- 04 Tháng 8 2013, 00:59
#644164
CMR: Nếu x,y là những số nguyên thỏa mãn điều kiện x2 + y2 chia hết cho 3 thì cả x và y đều chia hết cho 3.
Giải:
Nhận xét:Số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hay 1.
Vì vậy từ giả thiết x2 + y2 chia hết cho 3
++ Để DOWNLOAD tài liệu, xin trả lời bài viết này, mình sẽ upload tài liệu cho bạn ngay!
Phương trình và hệ phương trình.
I.Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp.
Bài 1:Gpt:
Giải:
Đặt (1).
Ta có: 10.u2 + v2 -11.uv = 0(u-v).(10u-v)=0u=v hay 10u=v.
Xét các trường hợp thay vào (1) ta tìm được x một cách dễ dàng.
Bài 2:Gpt: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15.
Giải:
Đặt x2 - 5x + 5 = u (1).
Ta có: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15
(x-1).(x-3).(x-2).(x-4)-15=0
(x-1).(x-2).(x-3).(x-4)-15=0
(x2-5x+4).(x2-5x+6)-15=0
(u-1).(u+1)-15=0
u2-16=0
u=4.
Thay các giá trị của u vào (1) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 3:Gpt:
Giải:PT..
Đặt u = x2 ( u 0) (1).
Ta có:
( u 1).
.
Từ đây ta dễ dàng tìm được u, thay vào (1) ta tìm được x.
Bài 4:Gpt:.
Giải:
Đặt (1).
Có:
Xét các trường hợp thay vào (1) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 5:Gpt: (1).
Giải:
Từ (1) suy ra:
(x0)..
Đặt (*) ta có:
y2 - 8y + 16 = 0 suy ra y = 4 thay vào (*) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 6:Gpt:
Giải: Điều kiện x > 4 hay x < -1.
*Nếu x > 4, (1) trở thành:
Đặt (2) ta có:
y2 + 3y -18 = 0.
Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (2) ta tìm được x.
*Nếu x < -1, (1) trở thành:
Đặt (3) ta có:
y2 - 3y -18 = 0.
Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (3) ta tìm được x.
Bài 7:Gpt:(2x2 - 3x +1).(2x2 + 5x + 1)=9x2 (1).
Giải:
(1) (x0).Chia cả hai vế cho x2 ta được :
4x2 + 4x -20 + = 0.. Đặt y = .(2)
Ta có: y2 + 2y -24 = 0.
Từ đó ta tìm được y,thay vào (2) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 8:Gpt:
Giải:PT
x -¥ 0 4 8 +¥
x-8 - - - 0 +
x-4 - - 0 + +
x - 0 + + +
Đến đây ta xét từng khoảng ,bài toán trở nên đơn giản.
Bài 9:Gpt: (1 + x + x2)2 = 5.(1 + x2 + x4).
Giải:
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, vậy x0.
Chia cả hai vế của phương trình trên cho x2 ta được:
2x2 - x + 1 - . Đặt y = (*). Ta có:
2y2 - y - 3 = 0.Từ đó ta dễ dàng tìm được y, thay vào (*) ta tìm được x.
Bài 10: Gpt: (6-x)4 + (8-x)4 = 16.
Giải:
Đặt 7 - x = y (*).
Ta có: (y-1)4 + (y + 1)4 =162y4 +12 y2 +2 = 162.(y-1).(y+1).(y2+7)=0y =1 hay y = -1.
Thay các giá trị của y tìm được ở trên thay vào (*) ta dễ dàng tìm được các giá trị của x.
II.Tìm các nghiệm nguyên (x;y) hay (x;y;z) của các phương trình sau:
Bài 1: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3)
Giải:
Đặt y2 + 3y = t.
Ta có: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3) = (y2 + 3y).(y2 + 3y +2) = t2 + 2t.
*Nếu t > 0 thì t2 < x2 = t2 + 2t < (t+1)2 suy ra không tồn tại x thỏa mãn.
*Nếu t t2 + 4t + 4 suy ra t2 + 2t > t2 + 4t + 4 = (t+2)2.
