nancylove725
New Member
Download Đường tròn - Đường thẳng với đường tròn
Sử dụng tính chất vuông góc của tiếp tuyến với bán kính đi qua tiếp điểm và các hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh hay tính toán
Ví dụ : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại M . Từ A và B vẽ AE, BF lần lượt vuông góc với d (E, F d) .
a) Chứng minh AE + BF không đổi khi M chạy trên nửa đường tròn .
b) Kẻ MD AB, chứng minh rằng MD2 = AE.BF
c) Xác định vị trí của M để AE.BF lớn nhất .
++ Ai muốn tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho!
Vấn đề 4 : Tính toán hình học
Ví dụ : Cho đường tròn tâm O và hai dây AB, AC vuông góc với nhau có độ dài theo thứ tự bằng 6 cm và 8 cm .
Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây .
Tính bán kính của đường tròn (O) .
Giải : a) Vẽ OH ^ AB và OK ^ AC .
Suy ra AH=BH=AB/2=3cm, AK=CK=AC/2=4cm,
Ta có OHAK là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)
Nên OH = AK = 4cm ; OK = AH = 3cm
b) Ta có DABC vuông tại A nên .
Mà DABC vuông tại A nội tiếp trong (O) nên BC là đường kính .
Do đó bán kính của đường tròn là BC/2 = 5cm
Cách khác : Ta có DOBA vuông tại H nên
Vậy bán kính đường tròn (O) là 5cm .
Vấn đề 5 : Vận dụng chứng minh .
Ví dụ : Cho đường tròn (O) và dây CD cắt đường kính AB tại I . Gọi H, K, M lần lượt là hình chiếu của A, B, O lên CD . Chứng minh CH = DK .
Giải : Ta có CM = DM ( OM ^ CD) (1)
Mặt khác OM//KB (cùng vuông góc với CD) và OA = OB
Nên AN = NK ( N là giao điểm của OM với AK) .
Ta lại có AN = NK
và NM // AH (cùng vuông góc với CD)nên MH = MK (2)
Từ (1) và (2) suy ra CH = DK
III - Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Cho đường tròn (O) và điểm M khác O và nằm trong (O)
Qua M dựng dây AM sao cho AB có độ dài lớn nhất (nhỏ nhất) .
Dựng điểm P trên đường tròn (O) để góc OPhần mềm có số đo lớn nhất
Hướng dẫn :
Dây lớn nhất là đường kính, dây nhỏ nhất là dây vuông góc với OM tại M .
Vẽ dây PQ qua M ta được góc OPhần mềm lớn nhất ó góc POM nhỏ nhất ó PQ nhỏ nhất để áp dụng câu a
Bài 2 : Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B nằm ngoài (O) . Dựng đường kính CD của đường tròn sao cho AC = BD .
Hướng dẫn : Đường kính CD xác định khi biết một mút của nó nên vẽ điểm A' đối xứng với A qua O ta sẽ có DA'BC cân tại C => cách xác định điểm C trên (O).
Bài 3 : Cho tam giác nhọn ABC . Các đường cao AD, BE cắt nhau tại H . Chứng minh rằng :
A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn .
DE < CH
Hướng dẫn : a) Chú ý các tam giác ADB và AEB vuông tai E và D.
b) Chứng minh C, D, H, E cùng nằm trên đường tròn đường kính CH .
Bài 4 : Cho đường tròn (O ; R), AB là dây cung không đi qua O . I là một điểm di động trên đoạn thẳng AB . Vẽ dây CD của đường tròn (O), CD vuông góc với AB tại I . Đường thẳng qua O song song với AB cắt CD tại K .
Chứng minh KC = KD .
Xác định vị trí điểm I để diện tích tứ giác ACBD lớn nhất .
Hướng dẫn : a) Chứng minh OK vuông góc với CD .
b)
Bài 5 : Cho đường tròn (O) đường kính AD = 2R . Vẽ dây BC vuông góc với AD tại trung điểm I của OD .
Chứng minh rằng tam giác ABC đều .
Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo R .
Hướng dẫn : a) Chứng minh tam giác ABC cân có một góc bằng 600 b) Tính độ dài BI để suy ra BC.
Bài 6 : Chứng minh rằng trong một đường tròn hai dây đi qua tâm không thể cắt nhau tại trung điểm của mỗi dây .
Hướng dẫn : Sử dụng phản chứng và dựa vào tiên đề EuClid về vuông góc để lập luận
Bài 7 : Từ một điểm A trên đường tròn (O ; R) ta vẽ hai dây AB và AC vuông góc với nhau . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Chứng minh MN có độ dài không đổi khi góc BAC quay quanh A .
Hướng dẫn :Tứ giác MANO là hình chữ nhật => MN= OA = R (không đổi)
Bài 8 : Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I . Giả sử IA = 2cm, IB = 4cm . Hãy tính :
Khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây .
Bán kính đường tròn (O) .
Hướng dẫn: Có IA, IB tính được AB và CD và mỗi nửa dây AB, CD, chứng minh được một hình chữ nhật để tính được các khoảng cách từ O đến mỗi dây, sau đó ứng dụng Pitago để tính bán kính .
Bài 9 : Cho đường tròn (O ; 6cm) và hai dây AB và CD song song với nhau .
Chứng minh AC = BD và AD = BC
Tính khoảng cách từ tâm O đến AC biết khoảng cách từ O đến AM là 2cm, khoảng cách từ O đến CD là 4 cm .
Hướng dẫn : a) Cần chứng minh ABDC là hình thang cân theo hướng hình thang có trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy .
b) Vẽ thêm CH vuông góc với AB và chú ý phải tính trong hai trường hợp AB và CD nằm ở hai phía điểm O, AB và CD nằm ở một phía điểm O
Bài 10 : Cho hình thang vuông ABCD (AB^BC, DC^BC) . Vẽ nửa đường tròn đường kính AD cắt BC tại E và F . Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh rằng :
a) AD > AB + CD b) ÐAID > 900 c) BE = CF
Hướng dẫn :
a) AD = 2OE , OE > OI, OI là đường trung bình hình thang ABCD .
b) OI cắt (O) tại H , có ÐAID =ÐAIO+ÐOID ; ÐAHD = ÐAHO+ÐOHD = 900 ; ÐAIO >ÐAHO, ÐOID>ÐOHD .
Chứng minh BI = CI và EI = IF
LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY
I - Ghi nhớ :
1 - Trong một đường tròn,
hai dây bằng nhau thì cách đều tâm .
hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
2 - Trong hai dây của một đường tròn,
Dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn .
Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn .
II .Một số vấn đề cần thiết :
Vấn đề 6 : So sánh các dây, các đoạn thẳng, các góc ...
Phương pháp chung : Để so sánh các dây, các đoạn thẳng, các góc với nhau ta có thể sử dụng các định lý về mối quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây, các bất đẳng thức trong tam giác, mối quan hệ giữa góc và cạnh trong một tam giác ...
Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O ; 6cm) và hai dây AB và CD không song song nhau có độ dài theo thứ tự là 8cm và 10cm . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD .
Hãy so sánh các góc OMN và ONM .
Hãy so sánh diện tích hai tam giác OCD và OAB
Giải : a) So sánh hai góc OMN và ONM
Ta có AB =8cm < 12cm nên dây AB không qua tâm O
Và CD = 10cm < 12cm nên dây CD không qua tâm O
Vì AM = MB và CN = ND nên OM^AB và ON^CD
Vì AB = 8 cm ON
Do đó ÐONM > ÐOMN .
b) So sánh diện tích của hai tam giác OCD và OAB
Ta có các tam giác OCN và OAM vuông nên
và
Do đó ;
Vì nên
Vấn đề 7 : Chứng minh hai dây bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau
Phương pháp chung : Để chứng minh hai dây bằng nhau hay các đoạn thẳng có liên quan đến các dây bằng nhau ta có thể chứng minh các dây đó cách đều tâm hay tổng các đoạn thẳng tạo nên đoạn thẳng đó bằng nhau .
