Nâng cao chất lượng hệ thống điều khiển quỹ đạo cho Robot Scara 3 bậc tự do ứng dụng phương pháp điề

a ngoài thì hệ sẽ ổn định tại 0.
- Nếu x(t) cắt mọi đường cong họ v nào theo chiều từ ngoài vào trong thì hệ sẽ ổn định tiệm cận tại 0.
2.5. Phương pháp điều khiển trượt cho Robot n bậc tự do
2.5.1. Cơ sở toán học
Ta xem xét hệ động học sau: x(n) = a(X) + B(X).u (2.11)
trong đó đại lượng vô hướng x là đầu ra mong muốn, đại lượng vô hướng u là tín hiệu điều khiển đầu vào, là vectơ trạng thái, a(X) là hàm phi tuyến không biết chính xác và B(X) là ma trận biểu diễn độ khuếch đại điều khiển không biết chính xác.
Trạng thái ban đầu Xd(0) phải là: Xd(0) º X(0) (2.12)
và
Ngoài ra, ta định nghĩa bề mặt biến thiên theo thời gian s(t) trong không gian trạng thái R(n) bằng phương trình vô hướng S(X;t) = 0 trong đó: S(X;t) = (2.13)
với l là một hằng số dương. Ví dụ nếu n = 2 thì tức s là tổng mức ảnh hưởng của sai lệch vị trí và sai lệch vận tốc.
Việc giữ giá trị vô hướng S bằng 0 có thể giải quyết được bằng cách chọn luật điều khiển u trong (2.11) sao cho ở bên ngoài s(t) ta có: (2.14)
trong đó h là hằng số dương. (2.14) cho thấy rằng khoảng cách đến bề mặt s, được tính bằng S2, giảm xuống theo quỹ đạo hệ thống.
Vì thế nó buộc các quỹ đạo hệ thống hướng tới bề mặt s(t) như minh họa trong hình 2.3 dưới đây.
s(t)
Hình 2.3
Hỡnh 2.4
x
Thời gian tớn hiệu điều khiển chạm vào mặt trượt
S = 0
xd(t)
0
Mặt phẳng trượt
x(t)
Hỡnh 2.5
S = 0
xd(t)
x
Chattering
x(t)
Bắt đầu từ điểm xuất phát ban đầu nào đó, quỹ đạo trạng thái chạm đến mặt phẳng trượt, sau đó sẽ trượt dọc theo mặt trượt và hướng đến xd với tốc độ hàm mũ, với hằng số thời gian 1/l (hình 2.4).
Tóm lại, từ phương trình (2.13) chọn một hàm S, sau đó chọn luật điều khiển u trong (2.11) sao cho S2 duy trì một hàm Lyapunov của hệ thống kín, bất chấp sự thiếu chính xác của mô hình và sự có mặt của nhiễu loạn. Trình tự thiết kế do đó sẽ bao gồm 2 bước:
+ Bước một, chọn luật điều khiển u thỏa mãn điều kiện trượt (2.14).
+ Bước hai, luật điều khiển không liên tục u đã được chọn trong bước một được làm nhẵn một cách thích hợp để có sự dung hòa tối ưu giữa dải thông điều khiển và tính chính xác của quỹ đạo, đồng thời khắc phục hiện tượng chattering (hình 2.5).
Xét một hệ phi tuyến bậc hai có phương trình trạng thái như sau:
(2.15)
với là ma trận biểu thị trạng thái của hệ thống.
2.5.1.1. Các giả thiết của (2.15)
Giả thiết có phương trình động lực học của Robot như sau:
Với : là tín hiệu điều khiển.
là vectơ lực Coriolis
là nhiễu ngoài chưa biết.
Hàm a(X) không được biết chính xác nhưng có ngưỡng giới hạn
là một hàm xác định (2.16)
Gọi bx là giá trị riêng của B(X), bx min và bx max lần lượt là giá trị riêng nhỏ nhất và lớn nhất của B(X). Đặt bx = (bx max/bx min)1/2, ta được:
(2.17)
2.5.1.2. Các bước xây dựng bộ điều khiển trượt
Sai lệch quỹ đạo: (2.18)
+ Bước 1:
Định nghĩa mặt s(t) như sau: (2.19)
trong đó l là hằng số dương.
Nếu n = 2 thì mặt s(X,t) là: S(X,t) = = 0 (2.20)
+ Bước 2:
Tính u để cho trạng thái hệ thống tiến về mặt s(t) và nằm trên đó như trên hình 2.2.
Để có được điều đó, xét một hàm năng lượng của hệ thống kín. Giả sử có điểm cân bằng tại điểm x = 0 tại đó V(x) cực tiểu. Nếu chứng minh được:
(2.21)
thì điểm x = 0 được gọi là điểm ổn định.
Theo nguyên lý ổn định Lyapunov, chọn một hàm:
với S ¹ 0
Phải làm cho , nghĩa là: .
