Hệ thống kiến thức lượng giác với bài tập đi kèm

Download Hệ thống kiến thức lượng giác với bài tập đi kèm miễn phí

Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1:Tìm điều kiện (nếu có của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa
Bước 2:Sử dụng các phép biến đổi tương đươngđể biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3:Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có
Bước 4:Kết luận



Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho

Tóm tắt nội dung:

33
Chuyên đề 8: LƯỢNG GIÁC
TÓM TẮTGIÁO KHOA
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Đơn vị đo góc và cung:
1. Độ:
bẹtgóc 01 Góc 180
1=
2. Radian: (rad)
rad 0180 π=
3. Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:
Độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600
Radian 0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
5π π π2
II. Góc lượng giác & cung lượng giác:
1. Định nghĩa:
2. Đường tròn lượng giác:
Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:
ππ
π
ππ
ππ
ππ
π
k
CA
k
C
k
A
+→
→
+→
+→
+→
→
2 DB,
k ,
22- D
2k
22 B
2k
x
y
(tia gốc)
Z)(k 2),( ∈+= πα kOyOx
+
t
(tia ngọn)
O
α
.
y x
o180
O
+
−
x
y
OC A
B
D
x
y
B
α M
α
(điểm gốc)
+
t
O A
(điểm ngọn)
πα 2kAB +=
34
III. Định nghĩa hàm số lượng giác:
1. Đường tròn lượng giác:
• A: điểm gốc
• x'Ox : trục côsin ( trục hoành )
• y'Oy : trục sin ( trục tung )
• t'At : trục tang
• u'Bu : trục cotang
2. Định nghĩa các hàm số lượng giác:
a. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=α .
Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox vàø y'Oy
T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu
Ta định nghĩa:
cos
sin
tg
cot
OP
OQ
AT
g BU
α
α
α
α
=
=
=
=
b. Các tính chất :
• Với mọi α ta có :
1 sin 1 hay sin 1α α− ≤ ≤ ≤
1 cos 1 hay cos 1α α− ≤ ≤ ≤
• tg xác định
2
kπα α π∀ ≠ +
• cotg xác định kα α π∀ ≠
c. Tính tuần hoàn
sin( 2 ) sin
cos( 2 ) cos
( )
cot ( ) cot
k
k
tg k tg
g k g
α π α
α π α
α π α
α π α
+ =
+ =
+ =
+ =
)( Zk ∈
+
−
x
y
OC A
B
D
1
1
1=R1−
1−
'x
'u
u
t
't
'y
y t
'u
't
t
x
u
'y
'x O
t
1−
Q
B
T
α
M
α
AP
U
Trục cosin
Trục tang
Trục sin Trục cotang
+
−
35
IV. Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:
Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt
- 3
-1
- 3 /3
(Điểm gốc)
t
t'
y
y'
xx'
uu'
- 3 -1 - 3 /3
1
1
-1
-1
-π/2
π
5π/6
3π/4
2π/3
-π/6
-π/4
-π/3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
-1/2- 2 /2- 3 /2 3 /22 /21/2
3 /2
2 /2
1/2
A
π/3
π/4
π/6
3 /3
3
B π/2 3 /3 1 3
O
00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600 Góc
Hslg
0
6
π
4
π
3
π
2
π
3
2π
4
3π
6
5π π π2
sinα 0
2
1
2
2
2
3 1
2
3
2
2 2
1 0 0
cosα 1
2
3
2
2
2
1 0
2
1−
2
2−
2
3− -1 1
tgα 0
3
3
1 3 kxđ 3− -1
3
3− 0 0
cotgα kxđ 3 1
3
3 0
3
3− -1 3− kxđ kxđ
+
−
36
V. Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:
Đó là các cung :
1. Cung đối nhau : và -α α (tổng bằng 0) (Vd:
6
&
6
ππ − ,…)
2. Cung bù nhau : và -α π α ( tổng bằng π ) (Vd:
6
5&
6
ππ ,…)
3. Cung phụ nhau : và
2
πα α− ( tổng bằng
2
π ) (Vd:
3
&
6
ππ ,…)
4. Cung hơn kém
2
π : và
2
πα α+ (Vd:
3
2&
6
ππ ,…)
5. Cung hơn kém π : và α π α+ (Vd:
6
7&
6
ππ ,…)
1. Cung đối nhau: 2. Cung bù nhau :
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
α α
α α
α α
α α
− =
− = −
− = −
− = −
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
− = −
− =
− = −
− = −
3. Cung phụ nhau : 4. Cung hơn kém
2
π
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
− =
− =
− =
− =
cos( ) sin
2
sin( ) cos
2
( )
2
cot ( ) t
2
tg cotg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ =
+ = −
+ = −
5. Cung hơn kém π :
cos( ) cos
sin( ) sin
( )
cot ( ) cot
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ = −
+ =
+ =
