LINK TẢI LUẬN VĂN MIỄN PHÍ CHO AE KET-NOI
Hình ảnh hai chiều về sự biến dạng của không thời gian. Sự tồn tại của vật chất làm biến đổi hình dáng của không thời gian, sự cong của nó có thể được coi là hấp dẫn
Lý thuyết tương đối rộng, còn được gọi là lý thuyết tương đối tổng quát, là một lý thuyết vật lý cơ bản về hấp dẫn. Lý thuyết này được Albert Einstein đưa ra vào năm 1915. Nó có thể coi là phần bổ sung và mở rộng của lý thuyết hấp dẫn Newton ở tầm vĩ mô và với vận tốc lớn.
Lý thuyết này mô tả hấp dẫn tương tự như sự biến dạng cục bộ của không-thời gian. Cụ thể là một vật có khối lượng sẽ làm cong không thời gian xung quanh nó. Độ cong của không thời gian chính bằng lực hấp dẫn. Nói một cách khác, hấp dẫn là sự cong của không thời gian.
Từ khi ra đời đến nay, lý thuyết tương đối rộng đã chưa bao giờ thất bại trong việc giải thích các kết quả thực nghiệm. Nó là cơ sở nghiên cứu của các ngành thiên văn học, vũ trụ học và vật lý thiên văn. Nó giải thích được rất nhiều các hiện tượng mà vật lý cổ điển không thể làm được với độ chính xác và tin cậy rất cao, ví dụ như hiện tượng ánh sáng bị bẻ cong khi đi gần Mặt Trời, hay tiên đoán được sự tồn tại của sóng hấp dẫn, hố đen và sự giãn nở của vũ trụ.
TimTaiLieu.vn
Không giống như các lý thuyết vật lý cách mạng khác, như cơ học lượng tử chẳng hạn, lý thuyết tương đối chỉ do một mình Albert Einstein xây dựng nên, mặc dù ông cũng cần sự giúp đỡ của một người bạn là Marcel Grossmann về toán học các mặt cong.
Giới thiệu
Trong cơ học Newton không gian là phẳng và hai vật thể hút nhau nhờ vào lực hấp dẫn
Trong lý thuyết tương đối rộng, các khối lượng làm cong không gian xung quanh nó. Hệ quả của sự cong này tạo ra lực quán tính, giống như hệ quả của hai vật thể hút nhau bằng lực hấp dẫn.
Lý thuyết tương đối rộng, ở dạng thuần túy, mô tả không thời gian như một đa tạp Lorentz 4 chiều, bị làm cong bởi sự có mặt của khối lượng, năng lượng, và xung lượng
TimTaiLieu.vn
(tenxơ ứng suất năng lượng) nằm trong nó. Mối liên hệ giữa tenxơ ứng suất năng lượng và độ cong của không thời gian được biểu thị qua phương trình trường Einstein.
Trong đó:
• Rμν: tenxơ Ricci
• R: vô hướng Ricci
• gμν: tenxơ mêtric
• Λ : hằng số vũ trụ
• c : vận tốc ánh sáng trong chân không
• G : hằng số hấp dẫn (giống như hằng số hấp dẫn trong định luật hấp dẫn của Newton)
• Tμν : tenxơ năng lượng-xung lượng
Chuyển động quán tính của vật thể là chuyển động theo các đường trắc địa (đường trắc địa kiểu thời gian cho các vật có khối lượng và đường trắc địa kiểu ánh sáng cho photon) trong không thời gian và hoàn toàn phụ thuộc vào độ cong của không thời gian.
Đặc điểm khác biệt nhất của lý thuyết tương đối rộng so với các lý thuyết khác là ý tưởng về lực hấp dẫn được thay bằng hình dáng của không thời gian. Các hiện tượng mà cơ học cổ điển mô tả là tác động của lực hấp dẫn (như chuyển động của các hành tinh quanh Mặt Trời) thì lại được xem xét như là chuyển động theo quán tính trong không thời gian cong trong lý thuyết tương đối rộng.
