Ôn thi Toán đại học - Hàm số và các vấn đề liên quan

Download Ôn thi Toán đại học - Hàm số và các vấn đề liên quan miễn phí

Nhận xét. Chúng ta đã giải quyết bài toán liên quan đến hoành độ
của điểm cực trị. Ghi nhớ rằng các hàm đa thức hay phân thức hữu tỉ
luôn có đạo hàm tại mọi điểm thuộc tập xác định nên hoành độ điểm
cực trị bao giờ cũng là nghiệm của phương trình y'=0 . Thường thì
các bạn chỉ gặp những hàm số mà y' là một tam thức bậc hai hay
triệt tiêu và cùng dấu với một tam thức bậc hai, do đó những bài toán
liên quan đến điểm cực trị của đồ thi hàm số thường chuyển về bài
toán liên quan đến nghiệm cảu một phương trình bậc hai và định lí
Viet là công cụ tốt nhất để giải quyết.



Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho

Tóm tắt nội dung:

" Î
2( 2) 2( 2) 3 1 0 m x m x m x RÛ + - + - + ³ " Î (1)
Và lúc này ta chuyển bài toán đơn điệu về bài toán dấu tam thức bậc
hai. Cụ thể là tam thức không đổi dấu trên R , do đó ta cần nhắc lại
chút xíu về dấu của tam thức bậc hai.
Nhắc lại: Cho tam thức 2( ) , 0f x ax bx c a= + + ¹ có 2 4b acD = -
* Nếu 0 . ( ) 0 a f x x RD " Î
* Nếu 0 . ( ) 0 a f x x RD = Þ ³ " Î và . ( ) 0 2
ba f x x a= Û = -
* Nếu 0 ( )f xD > Þ có hai nghiệm 1 2x x< .
· 1 2. ( ) 0 ( ; ) ( ; )a f x x x x> Û Î -¥ È +¥
· 1 2. ( ) 0 ( ; )a f x x x x< Û Î .
Từ định lí về dấu ta có ngay:
0 ( 0)( ) 0 ( ( ) 0) 0
a af x f x x R
ì > <ï³ £ " Î Û íD £ïî
.
Trở lại bài toán: Điều mà các bạn hay nhầm lẫn là áp dụng ngay kết
quả trên vào (1). Lưu ý VT của (1) chưa phải là tam thức bậc hai vì hệ
số 2a m= + nhận giá trị 0. Do đó ta cần chia làm hai trường hợp.
TH 1: Nếu 2m = - khi đó (1) 7 0Û ³ luôn đúng với mọi
x 2mÞ = - thỏa bài toán
TH 2: Nếu 2m ¹ - khi đó (1) thỏa với mọi
2 0 2 0
' ( 2)(4 1) 0 4 1 0
a m mx R m m m
ì ì= + > + >ï ïÎ Û Ûí íD = + + £ + £ï ïî î
12 4mÛ - < £ - .
Kết hợp cả hai trường hợp, ta có: 12 4m- £ £ - là những giá trị cần
tìm.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyễn Tất Thu
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 8
Nhận xét: Lời giải trên xem ra có vẻ đúng và hợp lí, tuy nhiên về mặt
lí luận thì trình bày như trên là chưa thỏa đáng? các bạn thử nghĩ
xem chưa thỏa đáng ở chỗ nào ? Ta nên trình bày thế nào cho chặt
chẽ ?.
Ví dụ 2.1. Tìm m để hàm số 2 sin 1y x m x= + - nghịch biến trên
R .
Lời giải. Hàm số xác định trên R .
Ta có: ' 2 cosy m x= +
* Nếu 2 2 ' 0 m y x R- " Î Þ hàm số đồng biến trên R
* Nếu 2 2 2 cos 0 m x x R= ± Þ ± ³ " Î và ' 0y = tại vô hạn điểm,
do đó ta chưa kết luận được hàm số tăng trên R .
Lấy hai giá trị 1 2x x< , khi đó sẽ có khoảng ( ; )a b chứa 1 2,x x và
