slimshady_9x

New Member

Download Một số kỹ thuật giải hệ phương trình toán học miễn phí





Trong các đề thi đạihọcnhững năm gần đây, ta gặprấtnhiềubài toán về hệ phương trình .Nhằmgiúp các bạn ôn thi tốt,bài viếtnày chúng tôi xin giới thiệu một số dạng bài và kĩ năng giải.
I.HỆ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔITƯƠNG ĐƯƠNG.
Đặc điểmchung của dạng hệ này làsử dụng các kĩnăng biến đổi đồng nhất đặc biệt là kĩ năng phân tích nhằm đưa một PT trong hệ về dạng đơn giản( cóthể rút theo y hoặcngượclại ) rồi thế vào PT còn lạitrong hệ.



Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho

Tóm tắt nội dung:

ình
3
3
3 4
2 6 2
ì = - + +ï
í
= - -ïî
y x x
x y y
Giải. HPT
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
23
23
2 3 2 2 1 2 1
2 2 3 2 2 2 1 2 2
ì ì- = - - - - = - + -ï ïÛ Ûí í
- = - - - = + -ï ïîî
y x x y x x
x y y x y y
Nếu 2>x từ (1) suy ra 2 0- ( )2-y cùng dấu.
Tương tự với 2 www.VNMATH.com
MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
Hy vọng một số ví dụ trên sẽ giúp bạn phần nào kĩ năng giải hệ. Để kết thúc bài
viết mời các bạn cùng giải các hệ phương trình sau
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
3
2 2 3
3 22
4 2 3 2
2 3 83 2 16
1) 2)
2 4 33 2 6
2 2 1 13 9
3) 4)
4 2 3 48 48 155 0 4 1 ln 2
ì + =- - =ì ï
í í
+ - - = - =î ïî
+ - - = +ì + =ï
í
+ - - - + = + + + + =ïî
x yxy x y
x y x y x y
x x y x yx y
y x y y x y x y x 0
ìï
í
ïî
3 2
2 22 2
2 2 22
3 2
2
22 4 1 3 5
5) 6)
044
2007
2 01
7) 8)
2 3 6 12 13 02007
1
ì ì + =+ + + + = - + - + -ï ï
í í
+ + - =+ + + = ïï îî
ì = -ï ì - + =-ï
í í
+ + - + =ï = -ï -î
x
y
x yx x x y y y
x xy y yx y x y
ye
x y x yy
x x x y xe
x
ï
ïî
www.VNMATH.com
MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
MỘT SỐ CHÚ Ý
KHI GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Tham khảo Tạp chí THTT 400- 2010
Bài toán 1: (A- 2008) Giải hệ phương trình:
( )
2 3 2
4 2
5
4
51 2
4
x y x y xy xy
x y xy x
ì + + + + = -ïï
í
ï + + + = -ïî
Lời giải: Hệ đã cho tương đương với
( )
2 3 2
22
5
4
5
4
x y x y xy xy
x y xy
ì + + + + = -ïï
í
ï + + = -ïî
Suy ra ( ) ( )22 2 2x y xy x y x y+ + + = +
( ) ( )2 2 1 0x y x y xyÛ + + - - =
a)
2
2
0
0 5
4
x y
x y
xy
ì + =
ï+ = Þ í
= -ïî
(I)
Hệ (I) có nghiệm ( ) 3 35 25; ;
4 16
x y
æ ö
= -ç ÷
è ø
b)
2
2
1
21 0
3
2
x y
x y xy
xy
ì + = -ïï+ - - = Þ í
ï = -ïî
(II)
Hệ (II) có nghiệm ( ) 3; 1;
2
x y æ ö= -ç ÷è ø
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm ( );x y là 3 35 25;
4 16
æ ö
-ç ÷
è ø
; 31;
2
æ ö-ç ÷è ø
.
Bài toán 2: (B- 2009) Giải hệ phương trình: 2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
+ + =ì
í
+ + =î
Lời giải: Dễ thấy 0y ¹ nên hệ đã cho tương đương với
2
2
2
11 77
1 113 13
xx xx y yy y
x xx xy y y y
ìì + + =+ + = ïïï ïÛí í
æ öï ï+ + = + - =ç ÷ï ïî è øî
www.VNMATH.com
MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
Suy ra
2
1 1 20 0x x
y y
æ ö æ ö
+ + + - =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
.
a)
1 51 5
12
x
yx
y
x y
ì + = -ï+ = - Þ í
ï =î
(Hệ vô nghiệm)
b)
1 41 4
3
x
yx
y
x y
ì + =ï+ = Þ í
ï =î
. Trường hợp này hệ có hai nghiệm ( ) 1; 1;
3
x y æ ö= ç ÷è ø