Xét ví dụ về một người chuyển động trên quỹ đạo quanh Trái Đất. Người đó sẽ cảm giác phi trọng lượng giống như khi bị rơi tự do xuống Trái Đất. Trong lý thuyết hấp dẫn
TimTaiLieu.vn
Newton, chuyển động của người đó là do lực hấp dẫn giữa người này và Trái Đất tạo nên lực hướng tâm cho người đó quay xung quanh Trái Đất. Trong lý thuyết tương đối rộng, tình huống trên được giải thích khác hẳn. Trái Đất làm biến dạng không thời gian và người du hành sẽ chuyển động theo quán tính trong không thời gian; nhưng hình chiếu của đường trắc địa trong không thời gian lên không gian 3 chiều cho thấy như thể Trái Đất tác dụng một lực giữ người này trên quỹ đạo.
Thực ra, người chuyển động trên quỹ đạo cũng làm cong không thời gian xung quanh anh ta, nhưng độ cong này rất nhỏ so với độ cong mà Trái Đất tạo ra.
Vì không-thời gian liên quan đến vật chất nên nếu không có vật chất thì việc xác định không-thời gian không được chính xác. Chính vì thế người ta cần các giả thuyết đặc biệt như là các tính đối xứng để có thể thao tác các không-thời gian khả dĩ, sau đó mới tìm xem vật chất cần nằm ở đâu để xác định các tính chất hợp lý,... Các điều kiện biên (còn gọi là điều kiện ban đầu) có thể là vấn đề khó khăn. Sóng hấp dẫn có thể vi phạm ý tưởng không-thời gian được xác định một lần cho mãi mãi.
Lịch sử
Ngay sau khi phát triển thuyết tương đối đặc biệt năm 1905, Einstein bắt đầu suy nghĩ về sự mâu thuẫn giữa hấp dẫn với lý thuyết này. Năm 1907, khởi đầu bằng thí nghiệm suy tưởng trong đó có một người quan sát rơi tự do, sau đó là tám năm theo đuổi tìm kiếm một lý thuyết tương đối tính về hấp dẫn. Năm 1912, Einstein nghiên cứu về một lý thuyết, trong đó hấp dẫn được mô tả như một hiện tượng hình học. Sau nhiều lần sai lầm và đi lệch hướng, cuối cùng vào tháng mười một năm 1915, ông đã thuyết trình tại Viện hàn lâm Phổ một phương trình trung tâm của lý thuyết (mà ngày này gọi là hệ phương trình trường Einstein). Hệ phương trình này xác định hình học của không gian và thời gian bị ảnh hưởng như thế nào bởi sự có mặt của vật chất.
Hệ phương trình trường Einstein là phi tuyến và rất khó giải. Einstein đã sử dụng phương pháp sấp xỉ để thu được những tiên đoán ban đầu của lý thuyết. Vào đầu năm 1916, nhà thiên văn vật lý Karl Schwarzschild đã tìm thấy lời giải chính xác không tầm
TimTaiLieu.vn
thường đầu tiên của hệ phương trình trường Einstein, bây giờ gọi là metric Schwarzschild. Lời giải này đã đặt nền tảng cho sự miêu tả trạng thái cuối cùng của sự suy sụp hấp dẫn, và ngày nay được biết là lỗ đen. Trong cùng năm, Reissner và Nordström đã tổng quát lời giải Schwarzschild cho các đối tượng tích điện, gọi là lời giải Reissner-Nordström và gắn liền với lỗ đen tích điện. . Năm 1917, Einstein ứng dụng lý thuyết của ông cho toàn bộ vũ trụ, mở ra lĩnh vực mới đó là vũ trụ học tương đối tính. Theo dòng nhận thức đương thời, Einstein giả sử rằng vũ trụ là tĩnh, và ông thêm một tham số vào phương trình đầu tiên của mình - hằng số vũ trụ học - để phù hợp với "sự quan sát đó". Tuy nhiên, năm 1929, các kết quả của Hubble và những người khác chỉ ra rằng vũ trụ đang giãn nở. Điều này đã được miêu tả bởi mở rộng lời giải vũ trụ học do Friedmann năm 1922, mà không cần tới hằng số vũ trụ học. Lemaître sử dụng lời giải này để đưa ra mô hình đầu tiên về vụ nổ lớn Big bang, trong đó vũ trụ hình thành từ một trạng thái ban đầu cực kì nóng và đậm đặc. Einstein sau đó công khai thừa nhận hằng số vũ trụ là sai lầm lớn nhất trong đời ông.
