Sách chưa phân loại, sách kiến thức Ebook download miễn phí
Nội quy chuyên mục: - Hiện nay có khá nhiều trang chia sẻ Tài liệu nhưng mất phí, đó là lý do ket-noi mở ra chuyên mục Tài liệu miễn phí.

- Ai có tài liệu gì hay, hãy đăng lên đây để chia sẻ với mọi người nhé! Bạn chia sẻ hôm nay, ngày mai mọi người sẽ chia sẻ với bạn!
Cách chia sẻ, Upload tài liệu trên ket-noi

- Những bạn nào tích cực chia sẻ tài liệu, sẽ được ưu tiên cung cấp tài liệu khi có yêu cầu.
Nhận download tài liệu miễn phí
By miencattrang3388
#642470

Download Chuyên đề Bất đẳng thức Jensen miễn phí





- Cộng hai bất đẳng thức ta được bất đẳng thức cần chứng minh
c) Sử dụng (b) để chứng minh (c) bằng quy nạp theo m.
+ m=1 bất đẳng thức đúng
+ m=2 bất đẳng thức đúng theo (b)
- Giả sử bất đẳng thức đúng đến m. Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với m+1.
- Thậy vậy, ta có:
 



++ Để DOWNLOAD tài liệu, xin trả lời bài viết này, mình sẽ upload tài liệu cho bạn ngay!

Tóm tắt nội dung:

Phần II:Bất đẳng thức Jensen
2.1. Nội dung bất đẳng thức:
Định lí 1 (Jensen):
Nếu y = f(x) là hàm lồi trong khoảng (a,b) thì với mọi
x1,…xn (a,b) và mọi số thực ta có bất đẳng thức:
Chứng minh:
+) Ta chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp quy nạp theo n.
- Với n=2 bất đẳng thức đúng theo định nghĩa.
- Giả sử bất đẳng thức đúng với n ≥ 2. Ta chứng minh bất đẳng thức đúng cho n+1.
- Xét x1,…,xn, xn+1 Î (a,b) và các số thực
- Từ giả thiết quy nạp ta có bất đẳng thức:
- Vì f(x) là hàm lồi nên:
Vậy (đpcm)
Kết quả 1: Với n=2, f(x) là hàm lồi trong khoảng (a,b), "x,y Î(a,b)
ta có:
Kết quả 2: Giả sử f(x) là hàm lồi trong khoảng (0: +¥). Khi đó:
Chứng minh:
Vì f(x) là hàm lồi trong khoảng (0.¥) khi đó áp dụng bất đẳng thức
Jensen ta có:
(đpcm)
2.2. Các hệ quả
Hệ quả 1:
Với mọi x1,…., xn, y1,…yn,
Ta có các bất đẳng thức sau:
a)
b)
c) cho mọi xij ≥ 0 và
d) (Cauchy)
Chứng minh:
a) Khảo sát hàm số f(x) = -lnx, x > 0
- Vì nên f(x) là hàm lồi
- Sử dụng bất đẳng thức Jensen ta được:
(đpcm)
b) Bất đẳng thức:
- Theo (a) ta có:
- Cộng hai bất đẳng thức ta được bất đẳng thức cần chứng minh
c) Sử dụng (b) để chứng minh (c) bằng quy nạp theo m.
+ m=1 bất đẳng thức đúng
+ m=2 bất đẳng thức đúng theo (b)
- Giả sử bất đẳng thức đúng đến m. Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với m+1.
- Thậy vậy, ta có:
= (đpcm)
d) Được suy ra từ câu (a) qua việc chọn
Hệ quả 2: Nếu xi, yi ≥ 0 và , thì
Chứng minh:
- Qua việc thay thế qua xi và qua yi, theo bài tập trên ta có:
- Cộng tất cả các bất đẳng thức này ta được:
Hệ quả 3: (Cauchy - Holder):
Nếu a, b > 0, a+b = 1 và các ai, bi ≥ 0, i=1,…,n thì:
Chứng minh:
- Nếu thay các và
- Từ hệ quả trên ta có:
(đpcm)
- Nếu a = b = thì ta có bất đẳng thức Bunhiakowski
Hệ quả 4 (Minkowski):
Nếu 0 0, i = 1,…,n thì:
Chứng minh:
- Với a+b=1 áp dụng hệ quả (3) ta có:
=
=>
Vậy:
Định lí 2:
Cho . Khi đó bất đẳng thức:
f(x1)+…+f(xn) ≥ nf() (I)
đúng với mọi n ≥ 2 khi và chỉ khi (I) đúng với n = 2
Chứng minh:
* Điều kiện cần: hiển nhiên.
* Điều kiện đủ:
- Giả sử (I) đúng với n = 2. Khi đó (I) đúng với n = 2k, k = 1, 2,…
- Giả sử bất đẳng thức (I) đúng với (n+1) số bất kì x1,… xn, xn+1 tức:
f(x1)+…+f(xn)+f(xn+1) ≥ nf ()
- Lấy xn+1 = x = suy ra:
f(x1)+…+f(xn) ≥ nf ()
2.3. Ví dụ:
Ví dụ 1: Với a1, a2,…, an Î (0,p), a = . Chứng minh các bất
đẳng thức sau:
a)
b)
Giải:
a) Xét hàm y =f(x)=lnsinx, x Î (0,p)
là hàm lõm.
- Sử dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm f(x) với ta có:
b) Xét hàm
là hàm lõm.
- Sử dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm f(x) với ta có:
Ví dụ 2: Cho a, b, p, q > 0, . Chứng minh rằng:
Giải:
Cách 1: Áp dụng hệ quả 1 với: x = ap, y = bq,
Ta có:
\
Cách 2:
+) Xét hàm y=f(x)=ax là một hàm lồi.
- Chọn :
- Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có:
(1)
+) Xét hàm y = f(x) = bx là một hàm lồi.
- Chọn
- Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có:
(2)
- Từ (1), (2) ta có:
- Vì vai trò của p, q là như nhau nên:
Ví dụ 3: Cho a > 1, x1,…xn Î (0, 1) với x1+…+ xn = 1. Chứng minh rằng:
Giải:
- Xét hàm
Ta có:
là hàm lồi.
- Chọn
Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có:
=
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi dãy số thực x1,x2,…xn ta có:
Giải:
- Theo định lí 6 bất đẳng thức trên đúng nếu ta chứng minh được với trường hợp 2 số:
với mọi a, b ≥ 1
Tuy nhiên:
(hiển nhiên đúng)
Ví dụ 5: Giả sử các số thực dương có : .
Chứng minh rằng:
Giải:
- Xem hàm:
Ta có:
là hàm lồi trên (0,1)
- Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho ta có:
=
Ví dụ 6: Chứng minh rằng: Nếu thì:
Giải:
* Bổ đề:
Nếu
thì:
Thật vậy:
- Xét hàm f(x) = xa trên (0,+¥), a > 1
đồng biến trên (0,+¥)
là hàm lồi
- Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho ta có:
* Trở lại bài toán:
- Ta sử dụng bổ đề hai lần:
+)
+)
(đpcm)
Ví dụ 7 (Bất dẳng thức Sac-vơ): Cho 2n số thực a1,…an,b1,…bn
trong đó: bi>0, " i = 1,2,…, n ta có bất đẳng thức:
(đpcm)
Bài tập đề nghị:
Chứng minh các bất đẳng thức tam giác sau:
a) sinA + sinB + sinC
b) cosA + cosB + cosC
c)
d)
e)
f)
g)
h) (tanA+tanB+tanC)(cotA+cotB+cotC)

(DABC là tam giác nhọn)
HD: a) Xét hàm f(x)=sinx, x Î (0, p)
b) Xét hàm f(x)=cosx, x Î (0, p)
c) Xét hàm f(x)=
d) Xét hàm f(x)=
e) Xét hàm f(x) =
f) Xét hàm f(x)=
g) Xét hàm f(x) =
h) Xét hàm f(x)=tanx, g(x)=cotx, x Î(0, )
...
Kết nối đề xuất:
Learn Synonym
Advertisement