Suy ra: x2 = t2 + 2t > (t + 2)2 (*).
Lại có: t2 +2t < t2 suy ra x2 < t2 (**).
Từ (*)&(**) suy ra (t + 2)2 < x2 < t2 suy ra x2 = (t+1)2 suy ra t2 +2t = (t +1)2 (=x2)
Suy ra : t2 +2t = t2 +2t +1 (Vô lý).
*Nếu t = -1 suy ra x2 = t2 +2t = -1 <0 (Vô lý).
*Nếu t = 0 suy ra x = 0y = 0 hay -1 hay -2 hay -3 .
Bài 2:
Giải:
Từ (2) ta có: 2x2 - xy+x-2z =1 kết hợp với (1) ta có:
2x2 - xy+x-2.(2 - x + y)=12x2 -xy +3x-2y-5=0
Từ đó ta tìm được x tìm được y tìm được z.
Bài 3:
Giải: Thay (1) vào (2) ta được:
(y + z -3)2 -y2 -z2 =1yz - 3y - 3z = -4(y-3).(z-3) = 5 = 1.5 = (-1).(-5) = 5.1=(-5).(-1.
Từ đó ta tìm được y và z tìm được x.
Bài 4: 2xy + x + y = 83.
Giải:PT
Từ đó ta tìm được y tìm được x.
Bài 5:
Giải:Điều kiện : x,y,z 0.
Nhận xét:Trong ba số x,y,z luôn tồn tại hai số cùng dấu (Theo nguyên tắc Đirichlê có 3 số -3 thỏ mà chỉ có hai chuồng-mọi số nguyên khác 0 chỉ mang dấu âm hay dấu dương)
Ta có thể giả sử x,y cùng dấu với nhau.Suy ra x.y => 0 và
Đặt A=
Giả sử z <0 khi đó 3 = A = (Vô lý).
Vậy z >0.Ta có:
A =
Bài 6: 2x2 - 2xy = 5x + y - 19.
Giải:Từ bài ra ta có:
Từ đó ta tìm được x tìm được y.
III.Giải hệ phương trình và các phương trình khác.
Bài 1:
Giải:Điều kiện :.
-Nếu x < 0 thì
Vậy ta xét x > 0:
Đặt x = a và (a,b > 0).
Ta có:
Có: (1).
Lại có: 2 = a2 + b2 2ab suy ra 1ab (2).
Từ (1)&(2) suy ra ab = 1 mà a2 + b2 =2 nên suy ra (a+b)2 = 4 suy ra a + b = 2.
Vậy ta có:.
Bài 2:
Giải:
Điều kiện:
Từ (4) suy ra x2 4 kết hợp với (1) suy ra x2 = 4 kết hợp với (2) suy ra x = 2.
Phương trình đã cho trở thành:
.
Lúc này việc tìm y không còn khó khăn gì nữa (Lập bảng xét dấu).
Bài 3: 2x4 -21x3 + 74x2 -105x +50 =0.
Giải:
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy x0.Chia cả hai vế của phương trình đã cho cho x2 ta được:
Đặt ta có:
2y2 -21.y - 26 = 0.Từ đó ta tìm được ytìm ra x.
Bài 4:
Giải:
Đặt :
Hệ đã cho trở thành:
Từ đó tìm được a =3,b =1.
Đến đây việc tìm ra x không còn khó khăn nữa.
Bài 5:
Giải:
Thay biểu thức (2) vào phương trình (1) ta có:
.
Từ đó ta tìm được x.Việc tìm giá trị của y cũng không có gì khó khan nữa.
Bài 6:
Giải:
Phương trình (2) phân tích được như sau:
(x - y).(x -3 + 2y) = 0
Xét các trường hợp thay vào phương trình (1) ta dễ dàng tìm được x và y.
Bài 7: x3 + (3-m).x2 + (m-9).x + m2 -6m + 5 = 0.
Giải:
Phương trình đã cho phân tích được như sau:
.
Đến đây việc giải và biện luận phương trình không còn khó khăn gì nữa.
