Tổng kết phương pháp sai phân

Download Tổng kết phương pháp sai phân miễn phí

Mục Lục
A. Tổng kết các vấn đề lý thuyết 2
1. Mục tiêu của phương pháp: 2
2. Cách làm: 3
B. Các dạng phương trình vi phân thường sử dụng phương pháp sai phân để giải 3
I. Bài toán truyền nhiệt 3
1. Truyền nhiệt dừng 1 chiều ( tức là biểu thức =0) 3
2. Truyền nhiệt trong không gian 1 chiều không dừng 7
a. Phương pháp sai phân hiện. 8
b. Phương pháp sai phân ẩn 11
c. Phương pháp Crank-Nicolson 14
3. Truyền nhiệt dừng trong không gian 2 chiều 17
4. Truyền nhiệt không dừng trong không gian 2 chiều 18
a. Lược đồ sai phân hiện: 18
b. Lược đồ sai phân ẩn . 20
c. Lược đồ luân phương ẩn. 21
d. Phương pháp một chiều địa phương. 24
e. Phương pháp nhảy ô 25
II. Phương trình truyền sóng ( dây rung) 26
 
 



Để tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho

Tóm tắt nội dung:

Mục Lục
Tổng kết phương pháp sai phân
Tổng kết các vấn đề lý thuyết
Mục tiêu của phương pháp:
Phương pháp sai phân là 1 trong 3 phương pháp để giải phương trình vi phân
Bao gồm :
Giải đúng nhờ phương pháp biến đổi giải tích sử dụng các công cụ vi tích phân và biến đổi tương ứng.
Giải gần đúng bằng phương pháp sai phân
Giải gần đúng bằng phương pháp phần tử hữu hạn
Thực chất của phương phấp sai phân là việc xấp xỉ các giá trị của hàm tại các điểm đặc biệt ( thường chọn là lưới sai phân đều cho đơn giản) : Như vậy để xây dựng được 1 nghiệm sai phân đúng theo nghĩa sai phân cần tính được các giá trị của nghiệm phương trình vi phân tại các đầu mút quan trọng, có tất cả là m*n ( m là kích thước lưới sai phân, t là thời gian trong trường hợp 1 chiều) các giá trị này với 1 số giá trị biên đã biết còn lại ta cần tìm các giá trị còn lại điều đó đưa đến nhận xét là :
Thực chất của phương pháp sai phân chính là giải hệ phương trình đại số tuyến tính khi đã biết 1 số giá trị đặc biệt. Chỉ cần lập được hệ đại số tuyến tính để tính các nghiệm chính là đã giải quyết được 70% công việc của bài toán. Việc còn lại chỉ là tìm phương pháp giải phù hợp ( Euler,Luân phương ẩn, Seidel co dãn, truy hồi 3 đường chéo…..)
Giải thích thêm : Ở đây sở dĩ ta phải giải hệ vì vịj thì các chỉ số i,j chạy tương ứng vì vậy ta thu được 1 hệ phương trình chứ không phải là 1 phương trình(biểu thức)
Còn phương pháp phần tử hữu hạn là xấp xỉ các hàm trên các miền hữu hạn thành các toán tử tuyến tính để xấp xỉ được như vậy thực chất là giải bài toán xấp xỉ hàm với sai số đã chọn
Cách làm:
Để xấp xỉ được giá trị của hàm thì ta dung cách thay thế các đạo hàm bằng các sai phân tương ứng của nó và đưa về giải hệ phương trình. Cụ thể
