sin 2
x x x x
x x x x x

  từ đó ta định hướng giải như sau
Điều kiện:
sin 0
cos 0 sin 2 0
2
sin 2 0
x
kx x x
x



    
 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
DĐ: 01694 013 498
23
2 2cos sin 2 cos 2 14sin 2 2sin 2
sin cos sin 2 sin 2 sin 2
x x xx x
x x x x x

     
2 2cos 2 2sin 2 1 2cos 2 cos 2 1 0x x x x      
cos 2 1
1cos 2
2
x
x

  

Khi cos 2 1x  thì sin 0x  không thỏa ĐK
Khi 1cos 2
2
x  thì 2 1cos x
4
 thỏa mãn điều kiện
Vậy ta nhận 1cos 2
2 3
x x k     
Đs:  ,
3
x k k    
Chú ý:
Từ mối quan hệ giữa tan x và cot x , giữa tan x và sin 2x ta có thể làm như sau
Đặt
2
1cot
tan
2sin 2
1
x
tt x
tx
t
 
  
 
 
Ta được phương trình
2
2
1 2 14 2
21
t tt
t tt

  

… bạn đọc giải tiếp nhé
Bài 3: (ĐH – D 2005) Giải phương trình: 4 4 3cos sin cos .sin 3 0
4 4 2
x x x x            
   
Giải:
Nhận xét:
Từ đẳng thức 4 4 21sin cos 1 sin 2
2
x x x   và hiệu hai cung 3 2
4 4
x x x          
   
Từ đó ta định hướng đưa về cung một cung 2x
Phương trình 2 2 1 12sin cos sin 4 sin 2 0
2 2 2
x x x x            
2sin 2 cos 4 sin 2 1 0x x x     
2sin 2 sin 2 2 0x x   
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: [email protected]
DĐ: 01694 013 498
24
sin 2 1 ;
4
x x k k      
Đs:  ,
4
x k k  ...