Bài 8:
Giải:
Bổ đề:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. (Dễ dàng chứng minh được bổ đề trên).
Sử dụng bổ đề ta có:
xyz = x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz.(x + y + z) = xyz.
Suy ra các dấu bất đẳng thức ở trên đều phải trở thành đẳng thức tức là ta phải có:
x = y =z kết hợp với giả thiết ban đầu :x + y + z =1 ta được:
.
Bài 9:
Giải:
Điều kiện: x,y
Nhìn nhận phương trình (2) ta thấy:
-Nếu x > y thì:
VT > 0, VP VP.
-Nếu y > x thì:
VT 0 suy ra: VT < VP.
-Nếu x = y khi đó: VT =VP =0.
Kết hợp với (1) (Chú ý:x,y) ta được: .
Bài 10: (1).
Giải:
(1)
Ta có:
Vậy dấu bất đẳng thức ở trên phải trở thành dấu đẳng thức tức là:
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:.
CHUYÊN ĐỀ 2: Bất đẳng thức.
Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất.
Bài 1:Cho a,b,c là độ dài của ba cạnh tam giác.
CMR: ab + bc + caa2 +b2 +c2 < 2.(ab + bc + ca).
Giải:
Ta có:
a2 +b2 +c2 - ab + bc + ca
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Vậy: ab + bc + caa2 +b2 +c2.
Lại có:
a < b + c a2 < a.(b + c) (1)
Tương tự: b2 < b.(a + c) (2) ,c2 < c.(b + a) (3).
Cộng (1),(2),(3) theo vế ta được:
a2 +b2 +c2 < a.(b + c) + b.(a + c) + c.(b + a) = 2.(ab + bc + ca).
Bài 2:Giả sử x > z ; y > z ; z > 0.CMR: (1).
Giải:
Đặt: (m,n,z > 0).
Khi đó (1) trở thành:
(2).
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
Vậy (2) đúng, tức là (1) cũng đúng (đpcm).
Bài 3:Cho xy > 0 và x + y = 1.CMR:
Giải:
Từ giả thiết
Ta có:
Lại có:
Suy ra: 8.(x4 + y4) (2).
Từ (1) và (2) suy ra:
Ta có đpcm.
Bài 4:Cho ba số phân biệt a,b,c.CMR:Có ít nhất một trong ba số sau đây là số dương:
x = (a + b + c)2 - 9ab ; y = (a + b + c)2 - 9cb ; z = (a + b + c)2 - 9ac.
Giải:
Ta có:x + y + z = 3. (a + b + c)2 - 9.(ab + bc + ca) = 3.(a2 + b2 +c2- ab - bc - ca) =
= (Do abca).
Vậy trong ba số x,y,z luôn có ít nhất một số dương.
Bài 5: Nếu thì .
Giải: Hoàn toàn tương tự bài 3.
Bài 6:CMR:.
Giải:
Ta có:
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.Vậy ta có đpcm.
Bài 7:CMR: Nếu a,b,c là các số đôi một khác nhau và a + b + c < 0 thì :
P = a3 + b3 + c3 - 3abc < 0.
Giải:
Có:P = a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c).(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) < 0.
Bài 8:CMR: với
Giải:
Dễ dàng biến đổi tương đương chứng minh được:
Áp dụng ta có:
Ta có đpcm.
Bài 9:CMR: Nếu: p,q > 0 thì: .
Giải:
Có:
Ta có đpcm.
Bài 10:CMR: với mọi số nguyên dương k >1.Từ đó suy ra:
với n >1.
Giải:
Ta có: .
Áp dụng cho k = 2,3,...,n ta được:
Bài 11:Cho hai số x,y thỏa mãn: x > y và xy = 1.CMR:
Giải:
Ta có:
Ta có đpcm.
Bài 12:Cho tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn: CMR:
Giải:
Từ giả thi...
Download Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS miễn phí
CMR: Nếu x,y là những số nguyên thỏa mãn điều kiện x2 + y2 chia hết cho 3 thì cả x và y đều chia hết cho 3.
Giải:
Nhận xét:Số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hay 1.