Ví dụ : Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại điểm I nằm bên trong đường tròn . Chứng minh rằng :
IO là tia phân giác của một trong các góc tạo bởi hai dây AB và CD .
Điểm I chia AB và CD thành các đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một .
Giải : a) Chứng minh IO là phân giác góc DIB
Ta vẽ OK^CD và OH^AB. Vì AB = CD nên OK = OH
Do đó IO là tia phân giác của góc DIB ( O cách đều hai cạnh của góc đó)
b) Chứng minh AI = CI ; DI = BI
Xét DIKO và DIHO có OH = OK, OI chung,
và ÐK=ÐH=900 nên DIKO = DIHO (ch - gn)
Suy ra HI = KI .
Mà AH = HB =(OH^AB) ; CK= KD =(OK^CD)
Và AB = CD nên AH = HB = CK = KD
Do đó AH - HI = CK - KI ; IK + KD = IH + HB
Hay AI = CI ; DI = BI .
III - Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O) .Kẻ hai cát tuyến MAB và MCD (A nằm giữa M và B, C nằm giữa M và D) gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD . Cho biết ME < MF, hãy so sánh MB và MD
Hướng dẫn : Chứng minh được OE > OF nhờ ME2 + OE2 = MF2 + OF2 = MO2
Bài 2 : Cho đường tròn (O) và hai dây AB, CD song song nhau . So sánh khoảng cách từ tâm O đến hai dây AC và BD
Hướng dẫn : Chứng minh ABDC là hình thang cân để có AC = BD
Bài 3 : Cho DABC cân tại A (ÐA>600) nội tiếp trong đường tròn (O) . Gọi OD, OE, OF lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, BC, CA . So sánh :
a) OD và OF b) OD và OE
Hướng dẫn : a) chú ý AB = AC b) Chú ý điều kiệ...
Download Đường tròn - Đường thẳng với đường tròn miễn phí
Sử dụng tính chất vuông góc của tiếp tuyến với bán kính đi qua tiếp điểm và các hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh hay tính toán
Ví dụ : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại M . Từ A và B vẽ AE, BF lần lượt vuông góc với d (E, F d) .
a) Chứng minh AE + BF không đổi khi M chạy trên nửa đường tròn .
b) Kẻ MD AB, chứng minh rằng MD2 = AE.BF
c) Xác định vị trí của M để AE.BF lớn nhất .
++ Ai muốn tải bản DOC Đầy Đủ thì Trả lời bài viết này, mình sẽ gửi Link download cho!
Tóm tắt nội dung:
như cách dựng trên .Vấn đề 4 : Tính toán hình học
Ví dụ : Cho đường tròn tâm O và hai dây AB, AC vuông góc với nhau có độ dài theo thứ tự bằng 6 cm và 8 cm .
Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây .
Tính bán kính của đường tròn (O) .
Giải : a) Vẽ OH ^ AB và OK ^ AC .
Suy ra AH=BH=AB/2=3cm, AK=CK=AC/2=4cm,
Ta có OHAK là hình chữ nhật (có 3 góc vuông)
Nên OH = AK = 4cm ; OK = AH = 3cm
b) Ta có DABC vuông tại A nên .
Mà DABC vuông tại A nội tiếp trong (O) nên BC là đường kính .
Do đó bán kính của đường tròn là BC/2 = 5cm
Cách khác : Ta có DOBA vuông tại H nên
Vậy bán kính đường tròn (O) là 5cm .
Vấn đề 5 : Vận dụng chứng minh .
Ví dụ : Cho đường tròn (O) và dây CD cắt đường kính AB tại I . Gọi H, K, M lần lượt là hình chiếu của A, B, O lên CD . Chứng minh CH = DK .
Giải : Ta có CM = DM ( OM ^ CD) (1)
Mặt khác OM//KB (cùng vuông góc với CD) và OA = OB
Nên AN = NK ( N là giao điểm của OM với AK) .