Trong suốt thời kì này, thuyết tương đối tổng quát vẫn còn là một lý thuyết kỳ lạ trong các lý thuyết vật lý. Nó đẹp hơn lý thuyết của Newton, phù hợp với thuyết tương đối hẹp và giải thích được một vài hiệu ứng mà lý thuyết Newton chưa thành công. Chính Einstein đã chỉ ra vào năm 1915 rằng: lý thuyết của ông đã giải thích được chuyển động dị thường của điểm cận nhật của sao Thủy như thế nào mà không cần tới bất kì một tham số nào.Tương tự, năm 1919 một đoàn thám hiểm dẫn đầu bởi Arthur Eddington đã xác nhận tiên đoán của thuyết tương đối tổng quát về sự lệch ánh sáng khi đi gần Mặt trời trong lần Nhật thực, khiến Einstein ngay lập tức trở nên nổi tiếng. Và lý thuyết trở thành hướng đi chính của vật lý lý thuyết và thiên văn vật lý trong giai đoạn phát triển từ 1960 đến 1975, gọi là thời kỳ vàng của thuyết tương đối rộng. Các nhà vật lý bắt đầu hiểu khái niệm lỗ đen, và đồng nhất những đối tượng thiên văn vật lý này với quasar. Có thêm nhiều kiểm nghiệm chính xác trong hệ Mặt trời đã chứng tỏ sức mạnh tiên đoán của lý thuyết, và trong vũ trụ học tương đối tính cũng vậy, nó đã cung cấp những kiểm nghiệm quan sát trực tiếp.
Các nguyên lý nền tảng
TimTaiLieu.vn
Lý thuyết tương đối rộng dựa trên các nguyên lý nền tảng:
• Nguyên lý hiệp biến: các định luật vật lý là như nhau trong tất các các hệ quy chiếu (các định luật vật lý là các phương trình tenxơ).
• Chuyển động quán tính theo đường trắc địa.
Nguyên lý tương đương, vốn là điểm khởi đầu trong quá trình xây dựng lý thuyết tương đối rộng từ thuyết tương đối hẹp, sau này được nhận ra là hệ quả của nguyên lý hiệp biến và nguyên lý chuyển động quán tính theo đường trắc địa. Nguyên lý này phát biểu rằng, không có một thí nghiệm tại không thời gian địa phương nào có thể phân biệt sự rơi tự do không quay trong trường hấp dẫn với chuyển động thẳng đều khi không có trường hấp dẫn. Nó cũng dẫn đến kết quả quan trọng là độ cong không thời gian gây nên bởi sự có mặt của vật chất, phương trình trường Einstein.
Kiểm chứng
Giống như tất cả các lý thuyết khoa học, lý thuyết tương đối rộng cần có các tiên đoán và phải được kiểm chứng bằng các kết quả thực nghiệm. Một số các tiên đoán của lý thuyết này gồm có sự dịch chuyển gần điểm cận nhật của quỹ đạo của các hành tinh (đặc biệt là Sao Thủy), sự lệch của ánh sáng khi đi gần các vật thể có khối lượng lớn, và sự tồn tại của sóng hấp dẫn. Hai tiên đoán đầu tiên đã được kiểm tra với độ chính xác và tin tưởng cao. Phần lớn các nhà vật lý đều tin vào sự tồn tại của sóng hấp dẫn nhưng sự tồn tại của nó chưa được khẳng định trực tiếp. Tuy nhiên các hiệu ứng gián tiếp đã được quan sát trong nhiều hệ sao đôi.