Đối cos Bù sin
Phụ chéo
Hơn kém
2
π
sin bằng cos
cos bằng trừ sin
Hơn kém π
tang , cotang
37
Ví dụ 1: Tính )
4
11cos( π− ,
4
21πtg
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: )3cos()2cos()
2
cos( xxxA ++−++= πππ
VI. Công thức lượng giác:
1. Các hệ thức cơ bản:
2 2cos sin 1
sintg =
cos
coscotg =
sin
α α
αα α
αα α
+ =
2
2
2
2
11 tg =
cos
11 cotg =
sin
tg . cotg = 1
α α
α α
α α
+
+
Ví dụ: Chứng minh rằng:
1. 4 4 2 2cos sin 1 2sin cosx x x x+ = −
2. xxxx 2266 cossin31sincos −=+
2. Công thức cộng :
cos( ) cos .cos sin .sin
cos( ) cos .cos sin .sin
sin( ) sin .cos sin .cos
sin( ) sin .cos sin .cos
tg +tgtg( + ) =
1 .
tg tgtg( ) =
1 .
tg tg
tg tg
α β α β α β
α β α β α β
α β α β β α
α β α β β α
α βα β α β
α βα β α β
+ = −
− = +
+ = +
− = −
−
−− +
Ví dụ: Chứng minh rằng:
πα α α
πα α α
+ = −
− = +
1.cos sin 2 cos( )
4
2.cos sin 2 cos( )
4
3. Công thức nhân đôi:
α α α
α
α
α α
α α α
αα α
= −
= −
= −
= −
=
= −
2 2
2
2
4 4
2
cos2 cos sin
2 cos 1
1 2sin
cos sin
sin 2 2sin .cos
22
1
tgtg
tg
2
2cos1cos2 αα +=
2
2cos1sin 2 αα −=
ααα 2sin
2
1cossin =
38
4 Công thức nhân ba:
3
3
cos3 4cos 3cos
sin 3 3sin 4sin
α α α
α α α
= −
= −
5. Công thức hạ bậc:
α
αααααα
2cos1
2cos1;
2
2cos1sin;
2
2cos1cos 222 +
−=−=+= tg
6.Công thức tính sin ,cos ,tgα α α theo
2
t tgα=
2
2 2 2
2 1 2sin ; cos ;
1 1 1
t t ttg
t t t
α α α−= = =+ + −
7. Công thức biến đổi tích thành tổng :
[ ]
[ ]
[ ]
1cos .cos cos( ) cos( )
2
1sin .sin cos( ) cos( )
2
1sin .cos sin( ) sin( )
2
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
= + + −
= − − +
= + + −
Ví dụ:
1. Biến đổi thành tổng biểu thức: xxA 3cos.5cos=
2. Tính giá trị của biểu thức:
12
7sin
12
5cos ππ=B
8. Công thức biến đổi tổng thành tích :
cos cos 2 cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2 cos .sin
2 2
sin( )
cos cos
sin( )
cos cos
tg tg
tg tg
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
α β α βα β
α βα β α β
α βα β α β
+ −+ =
+ −− = −
+ −+ =
+ −− =
++ =
−− =
4
cos33coscos3 ααα +=
4
3sinsin3sin 3 ααα −=
39
Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: 3xsin 2x sinsin ++= xA
9. Các công thức thường dùng khác:
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
cos sin 2 cos( ) 2 sin( )
4 4
π πα α α α
π πα α α α
+ = − = +
− = + = − −
8
4cos35sincos
4
4cos3sincos
66
44
ααα
ααα
+=+
+=+
B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Các bước giải một phương trình lượng giác
Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa
Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải
Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)
Bước 4: Kết luận
I. Định lý cơ bản: ( Quan trọng )
u = v+k2
sinu=sinv
u = -v+k2
u = v+k2
cosu=cosv
u = -v+k2
tgu=tgv u = v+k (u;v )
2
cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )
k
π
π π
π
π
ππ π
π π
⎡⇔ ⎢⎣
⎡⇔ ⎢⎣
⇔ ≠ +
⇔ ≠
( u; v là các biểu thức chứa ẩn và Zk ∈ )
Ví dụ : Giải phương trình:
1. sin3 sin( 2 )
4
x xπ= − 2.
4
3cos)
4
cos( ππ =−x
3. xx 2sin3cos = 4. 4 4 1sin cos (3 cos6 )
4
x x x+ = −
II. Các phương trình lượng giác cơ bản:
1. Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m ( Rm∈∀ )
* Gpt : sinx = m (1)
• Nếu 1m > thì pt(1) vô nghiệm
• Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = sinα và ta có
x = +k2
(1) sinx=sin
x = ( - )+k2
α πα π α π
⎡⇔ ⇔ ⎢⎣
* Gpt : cosx = m (2)
40
• Nếu 1m > thì pt(2) vô nghiệm
• Nếu 1m ≤ thì ta đặt m = cos β và ta có
x = +k2
(2) cosx=cos
x = +k2
β πβ β π
⎡⇔ ⇔ ⎢ −⎣
* Gpt: tgx = m (3) ( pt luôn có nghiệm Rm∈∀ )
• Đặt m = tgγ thì
(3) tgx = tg x = +kγ γ π⇔ ⇔
* Gpt: cotgx = m (4) ( pt luôn có nghiệm Rm∈∀ )
• Đặt m = cotgδ thì
(4) cotgx = cotg x = +kδ δ π⇔ ⇔
Các trường hợp đặc biệt:
sin 1 x = 2
2
sinx = 0 x = k
sin 1 x = ...