Ta lại có AN = NK
và NM // AH (cùng vuông góc với CD)nên MH = MK (2)
Từ (1) và (2) suy ra CH = DK
III - Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Cho đường tròn (O) và điểm M khác O và nằm trong (O)
Qua M dựng dây AM sao cho AB có độ dài lớn nhất (nhỏ nhất) .
Dựng điểm P trên đường tròn (O) để góc OPhần mềm có số đo lớn nhất
Hướng dẫn :
Dây lớn nhất là đường kính, dây nhỏ nhất là dây vuông góc với OM tại M .
Vẽ dây PQ qua M ta được góc OPhần mềm lớn nhất ó góc POM nhỏ nhất ó PQ nhỏ nhất để áp dụng câu a
Bài 2 : Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B nằm ngoài (O) . Dựng đường kính CD của đường tròn sao cho AC = BD .
Hướng dẫn : Đường kính CD xác định khi biết một mút của nó nên vẽ điểm A' đối xứng với A qua O ta sẽ có DA'BC cân tại C => cách xác định điểm C trên (O).
Bài 3 : Cho tam giác nhọn ABC . Các đường cao AD, BE cắt nhau tại H . Chứng minh rằng :
A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn .
DE < CH
Hướng dẫn : a) Chú ý các tam giác ADB và AEB vuông tai E và D.
b) Chứng minh C, D, H, E cùng nằm trên đường tròn đường kính CH .
Bài 4 : Cho đường tròn (O ; R), AB là dây cung không đi qua O . I là một điểm di động trên đoạn thẳng AB . Vẽ dây CD của đường tròn (O), CD vuông góc với AB tại I . Đường thẳng qua O song song với AB cắt CD tại K .
Chứng minh KC = KD .
Xác định vị trí điểm I để diện tích tứ giác ACBD lớn nhất .
Hướng dẫn : a) Chứng minh OK vuông góc với CD .
b)
Bài 5 : Cho đường tròn (O) đường kính AD = 2R . Vẽ dây BC vuông góc với AD tại trung điểm I của OD .
Chứng minh rằng tam giác ABC đều .
Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo R .
Hướng dẫn : a) Chứng minh tam giác ABC cân có một góc bằng 600 b) Tính độ dài BI để suy ra BC.
Bài 6 : Chứng minh rằng trong một đường tròn hai dây đi qua tâm không thể cắt nhau tại trung điểm của mỗi dây .
Hướng dẫn : Sử dụng phản chứng và dựa vào tiên đề EuClid về vuông góc để lập luận
Bài 7 : Từ một điểm A trên đường tròn (O ; R) ta vẽ hai dây AB và AC vuông góc với nhau . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Chứng minh MN có độ dài không đổi khi góc BAC quay quanh A .
Hướng dẫn :Tứ giác MANO là hình chữ nhật => MN= OA = R (không đổi)
Bài 8 : Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I . Giả sử IA = 2cm, IB = 4cm . Hãy tính :
Khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây .
Bán kính đường tròn (O) .
Hướng dẫn: Có IA, IB tính được AB và CD và mỗi nửa dây AB, CD, chứng minh được một hình chữ nhật để tính được các khoảng cách từ O đến mỗi dây, sau đó ứng dụng Pitago để tính bán kính .
Bài 9 : Cho đường tròn (O ; 6cm) và hai dây AB và CD song song với nhau .
Chứng minh AC = BD và AD = BC
Tính khoảng cách từ tâm O đến AC biết khoảng cách từ O đến AM là 2cm, khoảng cách từ O đến CD là 4 cm .
Hướng dẫn : a) Cần chứng minh ABDC là hình thang cân theo hướng hình thang có trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy .
b) Vẽ thêm CH vuông góc với AB và chú ý phải tính trong hai trường hợp AB và CD nằm ở hai phía điểm O, AB và CD nằm ở một phía điểm O
Bài 10 : Cho hình thang vuông ABCD (AB^BC, DC^BC) . Vẽ nửa đường tròn đường kính AD cắt BC tại E và F . Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh rằng :
a) AD > AB + CD b) ÐAID > 900 c) BE = CF
Hướng dẫn :
a) AD = 2OE , OE > OI, OI là đường trung bình hình thang ABCD .
b) OI cắt (O) tại H , có ÐAID =ÐAIO+ÐOID ; ÐAHD = ÐAHO+ÐOHD = 900 ; ÐAIO >ÐAHO, ÐOID>ÐOHD .