( ) ( ); 3;1x y = .
Nhận xét: Qua hai ví dụ đề thi tuyển sinh nêu trên, chúng ta thấy rằng đôi khi chỉ cần
biến đổi cơ bản, dựa vào các hằng đẳng thức là có thể được kết quả. Ta xét tiếp các ví dụ
đòi hỏi các phép biến đổi phức tạp hơn.
Bài toán 3: Giải hệ phương trình:
121 2
3
121 6
3
x
y x
y
y x
ìæ ö
- =ïç ÷+ïè ø
í
æ öï + =ç ÷ï +è øî
Lời giải: Điều kiện 0, 0, 3 0x y y x> > + ¹ . Hệ đã cho tương đương với
1 312 2 11
3
12 6 1 3 121
3 3
x yy x x
y x y y xx y
ìì + =- = ïï +ï ïÛí í -ï ï- = - =
ï ï+ +î î
Suy ra
2
2 21 9 12 6 27 0 6 27 0.
3
y yy xy x
x y y x x x
- æ ö æ ö- = Þ + - = Þ + - =ç ÷ ç ÷+ è ø è ø
Tìm được 3y
x
= và 9y
x
= - (loại). Với 3y
x
= ta được ( ) ( )2 21 3 ; 3 1 3x y= + = + .
Bài toán 4: Giải hệ phương trình:
log log (1)
2 2 3 (2)
y x
x y
xy yì =ï
í
+ =ïî
Lời giải: Điều kiện 0, 0, 1, 1x y x y> > ¹ ¹ .
Từ (1) có 2 2 0t t+ - = với logyt x= .
a) Với log 1y x = , ta được 2
3log
2
x y æ ö= = ç ÷è ø
.
b) Với log 2y x = - , ta được 2
1x
y
= . Thế vào (2) được
2
1
2 2 3 (3)y y+ =
Trường hợp này PT (3) vô nghiệm. Thật vậy:
+ Nếu 1y > thì
2 2
1 1
2 2; 2 1 2 2 3y yy y> > Þ + > .
www.VNMATH.com
MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
+ Nếu 0 1y< < thì 2
1 1
y
> suy ra:
2 2
1 1
2 1; 2 2 2 2 3y yy y> > Þ + > .
Vậy hệ đã cho chỉ có một nghiệm ( ) 2 2
3 3; log ;log
2 2
x y æ öæ ö æ ö= ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè ø
.
Bài toán 5: (Dự bị D- 2008) Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2 2
36 60 25 0
36 60 25 0
36 60 25 0
x y x y
y z y z
z x z x
ì - + =
ï
- + =í
ï - + =î
Lời giải: Hệ đã cho tương đương với
2
2
2
2
2
2
60
36 25
60
36 25
60
36 25
xy
x
yz
y
zx
z
ì
=ï +ï
ï
=í +ï
ï


