Sách chưa phân loại, sách kiến thức Ebook download miễn phí
Nội quy chuyên mục: - Hiện nay có khá nhiều trang chia sẻ Tài liệu nhưng mất phí, đó là lý do ket-noi mở ra chuyên mục Tài liệu miễn phí.

- Ai có tài liệu gì hay, hãy đăng lên đây để chia sẻ với mọi người nhé! Bạn chia sẻ hôm nay, ngày mai mọi người sẽ chia sẻ với bạn!
Cách chia sẻ, Upload tài liệu trên ket-noi

- Những bạn nào tích cực chia sẻ tài liệu, sẽ được ưu tiên cung cấp tài liệu khi có yêu cầu.
Nhận download tài liệu miễn phí
By doanh_vytrong
#673682

Download Bất đẳng thức Bunhiacopxki và ứng dụng miễn phí





Cho ABC Δ và 1 điểm Q nào đó ởtrong Δ. Qua Q kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC ởM và cắt BC ởN. Qua điểm Q kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB ởF; cắt BC ởE. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC ởP, cắt AB ởR. Kí hiệu S1= dt(QMP); S2= dt(QEN); S3= dt(QFR) và S = dt(ABC).Chứng minh S1 + S2 + S3 >=1/3 S



Để DOWNLOAD tài liệu, xin trả lời bài viết này, mình sẽ upload tài liệu cho bạn ngay

Tóm tắt nội dung:

uyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 12 
Ta có: ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2
2
a b a b b c b c c d c d d a d a
N
a b a b b c b c c d c d d a d a
− + + − + + − + + − + += + + ++ + + + + + + + (1)
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 12
4 4 4 4
N a b a b b c b c c d c d d a d a⇔ ≥ + + − + + + − + + + − + + + −
( ) ( )1 12
4 4
N a b b c c d d a N a b c d⇔ ≥ + + + + + + + ⇔ ≥ + + + ( đpcm )
Bài 17 : Cho ; ;a b c là các số thực dương.Chứng minh:
2 2 2
1
8 8 8
a b c
a bc b ac c ab
+ + ≥
+ + +
(Trích đề thi Olympic Toán Quốc Tế lần thứ 42, năm 2001)
Hướng dẫn giải
Đặt
2 2 28 8 8
a b cA
a bc b ac c ab
= + +
+ + +
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki hai lần ta được:
( )
2
2 2 2 24 4 4
2 2 24 4 4
2 2 2
2 2 2
3 3 3
. . 8 . . 8 . . 8
8 8 8
. 8 8 8
8 8 8
. . 8 . 8 . 8
a b ca b c a a bc b b ac c c ab
a bc b ac c ab
a b c a a bc b b ac c c ab
a bc b ac c ab
A a a abc b b abc c c abc
⎡ ⎤+ + = + + + + +⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ + + + + + + +⎢ ⎥ ⎣ ⎦+ + +⎣ ⎦
⎡ ⎤= + + + + +⎣ ⎦
( )( )3 3 3. 24A a b c a b c abc≤ + + + + + (1)
Mặt khác
( ) ( )( )( )3 3 3 3 3a b c a b c a b b c a c+ + = + + + + + +
Áp dụng BĐT Cauchy với hai số dương ta có:
2 ; 2 ; 2a b ab b c bc a c ac+ ≥ + ≥ + ≥
Suy ra:
( )( )( ) 8a b b c a c abc+ + + ≥
( ) ( )( )( )3 3 3 3 3 3 33 24a b c a b c a b b c a c a b c abc⇒ + + = + + + + + + ≥ + + + (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
( ) ( )( ) ( )2 3 2. .a b c A a b c a b c A a b c+ + ≤ + + + + = + +
Do đó 1A ≥ , nghĩa là
2 2 2
1
8 8 8
a b c
a bc b ac c ab
+ + ≥
+ + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi a b c= = .
Bài 18 : Cho ; ;x y z +∈ thoả 1xy yz zt tx+ + + = .Chứng minh:
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 13 
3 3 3 3 1
3
x y z t
y z t x z t x y t x y z
+ + + ≥+ + + + + + + +
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2xy yz zt tx x y z t y z t x+ + + ≤ + + + + + +
2 2 2 21 x y z t⇔ ≤ + + + (1)
Đặt: ; ; ;X y z t Y x z t Z x y t T x y z= + + = + + = + + = + +
Không mất tính tổng quát giả sử: x y z t≥ ≥ ≥
2 2 2 2x y z t⇒ ≥ ≥ ≥ và 3 3 3 3x y z t≥ ≥ ≥
và y z t x z t x y t x y z X Y Z T+ + ≤ + + ≤ + + ≤ + + ⇔ ≤ ≤ ≤ 1 1 1 1
X Y Z T
⇒ ≥ ≥ ≥
Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy số sau:
3 3 3 3
1 1 1 1
x y z t
X Y Z T
⎧ ≥ ≥ ≥⎪⎨ ≥ ≥ ≥⎪⎩
( )3 3 3 3 3 3 3 31 1 1 1 14x y z t x y z tX Y Z T X Y Z T⎛ ⎞+ + + ≥ + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠ (2)
Áp dụng BĐT Trê-bư-sếp cho hai dãy
2 2 2 2
x y z t
x y z t
≥ ≥ ≥⎧⎨ ≥ ≥ ≥⎩
( ) ( )( )3 3 3 3 2 2 2 214x y z t x y z t x y z t+ + + ≥ + + + + + +
Mặt khác:
( ) ( )1 1
3 3
x y z t x y z x y t x z t y z t X Y Z T+ + + = + + + + + + + + + + + = + + +
( ) ( ) ( )3 3 3 3 2 2 2 21 1.4 3x y z t x y z t X Y Z T⇒ + + + ≥ + + + + + + (3)
Từ (2) và (3) rút ra:
( )( )3 3 3 3 2 2 2 21 1 1 1 148x y z t x y z t X Y Z TX Y Z T X Y Z T⎛ ⎞+ + + ≥ + + + + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
Theo (1) ta lại có: 2 2 2 21 x y z t≤ + + +
Áp dụng BĐT Cauchy cho ; ; ; 0X Y Z T > ta có:
( )
4
4
4 . . .
1 1 1 1 14
. . .
1 1 1 1. 16
X Y Z T X Y Z T
X Y Z T X Y Z T
X Y Z T
X Y Z T
+ + + ≥
+ + + ≥
⎛ ⎞⇒ + + + + + + ≥⎜ ⎟⎝ ⎠
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 14 
Vậy
3 3 3 3 1 1.1.16
48 3
x y z t
X Y Z T
+ + + ≥ =
Thay ; ; ;X Y Z T ta được kết quả:
3 3 3 3 1
3
x y z t
y z t x z t x y t x y z
+ + + ≥+ + + + + + + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi 1
2
x y z t= = = =
Bài 19 : Cho n là số tự nhiên.Chứng minh rằng:
( )1 2 ... 2 1n nn n nC C C n+ + + ≤ −
Hướng dẫn giải
Chọn hai dãy ( ) ( )1 21 2 1 2; ;...; ; ... 1nn n n n na C a C a C b b b= = = = = = =
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có: ( ) ( )( )21 2 1 2... ... 1 1 ... 1n nn n n n n nC C C C C C+ + + ≤ + + + + + + (1)
Theo nhị thức Newton ta có: ( )
1
n
n k k n k
n
k
a b C a b −
=
+ = ∑
Cho 1a b= = .Ta có:
0 1 12 ... 2 1 ...n n n nn n n n nC C C C C= + + + ⇒ − = + +
Vậy từ (1) ta có:
( )1 2 ... 2 1n nn n nC C C n+ + + ≤ −
Dấu đẳng thức xảy ra khi 1 2 ... 1nn n nC C C n= = = ⇔ = .
Bài 20 : Cho ; ; ; 0a b c d > .Chứng minh : 2
2 3 2 3 2 3 2 3 3
a b c d
b c d c d a d a b a b c
+ + + ≥+ + + + + + + +
(Trích đề dự bị Quốc Tế Toán Mỹ năm 1993)
Hướng dẫn giải
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có:
2
1 1 1
n n n
i
i i i
i i ii
x
x y x
y= = =
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞≥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑
với ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 1 2 3 44; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 3 ; 2 3 ; 2 3 ; 2 3n x x x x a b c d y y y y b c d c d a d a b a b c= = = + + + + + + + +
⇒VT ( )( )
2
4
a b c d
ab ac ad bc bd cd
+ + +≥ + + + + + (1)
Mặt khác ( ) ( )23
8
ab ac ad bc bd cd a b c d+ + + + + ≤ + + + (2)
Từ (1) và (2) ⇒VT 2
3
≥ ( đpcm )
Bài 21 : Cho 0; 0; 0a b c> > > .Chứng minh :
4 4 4 3 3 3
2
a b c a b c
b c c a a b
+ ++ + ≥+ + +
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 15 
Hướng dẫn giải
Đặt
4 4 4
2 2 2
1 2 3; ;
a b cx x x
b c c a a b
= = =+ + + và ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 2 3; ;a b c y b c a y c a b y+ = + = + =
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có cho các số 1 2 3; ;x x x và 1 2 3; ;y y y ta được:
( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 2 22 2 2 3 3 3a b c a b c b c a c a b a b cb c c a a b⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + + + + + + ≥ + +⎜ ⎟ ⎣ ⎦+ + +⎝ ⎠
Nên
( )
( ) ( ) ( )
23 3 34 4 4
2 2 2
a b ca b c
b c c a a b a b c b c a c a b
+ ++ + ≥+ + + + + + + +
Để chứng minh được bài toán ta cần chứng minh:
( ) ( ) ( ) ( )23 3 3 2 22 a b c a b c b c a c a b+ + ≥ + + + + + (**)
(**) 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 0a b a b b a b c b c bc c a c a ca⇔ + − − + + − − + + − − ≥
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 0a b a b b c b c c a c a⇔ − + + − + + − + ≥ (***)
Bất đẳng thức (***) là đúng ⇔ (**) là đúng – Bài toán đúng.
Vậy
4 4 4 3 3 3
2
a b c a b c
b c c a a b
+ ++ + ≥+ + +
Bài 22 : Cho 0; 1;2;...;ix i n> = có 1 2 ... 1nx x x+ + + = .Cho 1 2; ;...; ni i ix x x là hoán vị của 1 2; ;...; nx x x .Chứng minh:
( )22 2
1
11
k
n
k
k i
n
x
x n=
⎛ ⎞ ++ ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑
Hướng dẫn giải
Theo Bunhiacôpxki:
22 2
1 1 1 1
1 1 1.
k k k
n n n n
k k k
k k k ki i i
n x x x
x x x= = = =
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ≥ + = +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
∑ ∑ ∑ ∑