Vì vậy từ giả thiết x2 + y2 chia hết cho 3
++ Để DOWNLOAD tài liệu, xin trả lời bài viết này, mình sẽ upload tài liệu cho bạn ngay!
Tóm tắt nội dung:
CHUYÊN ĐỀ 1:Phương trình và hệ phương trình.
I.Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp.
Bài 1:Gpt:
Giải:
Đặt (1).
Ta có: 10.u2 + v2 -11.uv = 0(u-v).(10u-v)=0u=v hay 10u=v.
Xét các trường hợp thay vào (1) ta tìm được x một cách dễ dàng.
Bài 2:Gpt: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15.
Giải:
Đặt x2 - 5x + 5 = u (1).
Ta có: (x2 - 4x+3).(x2 - 6x + 8)=15
(x-1).(x-3).(x-2).(x-4)-15=0
(x-1).(x-2).(x-3).(x-4)-15=0
(x2-5x+4).(x2-5x+6)-15=0
(u-1).(u+1)-15=0
u2-16=0
u=4.
Thay các giá trị của u vào (1) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 3:Gpt:
Giải:PT..
Đặt u = x2 ( u 0) (1).
Ta có:
( u 1).
.
Từ đây ta dễ dàng tìm được u, thay vào (1) ta tìm được x.
Bài 4:Gpt:.
Giải:
Đặt (1).
Có:
Xét các trường hợp thay vào (1) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 5:Gpt: (1).
Giải:
Từ (1) suy ra:
(x0)..
Đặt (*) ta có:
y2 - 8y + 16 = 0 suy ra y = 4 thay vào (*) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 6:Gpt:
Giải: Điều kiện x > 4 hay x < -1.
*Nếu x > 4, (1) trở thành:
Đặt (2) ta có:
y2 + 3y -18 = 0.
Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (2) ta tìm được x.
*Nếu x < -1, (1) trở thành:
Đặt (3) ta có:
y2 - 3y -18 = 0.
Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (3) ta tìm được x.
Bài 7:Gpt:(2x2 - 3x +1).(2x2 + 5x + 1)=9x2 (1).
Giải:
(1) (x0).Chia cả hai vế cho x2 ta được :
4x2 + 4x -20 + = 0.. Đặt y = .(2)
Ta có: y2 + 2y -24 = 0.
Từ đó ta tìm được y,thay vào (2) ta dễ dàng tìm được x.
Bài 8:Gpt:
Giải:PT
x -¥ 0 4 8 +¥
x-8 - - - 0 +
x-4 - - 0 + +
x - 0 + + +
Đến đây ta xét từng khoảng ,bài toán trở nên đơn giản.
Bài 9:Gpt: (1 + x + x2)2 = 5.(1 + x2 + x4).
Giải:
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, vậy x0.
Chia cả hai vế của phương trình trên cho x2 ta được:
2x2 - x + 1 - . Đặt y = (*). Ta có:
2y2 - y - 3 = 0.Từ đó ta dễ dàng tìm được y, thay vào (*) ta tìm được x.
Bài 10: Gpt: (6-x)4 + (8-x)4 = 16.
Giải:
Đặt 7 - x = y (*).
Ta có: (y-1)4 + (y + 1)4 =162y4 +12 y2 +2 = 162.(y-1).(y+1).(y2+7)=0y =1 hay y = -1.
Thay các giá trị của y tìm được ở trên thay vào (*) ta dễ dàng tìm được các giá trị của x.
II.Tìm các nghiệm nguyên (x;y) hay (x;y;z) của các phương trình sau:
Bài 1: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3)
Giải:
Đặt y2 + 3y = t.
Ta có: x2 = y.(y+1).(y+2).(y+3) = (y2 + 3y).(y2 + 3y +2) = t2 + 2t.
*Nếu t > 0 thì t2 < x2 = t2 + 2t < (t+1)2 suy ra không tồn tại x thỏa mãn.
*Nếu t t2 + 4t + 4 suy ra t2 + 2t > t2 + 4t + 4 = (t+2)2.
Suy ra: x2 = t2 + 2t > (t + 2)2 (*).