Chứng minh BI = CI và EI = IF
LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY
I - Ghi nhớ :
1 - Trong một đường tròn,
hai dây bằng nhau thì cách đều tâm .
hai dây cách đều tâm thì bằng nhau
2 - Trong hai dây của một đường tròn,
Dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn .
Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn .
II .Một số vấn đề cần thiết :
Vấn đề 6 : So sánh các dây, các đoạn thẳng, các góc ...
Phương pháp chung : Để so sánh các dây, các đoạn thẳng, các góc với nhau ta có thể sử dụng các định lý về mối quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây, các bất đẳng thức trong tam giác, mối quan hệ giữa góc và cạnh trong một tam giác ...
Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O ; 6cm) và hai dây AB và CD không song song nhau có độ dài theo thứ tự là 8cm và 10cm . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD .
Hãy so sánh các góc OMN và ONM .
Hãy so sánh diện tích hai tam giác OCD và OAB
Giải : a) So sánh hai góc OMN và ONM
Ta có AB =8cm < 12cm nên dây AB không qua tâm O
Và CD = 10cm < 12cm nên dây CD không qua tâm O
Vì AM = MB và CN = ND nên OM^AB và ON^CD
Vì AB = 8 cm ON
Do đó ÐONM > ÐOMN .
b) So sánh diện tích của hai tam giác OCD và OAB
Ta có các tam giác OCN và OAM vuông nên
và
Do đó ;
Vì nên
Vấn đề 7 : Chứng minh hai dây bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau
Phương pháp chung : Để chứng minh hai dây bằng nhau hay các đoạn thẳng có liên quan đến các dây bằng nhau ta có thể chứng minh các dây đó cách đều tâm hay tổng các đoạn thẳng tạo nên đoạn thẳng đó bằng nhau .
Ví dụ : Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại điểm I nằm bên trong đường tròn . Chứng minh rằng :
IO là tia phân giác của một trong các góc tạo bởi hai dây AB và CD .
Điểm I chia AB và CD thành các đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một .
Giải : a) Chứng minh IO là phân giác góc DIB
Ta vẽ OK^CD và OH^AB. Vì AB = CD nên OK = OH
Do đó IO là tia phân giác của góc DIB ( O cách đều hai cạnh của góc đó)
b) Chứng minh AI = CI ; DI = BI
Xét DIKO và DIHO có OH = OK, OI chung,
và ÐK=ÐH=900 nên DIKO = DIHO (ch - gn)
Suy ra HI = KI .
Mà AH = HB =(OH^AB) ; CK= KD =(OK^CD)
Và AB = CD nên AH = HB = CK = KD
Do đó AH - HI = CK - KI ; IK + KD = IH + HB
Hay AI = CI ; DI = BI .
III - Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O) .Kẻ hai cát tuyến MAB và MCD (A nằm giữa M và B, C nằm giữa M và D) gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD . Cho biết ME < MF, hãy so sánh MB và MD
Hướng dẫn : Chứng minh được OE > OF nhờ ME2 + OE2 = MF2 + OF2 = MO2
Bài 2 : Cho đường tròn (O) và hai dây AB, CD song song nhau . So sánh khoảng cách từ tâm O đến hai dây AC và BD
Hướng dẫn : Chứng minh ABDC là hình thang cân để có AC = BD
Bài 3 : Cho DABC cân tại A (ÐA>600) nội tiếp trong đường tròn (O) . Gọi OD, OE, OF lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, BC, CA . So sánh :
a) OD và OF b) OD và OE
Hướng dẫn : a) chú ý AB = AC b) Chú ý điều kiệ...