' 0y = chỉ tại hữu hạn điểm trên (a;b) nên
hàm đồng biến trên 1 2( ; ) ( ) ( )a b y x y xÞ < Þ hàm số đồng biến trên
R .
Vậy | | 2m £ là những giá trị cần tìm.
Ví dụ 3.1. Tìm m để hàm số sau đồng biến trên )2;é +¥ë
3 2 2( 1) (2 3 2) (2 1)y x m x m m x m m= - + - - + + - .
Lời giải. Hàm số xác định trên R.
Ta có 2 2' 3 2( 1) (2 3 2)y x m x m m= - + - - + .
Hàm đồng biến trên )2;é +¥ë ' 0yÛ ³ 2x" ³
2 2( ) 3 2( 1) (2 3 2) 0 [2; )f x x m x m m xÛ = - + - - + ³ " Î +¥
Vì tam thức ( )f x có 2' 7 7 7 0 m m mD = - + > "
Nên ( )f x có hai nghiệm: 1 2
1 ' 1 ';3 3
m mx x+ - D + + D= = .
Vì 1 2x x< nên 1
2
( ) 0 x xf x x x
é £
³ Û ê ³êë
.
Do đó 2( ) 0 [2; ) 2 ' 5f x x x m³ " Î +¥ Û £ Û D £ -
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyễn Tất Thu
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 9
2 2
5 5 32 2' (5 ) 2 6 0
m m
m
m m m
ì ì£ £ï ïÛ Û Û - £ £í í
D £ - + - £ï ïî î
.
Vậy 32 2m- £ £ là những giá trị cần tìm.
Ví dụ 4.1. Tìm m để hàm số 3 21 ( 1) 3( 2) 13y mx m x m x= - - + - +
đồng biến trên (2; )+¥ .
Giải. Vì hàm số liên tục trên R nên:
Hàm số đồng biến trên (2; )+¥ Û hàm số đồng biến trên [2;+ )¥ .
Ta có : 2' 2( 1) 3( 2)y mx m x m= - - + - .
C 1. Hàm đồng biến trên [2; )+¥ ' 0 [2; )y xÛ ³ " Î +¥
2( ) 2( 1) 3( 2) 0 [2; )f x mx m x m xÛ = - - + - ³ " Î +¥ (3)
TH 1: 0m = khi đó (3) chỉ đúng với mọi 3x ³ .
TH 2: 0m < ta thấy trường hợp này không tồn tại m nên không thỏa
mãn yêu cầu bài toán.
TH 3: 0m > , ( )f x có 2' 2 4 1m mD = - + +
* Nếu 2 6' 0 2m
+
D £ Û ³ (do 0m > ) ( ) 0 f x xÞ ³ " Î ¡
* Nếu 2 6' 0 0 2m
+
D > Û < < (*).
Khi đó ( )f x có hai nghiệm 1 2x x< và
1
2
2
( ) 0 ( ) 0 2 2x xf x f x x xx x
é £
³ Û Þ ³ " ³ Û £ê ³êë
21 ' 22 ' 1 3 2 0 3
m m m m mm
- + D
Û £ Û D £ + Û - ³ Û ³
Kết hợp với (*) 2 2 63 2m
+
Þ £ < . Vậy 23m ³ là những giá trị cần
tìm.
C2: Hàm đồng biến trên [2;+∞) ' 0 [2; )y xÛ ³ " Î +¥
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyễn Tất Thu
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 10
2 2( 1) 3( 2) 0mx m x mÛ - - + - ³
[2; )x" Î +¥ 2
6 2 ( ) [2; )
2 3
xm g x x
x x
-
Û ³ = " Î +¥
- +
.
Xét hàm số ( )g x , ta có :
2
2 2
2( 6 3)'( )
( 2 3)
x xg x
x x
- +
=
- +
'( ) 0 3 6 ( 2)g x x vi xÞ = Û = + ³ và
lim ( ) 0
x
g x
®+¥
= .
Lập bảng biến thiên ta có
2
2max ( ) (2) 3x
g x g
³
= =
2
2( ) [2; ) max ( ) 3x
m g x x m g x
³
Þ ³ " Î +¥ Û ³ = .
II. Cực trị hàm số
Ghi nhớ:
Cho hàm số ( )y f x= , xác định trên D .
* 0x DÎ là điểm cực trị của khi và chỉ khi tại 0x đạo hàm triệt tiêu
hay không xác định và qua đó đạo hàm đổi dấu.
* 0 0( )y f x= : Cực trị hàm số
* Điểm 0 0( ; )x y : Điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Ví dụ 5.1. Tìm m để hàm số: 3 23 ( 1) 1y mx mx m x= + - - - cực trị.