Một số tiên đoán khác gồm sự giãn nở của vũ trụ, sự tồn tại của hố đen và khả năng tồn tại của các lỗ giun, hố trắng. Ngày nay, sự tồn tại của hố đen nói chung là đã được chấp nhận rộng rãi, nhưng khả năng tồn tại của các lỗ giun thì vẫn còn gây tranh cãi. Nhiều nhà khoa học tin là các lỗ giun chỉ có thể tồn tại khi xuất hiện vật chất ngoại lai. Tiên đoán về hố trắng có vẻ rất xa vời, vì nó dường như trái với định luật hai nhiệt động lực học.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
Hình ảnh hai chiều về sự biến dạng của không thời gian. Sự tồn tại của vật chất làm biến đổi hình dáng của không thời gian, sự cong của nó có thể được coi là hấp dẫn
Lý thuyết tương đối rộng, còn được gọi là lý thuyết tương đối tổng quát, là một lý thuyết vật lý cơ bản về hấp dẫn. Lý thuyết này được Albert Einstein đưa ra vào năm 1915. Nó có thể coi là phần bổ sung và mở rộng của lý thuyết hấp dẫn Newton ở tầm vĩ mô và với vận tốc lớn.
Lý thuyết này mô tả hấp dẫn tương tự như sự biến dạng cục bộ của không-thời gian. Cụ thể là một vật có khối lượng sẽ làm cong không thời gian xung quanh nó. Độ cong của không thời gian chính bằng lực hấp dẫn. Nói một cách khác, hấp dẫn là sự cong của không thời gian.
Từ khi ra đời đến nay, lý thuyết tương đối rộng đã chưa bao giờ thất bại trong việc giải thích các kết quả thực nghiệm. Nó là cơ sở nghiên cứu của các ngành thiên văn học, vũ trụ học và vật lý thiên văn. Nó giải thích được rất nhiều các hiện tượng mà vật lý cổ điển không thể làm được với độ chính xác và tin cậy rất cao, ví dụ như hiện tượng ánh sáng bị bẻ cong khi đi gần Mặt Trời, hay tiên đoán được sự tồn tại của sóng hấp dẫn, hố đen và sự giãn nở của vũ trụ.
TimTaiLieu.vn
Không giống như các lý thuyết vật lý cách mạng khác, như cơ học lượng tử chẳng hạn, lý thuyết tương đối chỉ do một mình Albert Einstein xây dựng nên, mặc dù ông cũng cần sự giúp đỡ của một người bạn là Marcel Grossmann về toán học các mặt cong.
Giới thiệu
Trong cơ học Newton không gian là phẳng và hai vật thể hút nhau nhờ vào lực hấp dẫn
Trong lý thuyết tương đối rộng, các khối lượng làm cong không gian xung quanh nó. Hệ quả của sự cong này tạo ra lực quán tính, giống như hệ quả của hai vật thể hút nhau bằng lực hấp dẫn.
Lý thuyết tương đối rộng, ở dạng thuần túy, mô tả không thời gian như một đa tạp Lorentz 4 chiều, bị làm cong bởi sự có mặt của khối lượng, năng lượng, và xung lượng
TimTaiLieu.vn
(tenxơ ứng suất năng lượng) nằm trong nó. Mối liên hệ giữa tenxơ ứng suất năng lượng và độ cong của không thời gian được biểu thị qua phương trình trường Einstein.
Trong đó:
• Rμν: tenxơ Ricci
• R: vô hướng Ricci
• gμν: tenxơ mêtric
• Λ : hằng số vũ trụ
• c : vận tốc ánh sáng trong chân không
• G : hằng số hấp dẫn (giống như hằng số hấp dẫn trong định luật hấp dẫn của Newton)
• Tμν : tenxơ năng lượng-xung lượng
Chuyển động quán tính của vật thể là chuyển động theo các đường trắc địa (đường trắc địa kiểu thời gian cho các vật có khối lượng và đường trắc địa kiểu ánh sáng cho photon) trong không thời gian và hoàn toàn phụ thuộc vào độ cong của không thời gian.
Đặc điểm khác biệt nhất của lý thuyết tương đối rộng so với các lý thuyết khác là ý tưởng về lực hấp dẫn được thay bằng hình dáng của không thời gian. Các hiện tượng mà cơ học cổ điển mô tả là tác động của lực hấp dẫn (như chuyển động của các hành tinh quanh Mặt Trời) thì lại được xem xét như là chuyển động theo quán tính trong không thời gian cong trong lý thuyết tương đối rộng.
