Sách chưa phân loại, sách kiến thức Ebook download miễn phí
Nội quy chuyên mục: - Hiện nay có khá nhiều trang chia sẻ Tài liệu nhưng mất phí, đó là lý do ket-noi mở ra chuyên mục Tài liệu miễn phí.

- Ai có tài liệu gì hay, hãy đăng lên đây để chia sẻ với mọi người nhé! Bạn chia sẻ hôm nay, ngày mai mọi người sẽ chia sẻ với bạn!
Cách chia sẻ, Upload tài liệu trên ket-noi

- Những bạn nào tích cực chia sẻ tài liệu, sẽ được ưu tiên cung cấp tài liệu khi có yêu cầu.
Nhận download tài liệu miễn phí
By Savino
#644457

Download 19 phương pháp chứng minh bất đẳng thức miễn phí





Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n > n0 ta thực hiện các bước sau :
1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n > n0
2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp )
3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp)
4 – kết luận BĐT đúng với mọi n > n0.
 



++ Để DOWNLOAD tài liệu, xin trả lời bài viết này, mình sẽ upload tài liệu cho bạn ngay!

Tóm tắt nội dung:

A > B > 0 A > B
+ A > B A > B với n lẻ
+ > A > B với n chẵn
+ m > n > 0 và A > 1 A >A
+ m > n > 0 và 0 <A < 1 A < A
+A 0
3/Một số hằng bất đẳng thức
+ A 0 với A ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ An 0 vớiA ( dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ với (dấu = xảy ra khi A = 0 )
+ - < A =
+ ( dấu = xảy ra khi A.B > 0)
+ ( dấu = xảy ra khi A.B < 0)
PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa
Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0
Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với" M
Ví dụ 1 " x, y, z chứng minh rằng :
a) x + y + z xy+ yz + zx
b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz
c) x + y + z+3 2 (x + y + z)
Giải:a) Ta xét hiệu : x + y + z- xy – yz – zx =.2 .( x + y + z- xy – yz – zx)
=đúng với mọi x;y;z
Vì (x-y)2 0 với"x ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y
(x-z)2 0 với"x ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z
(y-z)2 0 với" z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y
Vậy x + y + z xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z
b)Ta xét hiệu: x + y + z- ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z- 2xy +2xz –2yz
= ( x – y + z) đúng với mọi x;y;z
Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z
Dấu bằng xảy ra khi x+y=z
c) Ta xét hiệu: x + y + z+3 – 2( x+ y +z ) = x- 2x + 1 + y -2y +1 + z-2z +1
= (x-1)+ (y-1) +(z-1) 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1
Ví dụ 2: chứng minh rằng :
a) ; b) c) Hãy tổng quát bài toán
Giải: a) Ta xét hiệu
= = =
Vậy . Dấu bằng xảy ra khi a=b
b)Ta xét hiệu
=.Vậy
Dấu bằng xảy ra khi a = b =c
c)Tổng quát
Tóm lại các bước để chứng minh AB theo định nghĩa
Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B
Bước 2:Biến đổi H=(C+D)hay H=(C+D)+….+(E+F)
Bước 3:Kết luận A ³ B
Ví dụ 1: Chứng minh "m,n,p,q ta đều có : m+ n+ p+ q+1³ m(n+p+q+1)
Giải:
(luôn đúng)
Dấu bằng xảy ra khi
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có :
Giải: Ta có : ,
Đúng với mọi a, b, c.
Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương
Kiến thức:
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hay bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.
Nếu A < B C < D , với C < D là một bất đẳng thức hiển nhiên, hay đã biết là đúng thì có bất đẳng thức A < B .
Chú ý các hằng đẳng thức sau:
Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng
a)
b)
c)
Giải: a)
(BĐT này luôn đúng). Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b)
b)
Bất đẳng thức cuối đúng.
Vậy . Dấu bằng xảy ra khi a=b=1
c)
Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
Giải:
a2b2(a2-b2)(a6-b6) 0
a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4) 0
Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 3: cho x.y =1 và xy Chứng minh
Giải: vì :xy nên x- y 0 x2+y2 ( x-y)
x2+y2- x+y 0 x2+y2+2- x+y -2 0
x2+y2+()2- x+y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2
(x-y-)2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
a/ P(x,y)=
b/ (gợi ý :bình phương 2 vế)
c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1
Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1
=(xyz-1)+(x+y+z)-xyz()=x+y+z - ( (vì< x+y+z theo gt)
2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hay cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương.
Nếu trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1 x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1
Ví dụ 5: Chứng minh rằng :
Giải:Ta có :
Tương tự ta có :,
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được :
(*)
Ta có :
Tương tự : ,
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được :
(**)
Từ (*) và (**) , ta được : (đpcm)
Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ
Kiến thức:
a)
b) dấu( = ) khi x = y = 0
c)
d)
Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng
(a+b)(b+c)(c+a)8abc
Giải: Dùng bất đẳng thức phụ:
Tacó ; ;
(a+b)(b+c)(c+a)8abc
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cauchy
Kiến thức:
a/ Với hai số không âm : , ta có: . Dấu “=” xảy ra khi a=b
b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm :
Dấu “=” xảy ra khi
Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số không âm.
Ví dụ 1 : Giải phương trình :
Giải : Nếu đặt t =2x thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt
Khi đó phương trình có dạng :
Vế trái của phương trình:
Vậy phương trình tương đương với :
.
Ví dụ 2 : Cho x, y , z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của P =
Giải : P = 3- () = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu a, b, c > 0 thì
Suy ra Q = -Q nên P = 3 – Q 3-=
Vậy max P = .khi x = y = z = .
Ví dụ 3: Cho a, b, c >0 . Chứng minh rằng:
Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
Tương tự :
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c.
Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC : (*)
Giải : Theo bất đẳng thức Côsi :
Cũng theo bất đẳng thức Côsi :
Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được
Từ (1),(3) suy ra (*). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều .
Ví dụ 5:
Cho . Chứng minh rằng:
Giải: Đặt có 2 nghiệm a,c
Mà:
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
Phương pháp 5 Bất đẳng thức Bunhiacopski
Kiến thức:
Cho 2n số thực (): . Ta luôn có:
Dấu “=” xảy ra khi
Hay (Quy ước : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 )
Chứng minh:
Đặt
Nếu a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng.
Nếu a,b > 0:
Đặt: , Thế thì:
Mặt khác:
Suy ra:
Lại có:
Suy ra:
Dấu”=” xảy ra
Ví dụ 1 :
Chứng minh rằng: , ta có:
Giải: Ta có:
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa:
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Tìm GTLN của:
Giải:
* Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng
Cho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm:
Thế thì:
Dấu”=” xảy ra bô số (a,b,….,c) sao cho: với mỗi i = 1,2,…,m thì sao cho: , Hay
Ví dụ 1: Cho
Chứng minh rằng:
Giải:
ta có:
Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski:
(đpcm)
Ví dụ 2: Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó ac+bd