Lại có: t2 +2t < t2 suy ra x2 < t2 (**).
Từ (*)&(**) suy ra (t + 2)2 < x2 < t2 suy ra x2 = (t+1)2 suy ra t2 +2t = (t +1)2 (=x2)
Suy ra : t2 +2t = t2 +2t +1 (Vô lý).
*Nếu t = -1 suy ra x2 = t2 +2t = -1 <0 (Vô lý).
*Nếu t = 0 suy ra x = 0y = 0 hay -1 hay -2 hay -3 .
Bài 2:
Giải:
Từ (2) ta có: 2x2 - xy+x-2z =1 kết hợp với (1) ta có:
2x2 - xy+x-2.(2 - x + y)=12x2 -xy +3x-2y-5=0
Từ đó ta tìm được x tìm được y tìm được z.
Bài 3:
Giải: Thay (1) vào (2) ta được:
(y + z -3)2 -y2 -z2 =1yz - 3y - 3z = -4(y-3).(z-3) = 5 = 1.5 = (-1).(-5) = 5.1=(-5).(-1.
Từ đó ta tìm được y và z tìm được x.
Bài 4: 2xy + x + y = 83.
Giải:PT
Từ đó ta tìm được y tìm được x.
Bài 5:
Giải:Điều kiện : x,y,z 0.
Nhận xét:Trong ba số x,y,z luôn tồn tại hai số cùng dấu (Theo nguyên tắc Đirichlê có 3 số -3 thỏ mà chỉ có hai chuồng-mọi số nguyên khác 0 chỉ mang dấu âm hay dấu dương)
Ta có thể giả sử x,y cùng dấu với nhau.Suy ra x.y => 0 và
Đặt A=
Giả sử z <0 khi đó 3 = A = (Vô lý).
Vậy z >0.Ta có:
A =
Bài 6: 2x2 - 2xy = 5x + y - 19.
Giải:Từ bài ra ta có:
Từ đó ta tìm được x tìm được y.
III.Giải hệ phương trình và các phương trình khác.
Bài 1:
Giải:Điều kiện :.
-Nếu x < 0 thì
Vậy ta xét x > 0:
Đặt x = a và (a,b > 0).
Ta có:
Có: (1).
Lại có: 2 = a2 + b2 2ab suy ra 1ab (2).
Từ (1)&(2) suy ra ab = 1 mà a2 + b2 =2 nên suy ra (a+b)2 = 4 suy ra a + b = 2.
Vậy ta có:.
Bài 2:
Giải:
Điều kiện:
Từ (4) suy ra x2 4 kết hợp với (1) suy ra x2 = 4 kết hợp với (2) suy ra x = 2.
Phương trình đã cho trở thành:
.
Lúc này việc tìm y không còn khó khăn gì nữa (Lập bảng xét dấu).
Bài 3: 2x4 -21x3 + 74x2 -105x +50 =0.
Giải:
Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Vậy x0.Chia cả hai vế của phương trình đã cho cho x2 ta được:
Đặt ta có:
2y2 -21.y - 26 = 0.Từ đó ta tìm được ytìm ra x.
Bài 4:
Giải:
Đặt :
Hệ đã cho trở thành:
Từ đó tìm được a =3,b =1.
Đến đây việc tìm ra x không còn khó khăn nữa.
Bài 5:
Giải:
Thay biểu thức (2) vào phương trình (1) ta có:
.
Từ đó ta tìm được x.Việc tìm giá trị của y cũng không có gì khó khan nữa.
Bài 6:
Giải:
Phương trình (2) phân tích được như sau:
(x - y).(x -3 + 2y) = 0
Xét các trường hợp thay vào phương trình (1) ta dễ dàng tìm được x và y.
Bài 7: x3 + (3-m).x2 + (m-9).x + m2 -6m + 5 = 0.
Giải:
Phương trình đã cho phân tích được như sau:
.
Đến đây việc giải và biện luận phương trình không còn khó khăn gì nữa.
Bài 8:
Giải:
Bổ đề:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. (Dễ dàng chứng minh được bổ đề trên).