Xét ví dụ về một người chuyển động trên quỹ đạo quanh Trái Đất. Người đó sẽ cảm giác phi trọng lượng giống như khi bị rơi tự do xuống Trái Đất. Trong lý thuyết hấp dẫn
TimTaiLieu.vn
Newton, chuyển động của người đó là do lực hấp dẫn giữa người này và Trái Đất tạo nên lực hướng tâm cho người đó quay xung quanh Trái Đất. Trong lý thuyết tương đối rộng, tình huống trên được giải thích khác hẳn. Trái Đất làm biến dạng không thời gian và người du hành sẽ chuyển động theo quán tính trong không thời gian; nhưng hình chiếu của đường trắc địa trong không thời gian lên không gian 3 chiều cho thấy như thể Trái Đất tác dụng một lực giữ người này trên quỹ đạo.
Thực ra, người chuyển động trên quỹ đạo cũng làm cong không thời gian xung quanh anh ta, nhưng độ cong này rất nhỏ so với độ cong mà Trái Đất tạo ra.
Vì không-thời gian liên quan đến vật chất nên nếu không có vật chất thì việc xác định không-thời gian không được chính xác. Chính vì thế người ta cần các giả thuyết đặc biệt như là các tính đối xứng để có thể thao tác các không-thời gian khả dĩ, sau đó mới tìm xem vật chất cần nằm ở đâu để xác định các tính chất hợp lý,... Các điều kiện biên (còn gọi là điều kiện ban đầu) có thể là vấn đề khó khăn. Sóng hấp dẫn có thể vi phạm ý tưởng không-thời gian được xác định một lần cho mãi mãi.
Lịch sử
Ngay sau khi phát triển thuyết tương đối đặc biệt năm 1905, Einstein bắt đầu suy nghĩ về sự mâu thuẫn giữa hấp dẫn với lý thuyết này. Năm 1907, khởi đầu bằng thí nghiệm suy tưởng trong đó có một người quan sát rơi tự do, sau đó là tám năm theo đuổi tìm kiếm một lý thuyết tương đối tính về hấp dẫn. Năm 1912, Einstein nghiên cứu về một lý thuyết, trong đó hấp dẫn được mô tả như một hiện tượng hình học. Sau nhiều lần sai lầm và đi lệch hướng, cuối cùng vào tháng mười một năm 1915, ông đã thuyết trình tại Viện hàn lâm Phổ một phương trình trung tâm của lý thuyết (mà ngày này gọi là hệ phương trình trường Einstein). Hệ phương trình này xác định hình học của không gian và thời gian bị ảnh hưởng như thế nào bởi sự có mặt của vật chất.
Hệ phương trình trường Einstein là phi tuyến và rất khó giải. Einstein đã sử dụng phương pháp sấp xỉ để thu được những tiên đoán ban đầu của lý thuyết. Vào đầu năm 1916, nhà thiên văn vật lý Karl Schwarzschild đã tìm thấy lời giải chính xác không tầm
TimTaiLieu.vn
thường đầu tiên của hệ phương trình trường Einstein, bây giờ gọi là metric Schwarzschild. Lời giải này đã đặt nền tảng cho sự miêu tả trạng thái cuối cùng của sự suy sụp hấp dẫn, và ngày nay được biết là lỗ đen. Trong cùng năm, Reissner và Nordström đã tổng quát lời giải Schwarzschild cho các đối tượng tích điện, gọi là lời giải Reissner-Nordström và gắn liền với lỗ đen tích điện. . Năm 1917, Einstein ứng dụng lý thuyết của ông cho toàn bộ vũ trụ, mở ra lĩnh vực mới đó là vũ trụ học tương đối tính. Theo dòng nhận thức đương thời, Einstein giả sử rằng vũ trụ là tĩnh, và ông thêm một tham số vào phương trình đầu tiên của mình - hằng số vũ trụ học - để phù hợp với "sự quan sát đó". Tuy nhiên, năm 1929, các kết quả của Hubble và những người khác chỉ ra rằng vũ trụ đang giãn nở. Điều này đã được miêu tả bởi mở rộng lời giải vũ trụ học do Friedmann năm 1922, mà không cần tới hằng số vũ trụ học. Lemaître sử dụng lời giải này để đưa ra mô hình đầu tiên về vụ nổ lớn Big bang, trong đó vũ trụ hình thành từ một trạng thái ban đầu cực kì nóng và đậm đặc. Einstein sau đó công khai thừa nhận hằng số vũ trụ là sai lầm lớn nhất trong đời ông.