1
1
n
k
k
x
=
=∑ 22 2
1 1 1
1
1 1
k
k k
k
n n n
i n
k k ki i
i
k
nx n n
x x x= = =
=
⎛ ⎞⎛ ⎞ ≥ ⇒ ≥ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑
Vậy
( )22 2
1
11
k
n
k
k i
n
x
x n=
⎛ ⎞ ++ ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∑
BÀI TẬP :
Bài 1: Cho ; ; ; 0a b c d > và thỏa ( )32 2 2 2c d a b+ = + .Chứng minh: 3 3 1a bc d+ ≥
www.MATHVN.com
www.MATHVN.com
Tröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn
Chuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page 16 
Bài 2: Cho ; ; ; 0a b c d > .Chứng minh: 1 1 4 16 64
a b c d a b c d
+ + + ≥ + + +
Bài 3: Cho ; ;a b c là 3 số dương và 2 2 2 1a b c+ + ≥ .Chứng minh:
3 3 3 1
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥+ + +
Bài 4: Cho 2 2 2 1a b c+ + = .Chứng minh: 1 3a b c ab ac bc+ + + + + ≤ +
Bài 5: Cho ; ;a b c là các số dương.Chứng minh:
4 4 4 2 2 2
2 2 2 2 2 2 3
a b c a b c
a ba b b bc c c ac a
+ ++ + ≥+ + + + + +
Bài 6: Cho 3 số ; ;x y z thoả ( ) ( ) ( ) 41 1 1
3
x x y y z z− + − + − ≤ .Chứng minh: 4x y z+ + ≤
Bài 6: Cho ; ;a b c là 3 số không âm.Chứng minh: 2 2 2
3 3 3
a b b c c a a b c+ + ++ + ≥ + +
Bài 7: Cho 3 số dương ; ;a b c có 1abc = .Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 32
bc ca ab
a b a c b c b a c a c b
+ + ≥+ + +
Bài 8: Cho 3 số dương ; ;x y z có 1x y z+ + = .Chứng minh: 11 1 9 3 3
2
yx z
y z z x x y
++ + ++ + ≥+ + +
Bài 9: Chứng minh:
( )2a b ca b c
x y z x y z
+ ++ + ≥ + +
Bài 10: Cho 0x y z≥ ≥ > .Chứng minh: ( )2 2 2 22 ...
Kết nối đề xuất:
Nơi này có anh English Lyrics
Synonym dictionary
Advertisement
Advertisement