Ví dụ 3: Chứng minh rằng :
Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski
Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có
3
Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
Phương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sép
Kiến thức:
a)Nếu thì .
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
b)Nếu thì
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1: Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = 1 và
S là diện tích tan giác. chứng minh rằng ABC là tam giác đều.
Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư Suy ra:
Áp dụng BĐT trebusep ta được:
Dấu ‘=’ xảy ra
Mặt khác:
Thay (2) vào (1) ta có
Dấu ‘=’ xảy ra ABC đều.
Ví dụ 2(HS tự giải):
a/ Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR:
b/ Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 CMR:x+2y+z
c/ Cho a>0 , b>0, c>0 CMR:
d)Cho x,y thỏa mãn ;CMR: x+y
Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và . Chứng minh rằng
Giải: Do a,b,c đối xứng ,giả sử abc
Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có
==
Vậy Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=
Ví dụ 4: Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :
Giải: Ta có
Do abcd =1 nên cd = (dùng )
Ta có (1)
Mặt khác: = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad)
=
Vậy
Phương pháp7 Bất đẳng thức Bernouli
Kiến thức:
a)Dạng nguyên thủy: Cho a-1, Z thì . Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi
b) Dạng mở rộng:
- Cho a > -1, thì . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0.
- cho thì . Dấu bằng xảy ra khi va chỉ khi.
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng .
Giải
Nếu hay thì BĐT luôn...
Kết nối đề xuất:
Hanoi private tour
Advertisement
Advertisement