Trong suốt thời kì này, thuyết tương đối tổng quát vẫn còn là một lý thuyết kỳ lạ trong các lý thuyết vật lý. Nó đẹp hơn lý thuyết của Newton, phù hợp với thuyết tương đối hẹp và giải thích được một vài hiệu ứng mà lý thuyết Newton chưa thành công. Chính Einstein đã chỉ ra vào năm 1915 rằng: lý thuyết của ông đã giải thích được chuyển động dị thường của điểm cận nhật của sao Thủy như thế nào mà không cần tới bất kì một tham số nào.Tương tự, năm 1919 một đoàn thám hiểm dẫn đầu bởi Arthur Eddington đã xác nhận tiên đoán của thuyết tương đối tổng quát về sự lệch ánh sáng khi đi gần Mặt trời trong lần Nhật thực, khiến Einstein ngay lập tức trở nên nổi tiếng. Và lý thuyết trở thành hướng đi chính của vật lý lý thuyết và thiên văn vật lý trong giai đoạn phát triển từ 1960 đến 1975, gọi là thời kỳ vàng của thuyết tương đối rộng. Các nhà vật lý bắt đầu hiểu khái niệm lỗ đen, và đồng nhất những đối tượng thiên văn vật lý này với quasar. Có thêm nhiều kiểm nghiệm chính xác trong hệ Mặt trời đã chứng tỏ sức mạnh tiên đoán của lý thuyết, và trong vũ trụ học tương đối tính cũng vậy, nó đã cung cấp những kiểm nghiệm quan sát trực tiếp.
Các nguyên lý nền tảng
TimTaiLieu.vn
Lý thuyết tương đối rộng dựa trên các nguyên lý nền tảng:
• Nguyên lý hiệp biến: các định luật vật lý là như nhau trong tất các các hệ quy chiếu (các định luật vật lý là các phương trình tenxơ).
• Chuyển động quán tính theo đường trắc địa.
Nguyên lý tương đương, vốn là điểm khởi đầu trong quá trình xây dựng lý thuyết tương đối rộng từ thuyết tương đối hẹp, sau này được nhận ra là hệ quả của nguyên lý hiệp biến và nguyên lý chuyển động quán tính theo đường trắc địa. Nguyên lý này phát biểu rằng, không có một thí nghiệm tại không thời gian địa phương nào có thể phân biệt sự rơi tự do không quay trong trường hấp dẫn với chuyển động thẳng đều khi không có trường hấp dẫn. Nó cũng dẫn đến kết quả quan trọng là độ cong không thời gian gây nên bởi sự có mặt của vật chất, phương trình trường Einstein.
Kiểm chứng
Giống như tất cả các lý thuyết khoa học, lý thuyết tương đối rộng cần có các tiên đoán và phải được kiểm chứng bằng các kết quả thực nghiệm. Một số các tiên đoán của lý thuyết này gồm có sự dịch chuyển gần điểm cận nhật của quỹ đạo của các hành tinh (đặc biệt là Sao Thủy), sự lệch của ánh sáng khi đi gần các vật thể có khối lượng lớn, và sự tồn tại của sóng hấp dẫn. Hai tiên đoán đầu tiên đã được kiểm tra với độ chính xác và tin tưởng cao. Phần lớn các nhà vật lý đều tin vào sự tồn tại của sóng hấp dẫn nhưng sự tồn tại của nó chưa được khẳng định trực tiếp. Tuy nhiên các hiệu ứng gián tiếp đã được quan sát trong nhiều hệ sao đôi.
Một số tiên đoán khác gồm sự giãn nở của vũ trụ, sự tồn tại của hố đen và khả năng tồn tại của các lỗ giun, hố trắng. Ngày nay, sự tồn tại của hố đen nói chung là đã được chấp nhận rộng rãi, nhưng khả năng tồn tại của các lỗ giun thì vẫn còn gây tranh cãi. Nhiều nhà khoa học tin là các lỗ giun chỉ có thể tồn tại khi xuất hiện vật chất ngoại lai. Tiên đoán về hố trắng có vẻ rất xa vời, vì nó dường như trái với định luật hai nhiệt động lực học.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links