Hiển nhiên hệ này có nghiệm ( ) ( ); ; 0;0;0 .x y z = Dưới đây ta xét , , 0x y z ¹ .
Từ hệ trên ta thấy , , 0x y z > . Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2 2 2
2 2
60 60 60
36 25 602 36 .25
x x xy x
x xx
= £ = =
+
.
Tương tự ta thu được y x z y£ £ £ . Suy ra x y z= = . Từ đó suy ra hệ có một nghiệm nữa
5 .
6
x y z= = =
Bài toán 6: Giải hệ phương trình:
( )
3
4
1 8
1
x y x
x y
ì - - = -ï
í
- =ïî
Lời giải: Đk 1, 0.x y³ ³ Thế y từ PT(2) vào PT(1) ta được
( )2 31 1 8 (3)x x x- - - = -
Từ (3) có 3 21 2 9 (4)x x x x- = - + - +
Xét hàm số ( )3 2( ) 2 9 1f x x x x x= - + - + ³ . Ta có ( )/ 2( ) 3 2 2 0 1f x x x x= - + - < " ³ .
Suy ra hàm số ( )f x luôn luôn nghịch biến khi 1x ³ .
Mặt khác, hàm số ( ) 1g x x= - luôn nghịch biến khi 1x ³ nên 2x = là nghiệm duy
nhất của PT(4).
Vậy hệ có một nghiệm duy nhất ( ) ( ); 2;1x y = .
Nhận xét: Đối với bài toán trên, dung công cụ đạo hàm để giải quyết là rất hay, tuy
nhiên, ta cũng có thể tránh được đạo hàm bằng cách biến đổi khéo léo như sau:
www.VNMATH.com
MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 3
2
2
PT(3) 1 1 1 1 8 0
2 2 2 2 4 0
1 1
1 2 Do 2 4 0, 1
1 1
x x x
x x x x x x
x
x x x x
x
é ùÛ - - - - - + - =ë û
-Û - - + - + + =
- +
æ öÛ = + + + > " ³ç ÷- +è ø
Dưới đây, xin nêu một bài toán trong Đề thi tuyển sinh Đại học gần nhất mà nếu không
dùng đến công cụ đạo hàm thì khó có thể giải quyết được.
Bài toán 7: (A- 2010) Giải hệ phương trình:
( ) ( )2
2 2
4 1 3 5 2 0 (1)
4 2 3 4 7 (2)
x x y y
x y x
ì + + - - =ï
í
+ + - =ïî
Lời giải: Đk 3 5;
4 2
x y£ £ .
( ) ( )2PT(1) 4 1 2 5 2 1 5 2x x y yÛ + = - + -
Đặt ( ) ( )2 2
2
1 1
5 2
x u
u u v v
y v
=ìï Þ + = +í
- =ïî
.
Hàm ( )2( ) 1f t t t= + có / 2( ) 3 1 0f t t= + > nên ( )f t luôn đồng biến trên  , suy ra:
2
0
2 5 2 5 4
2
x
u v x y xy
³ì
ï= Û = - Û í -
=ïî
Thế y vào PT (2) ta được:
2
2 254 2 2 3 4 0 (3)
2
x x xæ ö+ - + - =ç ÷è ø
Nhận thấy 0x = và 3
4
x = không phải là nghiệm của PT (3). Xét hàm số:
2
2 25( ) 4 2 2 3 4
2
g x x x xæ ö= + - + -ç ÷è ø
trên 30;
4
æ ö
ç ÷è ø
.
Ta có ( )/ 2 25 4 4( ) 8 8 2 4 4 3 02 3 4 3 4g x x x x x xx x
æ ö= - - - = - - <ç ÷ - -è ø
trên 30;
4
æ ö
ç ÷è ø
.
Suy ra ( )g x nghịch biến trên 30;
4
æ ö
ç ÷è ø
. Nhận thấy 1 0
2
gæ ö =ç ÷è ø
, nên PT(3) có nghiệm duy
nhất 1
2
x = . Với 1
2
x = thì 2y = . Vậy hệ đã cho có một nghiệm ( ) 1; ;2
2
x y æ ö= ç ÷è ø
.
Bài toán 8: Giải hệ phương trình:
5 4 10 6
2
(1)
4 5 8 6 (2)
x xy y y
x y
ì + = +ï
í
+ + + =ïî
Lời giải: Hiển nhiên 0y ¹ . Chia hai vế của PT(1) cho 5 0y ¹ ta được
5
5x x y y
y y
æ ö æ ö
+ = +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
.
www.VNMATH.com
MỘT SỐ KỶ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Luyện thi Đại Học 2011
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán...
 
Các chủ đề có liên quan khác
Tạo bởi Tiêu đề Blog Lượt trả lời Ngày
D Nghiên cứu một số biện pháp kỹ thuật đối với giống xoài Đài Loan trồng tại Yên Châu, Sơn La Nông Lâm Thủy sản 0
D Nghiên cứu ảnh hưởng của một số biện pháp kỹ thuật đến sinh trưởng và bệnh vàng lá thối rễ cây ba kích tại Thái Nguyên Nông Lâm Thủy sản 0
D Một số biện pháp rèn kỹ năng viết văn tả người cho học sinh lớp 5 Luận văn Sư phạm 0
D Nghiên cứu một số biện pháp kỹ thuật nâng cao năng suất, chất lượng của hoa cúc Đài loan tại phường Nông Lâm Thủy sản 0
L Một số kỹ thuật phát hiện và ước lượng thông điệp giấu trong ảnh Luận văn Kinh tế 2
X Tìm hiểu một số kỹ thuật tạo mô hình 3D Luận văn Kinh tế 0
K Một số kỹ thuật phân lập nấm bệnh đối kháng Khoa học Tự nhiên 0
J Một số ý kiến đề xuất nhằm hoàn thiện công tác hạch toán kế toán ở xí nghiệp phát triển kỹ thuật xây Luận văn Kinh tế 0
C Hiện trạng về cơ sở vật chất kỹ thuậnt du lịch tại một số điểm trong khu vực Sơn Tây – Ba Vì Công nghệ thông tin 0
K Một số đặc điểm kinh tế kỹ thuật chủ yếu ảnh hưởng đến hoạt động bán hàng ở siêu thị Kim Liên Luận văn Kinh tế 0

Các chủ đề có liên quan khác

Top