uxi=u’(xi)=uẋi= uẋi+1 (Sai phân cấp 1)
=(Sai phân cấp 2)
Còn rất nhiều cách thay khác có thể tham khảo trong sách đánh này không quen lâu quá J.
Từ các công thức đó ta thay vào các đạo hàm tương ứng thì ta có một hệ phương trình sai phân với các giá trị nút lưới tương ứng. Giải hệ này ta có đáp số.Cụ thể từng bài toán xem xét dưới đây
Các dạng phương trình vi phân thường sử dụng phương pháp sai phân để giải
Bài toán truyền nhiệt
Truyền nhiệt dừng 1 chiều ( tức là biểu thức =0)
Lu = (k(x)u’)’-q(x)u(x)=-f(x)
Bài toán biên loại 1:
u(a)=A, u(b)=B với a,b là 2 biên
Như đã nói ở trên ta đưa về hệ phương trình tuyến tính:
aiyi-1-(ai+1+ai+h2qi)yi+ai+1yi+1= -h2fi
( Để có được hệ thức này như đã nói ở trên ta thay các đạo hàm bằng sai phân tương ứng và rút gọn). Ở đây các chỉ số i chạy nên ta thu được hệ phương trình với mỗi phương trình với 3 ẩn yi-1, yi, yi+1 với i thay lần lượt từ 1 đến N-1
-C1y1+B1y2=-(h2f1+ A1y0)=-d1
A2y1-C2y2+B2y3=-h2f2=-d2
……………………….
Ai-1yi-1-Ciyi+Biyi+1=-h2fi=-di-1
AN-1yN-2-CN-1yN-1=-(h2fN-1+BN-1yN) =-dN-1
Với :
Ai=ai=k(xi-h/2)
Bi=k(xi+h/2)
Ci= Ai+ Bi+ h2qi
Cần chú ý các công thức tính A,B,C để tính cho nhanh J
Đưa về dạng ma trận :
AY=-d như trong vở ( ở đây dài quá nên đưa công thức nghiệm luôn để thay như sau : )
Ai=ai=k(xi-h/2)
Bi=k(xi+h/2)
Ci= Ai+ Bi+ h2qi
α1=0 β1=A( Điều kiện đầu)
α2= β2=
αi+1= βi+1=
y0,yN đã cho từ điều kiện biên
yN-1=
yi= αi+1yi+1+ βi+1
Chú ý quan trọng :
di=h2fi phải chú ý dấu của fi cho trong đề bài ( bài giữa kì cả lớp sai vì lỗi này nên cần chú ý đặc biệt)
Để đỡ nhầm lẫn nên thay ngay các giá trị trung gian có thể tính từ ban đầu luôn như Ai, Bi,Ci, di=h2fi rồi mới đi giải hệ bằng công thức trên
Với lưới sai phân nhỏ ( từ khoảng 4 đến 5 điểm cần tính) có thể dung phương pháp khử Gauss-Jordan như vậy sẽ tiết kiệm khối lượng tính ít nhất 2.5 lần .
Ví dụ :
Lấy lại ví dụ trong vở thầy choùng công thức trên ta tính được
xi
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Ai
1.05
1.15
1.25
1.35
1.45
1.55
1.65
1.75
1.85
Bi
1.15
1.25
1.35
1.45
1.55
1.65
1.75
1.85
1.95
h2qi
1.10-3
2.10-3
3.10-3
4.10-3
5.10-3
6.10-3
7.10-3
8.10-3
9.10-3
Ci
2.201
2.402
2.603
2.804
3.005
3.206
3.407
3.608
3.809
di
1.004
-0.0523
-0.0587
-0.0651
-0.0717
-0.0782
-0.0848
-0.0913
7.153
αi
0
0.522
0.694
0.778
0.827
0.858
0.879
0.894
0.905
βi
1
0.456
0.262
0.155
0.082
0.026
-0.02
-0.06
-0.096
y9===3.268
y9=3.268
y8= = 2.862
y7= 2.5034
y6= 2.1820
y5= 1.8988
y4= 1.6520
y3= 1.4401
y2= 1.2617
y1= 1.1154
Truyền nhiệt trong không gian 1 chiều không dừng
Với điều kiện ban đầu : u(x,0)=g(x)
Và điều kiện biên :u(a,t)=α(t)
:u(b,t)=β(t)