Đây là điều kiện để hệ thống luôn luôn ổn định tiệm cận toàn thể tại S = 0. Khi điều kiện (2.17) được thỏa mãn thì trạng thái của hệ thống luôn luôn được đưa về trên mặt trượt S = 0 và giữ trên đó. Đó là yêu cầu của bước 2. Như vậy phải thiết kế tín hiệu điều khiển u sao cho điều kiện (2.17) được thỏa mãn. Ta có:
= (2.22)
Chọn tín hiệu đầu vào theo công thức sau [12]:
(2.23)
Trong đó: và (2.24)
với sgn(S) = [sgn(S1), ..., sgn(Sn)]T
K = diag(K1, ..., Kn); Ki > 0 với i = 1, 2, ..., n (2.25)
Đối với hệ phương trình trạng thái (2.15), nếu các giả thiết (2.16) và (2.17) đều được thỏa mãn và luật điều khiển được chọn như trong (2.23) với
(2.26)
thì sai số quỹ đạo e = xd – x sẽ hội tụ về 0, nghĩa là xd º x.
Từ đây ta sẽ xem xét lý thuyết tổng hợp bộ điều khiển kiểu trượt cho cơ cấu Robot n bậc tự do. Bỏ qua thành phần trọng lực g(q), ta có được:
(2.27)
Giả định rằng các thông số được đánh giá và các giá trị thực của chúng có mối liên hệ theo các bất đẳng thức sau:
(2.28)
(2.29)
Trong đó B(q), là các hàm đã biết. Điều này cho thấy cả ma trận quán tính và lực liên kết trên khớp được đánh giá với sai số xác định.
Phương trình ĐLH (2.27) có thể được viết lại như sau:
(2.30)
Với: (2.30’)
B(q) = H-1(q)
Dễ thấy B(q) là ma trận nghịch đảo của H(q). Nhiệm vụ điều khiển là tính mô men t thích hợp sao cho vectơ vị trí thực qt (góc quay) luôn bám theo quỹ đạo đặt qd .
Chọn sai số trạng thái và mặt trượt có dạng mô tả sau:
e = qd – qt (2.31)
, với C = CT > 0 (2.32)
Dễ thấy rằng, việc duy trì trên mặt trượt (s = 0) sẽ dẫn đến q(t) ® qd. Thực tế khi chọn s = 0 thì phương trình (2.32) trở thành:
(2.33)
Phương trình (2.33) chỉ có nghiệm duy nhất e = 0. Nói cách khác, nó đặc trưng cho hệ ĐLH ổn định tiệm cận có e = 0 là giải pháp duy nhất, từ đó điều kiện bám qt ® qd được thoả mãn. Do vậy, vấn đề cần giải quyết của luật điều khiển là tìm mô men động tại các khớp ti sao cho duy trì quỹ đạo Robot trên mặt trượt.
Vận dụng lý thuyết ổn định Lyapunov, vấn đề chọn t có thể chuyển thành xét tính ổn định hàm năng lượng V. Chọn hàm V có dạng:
V = (1/2).sT.s > 0 (2.34)
Vi phân hàm V ta có:
(2.35)
Do vậy điều kiện để hệ ổn định là:
(2.36)
Điều kiện (2.36) được gọi là điều kiện trượt. Khi điều kiện trượt được thoả mãn, hệ thống kín sẽ ổn định tiệm cận, toàn bộ và xảy ra hiện tượng bám của tín hiệu ra qt so với tín hiệu đặt qd mặc dù tồn tại các phần không mô hình được, nhiễu hai sai lệch ban đầu (q(0) ¹ qd(0)).
Nếu điều kiện trượt được thoả mãn theo biểu thức sau:
; a > 0; . (2.37)
thì mặt trượt s = 0 sẽ được bám (lần thứ nhất) trong khoảng thời gian nhỏ hơn T0.
(2.38)
Vi phân hai vế (2.32) và thay (2.31) vào phương trình ta có:
(2.39)
Từ (2.30) và (2.39) ta có:
(2.40)
Chọn mô men vào có dạng:
(2.41)
Trong đó: *
* sgn(s) = [sgn(s1), sgn(s2), ..., sgn(sm)]T
* K > 0, là ma trận (n´n)
Ma trận hệ số K phải chọn đủ lớn sao cho duy trì được điều kiện trượt, mặc dù tồn tại các thành phần không mô hình được hay nhiễu. Trường hợp việc đánh giá các thông số là chính xác () thì điều kiện trượt (2.36) có thể được biểu diễn dưới dạng sau:
(2.42)
Từ phương trình (2.40) liên hệ tín hiệu điều khiển t và tín hiệu ra ta thấy tín hiệu vào bị gián đoạn khi cắt ngang mặt trượt s(t) do vậy sẽ dẫn tới hiện tượng lập bập ở đầu ra. Hiện tượng này có thể khắc phục bằng việc lọc các thành phần gián đoạn trong miền s lân cận mặt cắt.
Trường hợp vectơ có dạng:
(2.43)
thay và đặt R = -B(q) ta có:
(2.44)
Khi đó điều kiện trượt sẽ trở thành:
(2.45)
Do đó, nếu chọn K thoả mãn:
(2.46)
thì điều kiện trượt (2.36) được thoả mã...