Lời giải. Hàm số xác định trên R
Ta có: 2' 3 6 1y mx mx m= + - + . Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm
nên 0x là điểm cực trị của hàm số thì đạo hàm tại đó phải bằng 0. Vậy
hàm số có cực trị khi và chỉ khi ' 0y = phải có nghiệm và y’ đổi dấu
qua nghiệm đó.
* Nếu 0 ' 1 0 m y x R= Þ = > " Î Þ hàm số không có cự trị
* Nếu 0m ¹ . Khi đó 'y là một tam thức bậc hai nên ' 0y = có
nghiệm và đổi dấu khi qua các nghiệm ' 0yÛ = có hai nghiệm phân
biệt hay 2 1' 12 3 0 0 v 4m m m mD = - > Û .
Vậy 10 v 4m m là những giá trị cần tìm.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyễn Tất Thu
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 11
Nhận xét: Nếu 'y là một tam thức bậc hai hay triệt tiêu và cùng dấu
với một tam thức bậc hai thì hàm có cực trị Û phương trình ' 0y =
có hai nghiệm phân biệt thuộc TXĐ.
Ví dụ 6.1. Tìm m để hàm số
2 1x mxy x m
+ +
=
+
đạt cực tiểu tại 1x = .
Lời giải. Hàm số xác định với mọi x m¹ -
Ta có: 2
1 1' 1
( )
y x yx m x m
= + Þ = -
+ +
. Vì hàm số có đạo hàm
tại mọi điểm x m¹ - nên để hàm đạt cực tiểu tại 1x = thì trước hết
2
1'(1) 1 0 0; 2
(1 )
y m m
m
= - = Û = = -
+
.
Mà 3
1''
( )
y
x m
=
+
nên
* 0 ''(1) 1 0 1m y x= Þ = > Þ = là điểm cực tiểu 0mÞ = thỏa
yêu cầu bài toán.
* 2 '(1) 1 0 1m y x= - Þ = - < Þ = là điểm cực đại 2mÞ = -
không thỏa yếu cầu bài toán.
KL: 0m = .
Nhận xét: Nhiều bạn đã giải bài toán trên bằng cách sử dụng điểu
kiện sau
Hàm số đạt cực tiểu tại '(1) 01 ''(1) 0
yx y
ì =ï= Û í >ïî
(*) !
các bạn lưu ý là dấu hiệu hai chỉ phát biểu khi 0''( ) 0y x ¹ . các bạn
sẽ thấy rõ hơn bằng cách giải bài toán sau:
1. Tìm m để hàm số 4 2 23y x mx m m= + + + đạt cực tiểu tại 0x =
2. Tìm m đề hàm số 3 23( 2) ( 4) 2 1y x m x m x m= - + - + - + - đạt
cực đại tại 1x = - .
Tuy nhiên trong một số bài toán ta khẳng định được 0''( ) 0y x ¹ thì ta
sử dụng (*) được. Chẳng hạn ở ví dụ trên chúng ta có thể trình bày
như sau:
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Nguyễn Tất Thu
Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa 12
Ta có: 2
1 1' 1
( )
y x yx m x m
= + Þ = -
+ +
,
3
1'' 0
( )
y x m
x m
= ¹ " ¹ -
+
nên :
Hàm số đạt cực tiểu tại '(1) 01 ''(1) 0
yx y
ì =ï= Û í >ïî
.
hay ở ví dụ sau:
Ví dụ 7.1. Tìm m để hàm số 22 2 4 5y x m x x= - + + - + có cực
đại.
Lời giải: Hàm số xác định trên ¡ .
Ta có 2 3/22
2' 2 ; "
( 4 5)4 5
x my m y
x xx x
-
= - + =
- +- +
.
* Nếu 0m = thì ' 2y = - nên hàm số không có cực trị.
* 0m ¹ vì dấu của ''y chỉ phụ thuộc vào m nên để hàm có cực đại thì
trước hết " 0y < 0mÛ < . Khi đó hàm số có cực đại Û Phương
trình '...