Thay các đạo hàm bằng sai phân tương ứng ta xây dựng được 3 phương pháp giải tương ứng là : sai phân hiện, sai phân ẩn và 6 điểm đối xứng Crank-Nicolson:
Phương pháp sai phân hiện.
Thay
Chú ý rằng đạo hàm theo x thì chỉ số j ( tức là của t giữ nguyên )
Và đạo hàm theo t thì chỉ số i ( tức là của x giữ nguyên) Cho dễ nhớ
Bài toán đưa về:
=+
Hay :
=[]+
Chú ý:
Ở đây do đã biết lớp thứ j-1 ( lớp 0 đầu tiên suy ra từ điều kiện ban đầu u(x,0)=g(x), ngoại trừ u(a,0) và u(b,0 ) xác định theo điều kiện đầu) nên ta có thể tính được lớp thứ j từ lớp j-1 mà không cần giải hệ .
Nếu bài toán có nhân them hằng số hay 1 hàm số k(x,t) thì tương tự ta thay các hằng, hay hàm số theo sai phân tương ứng là được.
Ví dụ:
Lấy lại ví dụ trong như trong vở
f(x,t)=2; u(0,t)=et; u(1,t)=e1+t+1; u(x,0)= ex+x2
Chọn =0.005, h=0.01
=et (Điều kiện biên)
=e1+t+1(Điều kiện biên)
vi0=ex+x2 (Điều kiện đầu)
Sử dụng lược đồ sai phân ta có công thức tổng quát
=[]+
Với
=0.5( Ở đây có thể làm tổng quát cho bất kì đặt =r rồi thế vào các biểu thức ta có đáp số, tuy nhiên ở đây chọn luôn cho đơn giản và tiết kiệm công gõ J ).
=et
=e1+t+1
vi0=ex+x2
Lớp thứ nhất j=1,t=0.005
=0.5[-2+]++0.005.
=0.5[e0.005 -2(ex+x2)+ ex+x2]+ ex+x2+0.005*2=
=0.5[e0.005-2(e0.1+0.12)+ e0.2+0.22] + e0.1+0.12+0.005*2
=0.5(1-2*1.1152+1.261)+1.1152+0.01=1.141
=0.5[-2+]++0.005
=0.5[(ex+x2)-2(ex+x2)+ (ex+x2)]+ (ex+x2)+0.005*2
=0.5[(e0.1+0.12)-2(e0.2+0.22)+ (e0.3+0.32)]+ (e0.2+0.22)+0.005*2
=0.5*0+1.271= 1.2875
……………………….
=0.5[-2+]++0.005*2
=0.5[(ex+x2)-2(ex+x2)+ e1+t+1]+ ex+x2+0.01
=0.5[(e0.8+0.82)-2(e0.9+0.92)+ e1+0.005+1]+ e0.9+0.92+0.01
=3.309
Các bước 2,3,4… tương tự nhau chỉ có bước 1, và 9 là cần chú ý vì điều kiện biên. Ở đây kết quả xấp xỉ “ không được tốt lắm với nghiệm đúng do ta chọn tỉ số tương đối lớn, và các bước làm tròn nhiều.
Ta có bảng sau:
v11
v21
v31
v41
v51
v61
v71
v81
v91
Lớp thứ 2 j=2,t=0.01
=0.5[-2+]++0.005*2
=0.5[e0.01-2*1.141+1.2875]+ 1.141+0.01
=0.5*0.0155+1.141+0.01
=1.159
Các nút khác tính tương tự
Ta có bảng sau
v12
v22
v32
v42
v52
v62
v72
v82
v92
Lớp thứ 3 j=3,t=0.015
Tính tương tự như 2 phần trên chỉ thay t=0.015 là được
Ta có bảng sau
v13
v23
v33
v43
v53
v63
v73
v83
v93
Phương pháp sai phân ẩn
Tương tự như phương pháp sai phân hiện phương pháp sai phân ẩn cũng sử dụng việc thay các đạo hàm bằng các sai phân tương ứng nhưng thay vì sử dụng các sai phân ở lớp dưới (j) ta sử dụng luôn sai phân ở lớp trên (j+1) để từ 1 phương trình ta thu được 3 giá trị xấp xỉ ngay lập tức.
Tuy nhiên để từ lớp j+1 xấp xỉ được chính nó ta cần đưa đến việc giải hệ phương trình với mỗi phương trình trong hệ gồm 3 ẩn ở lớp j+1 và các hằng số biết trước do...