Sử dụng bổ đề ta có:
xyz = x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 xyz.(x + y + z) = xyz.
Suy ra các dấu bất đẳng thức ở trên đều phải trở thành đẳng thức tức là ta phải có:
x = y =z kết hợp với giả thiết ban đầu :x + y + z =1 ta được:
.
Bài 9:
Giải:
Điều kiện: x,y
Nhìn nhận phương trình (2) ta thấy:
-Nếu x > y thì:
VT > 0, VP VP.
-Nếu y > x thì:
VT 0 suy ra: VT < VP.
-Nếu x = y khi đó: VT =VP =0.
Kết hợp với (1) (Chú ý:x,y) ta được: .
Bài 10: (1).
Giải:
(1)
Ta có:
Vậy dấu bất đẳng thức ở trên phải trở thành dấu đẳng thức tức là:
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:.
CHUYÊN ĐỀ 2: Bất đẳng thức.
Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất.
Bài 1:Cho a,b,c là độ dài của ba cạnh tam giác.
CMR: ab + bc + caa2 +b2 +c2 < 2.(ab + bc + ca).
Giải:
Ta có:
a2 +b2 +c2 - ab + bc + ca
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Vậy: ab + bc + caa2 +b2 +c2.
Lại có:
a < b + c a2 < a.(b + c) (1)
Tương tự: b2 < b.(a + c) (2) ,c2 < c.(b + a) (3).
Cộng (1),(2),(3) theo vế ta được:
a2 +b2 +c2 < a.(b + c) + b.(a + c) + c.(b + a) = 2.(ab + bc + ca).
Bài 2:Giả sử x > z ; y > z ; z > 0.CMR: (1).
Giải:
Đặt: (m,n,z > 0).
Khi đó (1) trở thành:
(2).
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
Vậy (2) đúng, tức là (1) cũng đúng (đpcm).
Bài 3:Cho xy > 0 và x + y = 1.CMR:
Giải:
Từ giả thiết
Ta có:
Lại có:
Suy ra: 8.(x4 + y4) (2).
Từ (1) và (2) suy ra:
Ta có đpcm.
Bài 4:Cho ba số phân biệt a,b,c.CMR:Có ít nhất một trong ba số sau đây là số dương:
x = (a + b + c)2 - 9ab ; y = (a + b + c)2 - 9cb ; z = (a + b + c)2 - 9ac.
Giải:
Ta có:x + y + z = 3. (a + b + c)2 - 9.(ab + bc + ca) = 3.(a2 + b2 +c2- ab - bc - ca) =
= (Do abca).
Vậy trong ba số x,y,z luôn có ít nhất một số dương.
Bài 5: Nếu thì .
Giải: Hoàn toàn tương tự bài 3.
Bài 6:CMR:.
Giải:
Ta có:
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.Vậy ta có đpcm.
Bài 7:CMR: Nếu a,b,c là các số đôi một khác nhau và a + b + c < 0 thì :
P = a3 + b3 + c3 - 3abc < 0.
Giải:
Có:P = a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c).(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) < 0.
Bài 8:CMR: với
Giải:
Dễ dàng biến đổi tương đương chứng minh được:
Áp dụng ta có:
Ta có đpcm.
Bài 9:CMR: Nếu: p,q > 0 thì: .
Giải:
Có:
Ta có đpcm.
Bài 10:CMR: với mọi số nguyên dương k >1.Từ đó suy ra:
với n >1.
Giải:
Ta có: .
Áp dụng cho k = 2,3,...,n ta được:
Bài 11:Cho hai số x,y thỏa mãn: x > y và xy = 1.CMR:
Giải:
Ta có:
Ta có đpcm.
Bài 12:Cho tam giác ABC có các cạnh thỏa mãn: CMR:
Giải:
Từ giả thi...
Lưu ý khi sử dụng
- Gặp Link download hỏng, hãy đăng trả lời (yêu cầu link download mới), Các MOD sẽ cập nhật link sớm nhất
- Tìm kiếm trước khi đăng bài mới
Chủ đề liên quan:
