LINK TẢI LUẬN VĂN MIỄN PHÍ CHO AE KET-NOI
Mục lục
Chương 1 Đường và mặt bậc hai . 5
1.1 Siêu phẳng afin. 5
1.1.1 Thuật khổGauss-jordan giải hệphương trình tuyến tính. 5
1.1.2 Đa tạp tuyến tính và phương pháp toạ độ. 5
1.1.3 Các phép biến đổi (tuyến tính) trong hình học. 6
1.2 Đường hác hai với phương trình chính tắc. 7
1.2.1 Ellipse. 7
1.2.2 Hyperbola. 7
1.2.3 Parabola. 7
1.3 Đưa phương trình đường bậc hai trong mặt phẳng vềdạng chính tắc. 8
1.4 Phân loại siêu mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều. 8
1.5 Đưa phương trình mặt bậc hai tổng quát vềdạng chính tắc. 12
1.6 Phân loại dời hình các đường bậc hai trong mặt phẳng Euclid. 14
l.7 Phân loại dời hình các mặt bậc hai trong không gian Euclid 3 chiều. 14
1.8 Phương pháp toạ độcong. 14
1.8.1 Các đường bậc 2 tham sốhoá. 15
1.8.2 Các mặt bậc hai tham sốhoá. 16
1.9 Bài tập củng cốlý thuyết. 16
Chương 2 Lý thuyết đường cong trong Rn. 17
2.1 Cung tham sốhoá và cung chính quy. 17
2.2 Độdài đường cong trong Rn. Đường trắc địa. 18
2.3 Mục tiêu trực chuẩn. Mục tiêu Frenet. Độcong. Độxoắn. 20
2.4 Định lí cơbản. 23
2.5 Bài tập củng cốlý thuyết. 26
Chương 3 Đại sốtensơ, đại sốngoài, tensơ đối xứng. 27
3.1 Tích ten sơcác không gian véctơ. 27
3.3 Đại sốtensơ. 29
3.4 Đại sốngoài. 30
Chương 4 Lý thuyết mặt cong trong R3. 31
4.1 Mảnh tham sốhoá chính quy và mặt tham sốhoá. 31
4.2 Mục tiêu Darboux của đường cong trên mặt dìm. 31
4.3 Dạng toàn phương cơbản. 32
4.4 Đạo hàm Weingarten và ký hiệu Christoffel. 37
4.5 Đạo hàm thuận biến. 40
4.6 Độcong Riemann. 41
4.7 Các định lí cơbản của tí thuyết mặt dìm. 43
Chương 5 Đường cong trên mặt cong. 46
5.1 Đường cong trên mặt. 46
5.2 Độcông pháp dạng và độcong trắc địa của đường cong trên mặt. 46
5.3 Phương chính và độcong Gauss. 48
5.4 Một Sốtính chất đặc trưng của đường trên mặt cong. 49
5.5 Định lí Gauss - Bonnet. 50
5.6 Bài tập củng cốlý thuyết. 55
Chương 6 Định lí ánh xạngược và Định lí ánh xạ ẩn. 57
6.1 Định nghĩa đạo ánh và các tính chất cơbản. 57
6.2 Đạo hàm riêng và vi phân. 61
6.3 Định lí hàm (ánh xạ) ngược. 65
6.4 Định lí hàm (ánh xạ) ẩn. 66
6.5 Bó các hàm trơn. 67
6.6 Bài tập củng cốlý thuyết. 69
Chương 7 Đa tạp khảvi. 70
7.1 Định nghĩa. Ví dụ. 70
7.2 Ánh xạtrơn giữa các đa tạp. 71
7.3 Phân thớtiếp xúc, đối tiếp xúc. 72
7.3.1 Không gian tiếp xúc. Phân thớtiếp xúc. 72
7.3.2 Không gian đối tiếp xúc. Phân thớ đối tiếp xúc. 73
7.4 Đa tạp con. Đa tạp thương. 74
7.4.1 Điều kiện dìm và điều kiện ngập. 74
7.4.3 Định lí Godeman. 76
7.4.4 Ví dụ. 77
7.5 Tôpô các đa tạp. 77
7.6 Bài tập củng cốlý thuyết. 77
7.7 Sơlược vềhình học Riemann tổng quát. 78
7.8 Sơlược vềhình học symplectie tổng quát. 78
Câu hỏi ôn tập. 80
Tài liệu tham khảo chính . 81
Chỉsố. 82
Ở trường phổ thông, hình học được dạy và học theo quan điểm hình học Euclid [Ơclid]. Các vật thể hình học được cấu thành từ các mảnh phẳng và mảnh cầu. Quan hệ so sánh giữa các vật thể hình học được thực hiện bởi các phép dời hình; hai vật thể hình học được xem là bằng nhau nếu chúng có thể được chồng khít lên nhau qua những phép dời hình.
Đại số tuyến tính và hình học giải tích xét các vật thể hình học được cấu thành từ các mảnh phẳng và các mảnh bậc 2 nói chung. Các quan hệ so sánh được xét như các phép biến đổi tuyên tính hay afin. Các đường bậc hai được đưa về 9 dạng chính tắc, các mặt bậc hai trong không gian 3-chiều được đưa về 17 dạng chính tắc Trong hình học đại số bằng phương pháp phân loại có thể nghiên cứu các đường và mặt hay siêu mặt bậc 3 hay, tổng quát hơn, bậc bất kì. Phép biến đổi cho phép là các phép biến đổi đa thức hay song hữu tỉ.
Quan điểm nói trên được phát triển trong hình học vi phân khi mà các vật thể được cấu tạo từ các mảnh tham sô hoá bằng các tọa độ địa phương, nói chung các hàm tọa độ địa phương là các hàm trơn bất kì. Các phép biến đổi là các phép vi phôi. Do vậy các vật thể hình học trong hình học vi phân đa dạng hơn, nhiều chiều hơn và theo một nghĩa nhất định là trơn chu hơn các vật thể hình học trong các môn hình học trên.
Phương pháp nghiên cứu của hình học vi phân tương đối đa dạng . Trước hết hình học vi phân sử dụng các phép tính vi phân và tích phân trong không gian Euclid Ra để xây dựng các phép tính vi phân và tích phân tương ứng trên các vật thể hình học. Đồng thời nó cũng vận dụng các phương pháp tổng, tổng đại số, phương pháp tổ hợp, phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng ,... để tìm ra các tính chất của các đối tượng hình học .
Giáo trình này được biên soạn trong khuôn khổ chương trình 90 tiết cho sinh viên các năm cuối đại học. Tác giả thứ nhất đã dạy chương trình này cho các lớp của Đại Học Thái Nguyên, Đại Học Quy Nhơn. Thực tế giảng dạy đã gợi ý cho tác giả chọn lọc các nội đung này. Giáo trình gồm có các chương chính sau: Chương 1 được dành cho việc nhìn lại lý thuyết đường và mặt bậc 1 và 2. Mục đích của chương này là tạo ra một khởi điểm hình học cho việc học tiếp tục. Chương 2 được dành cho việc nghiên cứu các đường cong trong không gian Euclid n-chiều. Chương 3 được dành cho việc xây dựng lại khái niệm về tensơ và đại số tensơ. Chương 4 là chương trọng tâm, dành cho lý thuyết mặt cong trong không gian Euclid R3 . Trong chương 5 chúng tui trình bày phép toán vi phân nhiều chiều cho các ánh xạ trơn, đồng thời trong chương 6 nhấn mạnh các định lí ánh xạ ẩn và định lí ánh xạ ngược. Hai định lí này đóng vai trò trung tâm trong việc nghiên cứu các đa tạp con trong Rn được xác định bởi hệ phương trình hàm. Trong chương 7 chúng tui trình bày lý thuyết tổng quát các đa tạp khả vi. Đó chính là các đối tượng trung tâm của hình học vi phân.
Cuối mỗi chương có một số bài tập bổ sung cho phần lí thuyết. Các bài tập luyện 3
tập cơ bản, cần được giảng viên chọn từ các nguồn khác. Giáo trình được biên soạn lần đầu không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tui mong nhận được nhiều lí kiến đóng góp cho việc biên soạn nội dung và hình thức của giáo trình,
Các tác giả
4
Chương 1
Đường và mặt bậc hai
Trong chương này chúng ta sẽ hệ thống hoá lại những khái niệm và kết quả nghiên cứu đường và mặt trong Đại số tuyến tính và Hình học giải tích dưới một cách nhìn thống nhất là tham số hoá và tọa độ hoá. Cách nhìn thống nhất này sẽ cho một hình dung sơ bộ về phương pháp nghiên cứu của hình học vi phân cổ điển.
1.1 Siêu phẳng afin
Trong Đại số tuyến tính, các siêu phẳng afin đóng vai trò cơ bản - các m-phẳng được xem như giao của hệ các siêu phẳng afin.
Trong hình học afin, siêu mặt afin là đối tượng cơ bản. Các giao của các siêu mặt bậc 2 cho ta các đối tương kiểu các nhát cắt cầu, nhát cắt ellipsoid, v.v...
1.1.1 Thuật khổ Gauss-jordan giải hệ phương trình tuyến tính
Đây là công cụ cơ bản của Đại số tuyến tính cho phép đưa hệ phương trình tuyến tính bất kì về dạng dễ giải tới mức có thể đọc ngay được nghiệm trong dạng xếp dòng thu gọn. Chúng tui không nhắc lại thuật giải đó ở đây mà chỉ lưu ý đọc giả xem nó như một công cụ hữu hiệu và xem lại nếu cảm giác cần thiết.
1.1.2 Đa tạp tuyến tính và phương pháp toạ độ
Ta xét bài toán nghiên cứu tập nghiệm (hạt nhân) của phương trình véctơ φ(x) = b, trong đó φ : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Không gian nghiệm là một m-phẳng afin dạng x0 + L với L là một mặt phẳng qua gốc toạ độ, là không gian nghiệm (hạt nhân) của ánh xạ tuyến tính φ(x) = 0 .
Tọa độ hoá các không gian véctơ V và W bằng cách chọn trong mỗi không gian một cơ sở tuyến tính, ta quy bài toán về giải hệ phương trình tuyến tính.
Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát với ~l biến
và m phương trình Ax = b, với x = và cột vế
phải b = Theo Định lý Kronecker-kapelli, hệ phương trình là có
nghiệm khi và chỉ khi rank [A] = rank [A|b]. Nghiệm của hệ là một không gian afin con. Nếu ta chọn toạ độ hoá bằng cách chọn một cơ sở của không gian nghiệm rồi bổ
5
sungthànhmộtcơsởcủatoànbộRn thìtacóthểnóirằng:Cóthểtáchbiếnx=(x,y) với x = (xl,..., xn-r), y = (y1,..., yr) sao cho r = rank [A] và ma trận con
là khả nghịch. Các biến xl,..., xn-r là biến tự do. Các biến y1,..., yr là các biến phụ thuộc, là các hàm tuyến tính theo xl,..., xn-r theo quy tắc Cramer cho hệ
Như vậy ta có thể tìm một cơ sở trong không gian nghiệm mà trong đó các véctơ nghiệm tương ứng với x = (xl,..., xn-r) của x0 + L. Nói một cách khác, ta có một đẳng cấu afin giữa Rn-r và không gian con afin x0 + L. Nên xem không gian con afin như là vật thể hình học độc lập thì các phép biến đổi hình học cho phép chính là các phép biến đổi afin. Việc chọn một cách tách biến như trên cho phép "tọa độ hoá " không gian (đa tạp) afin đó.
Một ví dụ khác là các hình thu được nhờ compa. Theo quan điểm trừu tượng compa là công cụ có tác dụng duy nhất là vẽ các đường tròn hay là các cung của nó. Một lý thuyết tổng quát các mặt bậc 2 được nghiên cứu trong phần cuối của một giáo trình đại số tuyến tính. Trong trường hợp này các phép biến đổi cho phép là các phép biến đổi bảo toàn các dạng bậc 2 , tức là các phép biến đổi afin trực giao. Ví dụ với mặt cầu phép biến đổi cho phép là các phép biến đổi trong không gian Euclid (các phép quay, các phép phản xạ, tịnh tiến). Bài toán quy về việc nghiên cứu hệ một hay nhiều (bất) phương trình bậc 2, ví dụ dạng toàn phương. Lại một lần nữa, câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: có thể chăng nghiên cứu các mặt tổng quát hơn là mặt bậc 2?
Bài toán cơ bản là các việc làm nói trên có thể thực hiện hay không khi hệ phương trình phi tuyến (không là tuyến tính hay các phương trình có bậc lớn hơn 2). Trả lời câu hỏi này, hình học vi phân dùng toàn bộ công cụ vi tích phân của giải tích. Đó cũng chính là nội dung của hình học các đa tạp khả vi. Tuy nhiên để có được điều đó ta phải huy động toàn bộ phép tính vi tích phân trong RA ở dạng tổng quát nhất.
1.1.3 Các phép biến đổi (tuyến tính) trong hình học
Trong một không gian, điều quan trọng hơn cả là chúng ta chấp nhận các phép biến đổi nào. Nếu chấp nhận đủ nhiều các phép biến đổi được coi là biến đổi tương đương thì có đủ nhiều các vật thể hình học được đồng nhất với nhau.
Nếu hạn chế chỉ xét các phép biến đổi hình học là tuyến tính thì chúng ta có nhóm biến đổi là nhóm tuyên tính tổng quát G = GL(Rn) = GLn.(R) của không gian,
6
gồm tất cả các phép biến đổi tuyến tính khả nghịch. Chúng ta thu được hình học afin [aphin].
Nếu chúng ta hạn chế hẹp hơn, chỉ chấp nhận các phép biến đổi là bảo toàn khoảng cách, hay tích vô hướng, chúng ta có nhóm O(n) các biến đổi trực giao và hình học chính là hình học Euclid [ơclid].
1.2 Đường hác hai với phương trình chính tắc 1.2.1 Ellipse
Trong hình học giải tích, ellipse [elips] được định nghĩa như quỹ tích các điểm M mà tổng khoảng cách đến hai điểm F1 và F2 cho trước là một đại lượng không đổi 2a Các điểm F1 và F2 đó được gọi là các tiêu điểm.
Gọi khoảng cách giữa hai điểm Fl và F2 là 2d. Chọn trung điểm của đoạn F1F2 là uuur
gốc O của hệ tọa độ Descartes, chọn véctơ e1 sao cho OF 2 = de1 . Bổ sung thêm một véctơ e2 để có một cơ sở trực chuẩn thuận hướng và do vậy có hệ tọa độ Descartes O, e1, e2. Trong hệ tọa độ này điểm M có các tọa độ là (x, y) và ta có phương trình đường ellipse
1.2.2 Hyperbola
Trong hình học giải tích, hyperbola được định nghĩa như quỹ tích các điểm ~ mà trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách đến hai điểm F1 và F2 cho trước là một đại lượng không đổi.
Gọi khoảng cách giữa hai điểm F1 và F2 là 2d. Chọn trung điểm của đoạn F1F2 là uuur
gốc O của hệ toạ độ. Descartes, chọn véctơ e1 sao cho OF 2 = de1. Bổ sung thêm một véctơ e2 để có một cơ sở trực chuẩn thuận hướng và do vậy có hệ tọa độ Descartes O, e1, e2. Trong hệ tọa độ này điểm M có các tọa độ là (x, y) và ta có phương trình đường hyperbola
1.2.3 Parabola
Trong hình học giải tích, parabola [parpabol] được định nghĩa như quỹ tích các điểm M mà khoảng cách đến một điểm F và một đường thẳng l trong mặt phẳng cho trước là bằng nhau. Qua điểm F, ta hạ đường vuông góc với đường thẳng l tại điểm P.
Gọi trung điểm đoạn PF là gốc tọa độ O. Chọn các véctơ trực chuẩn e1 và e2 sao cho uuur
OF =pe2.Gọi(x,y)làcáctọađộđiểmM tronghệtọađộO,e1,e2.Khiđótacó
7
phương trình đường parabola là
1.3 Đưa phương trình đường bậc hai trong mặt phẳng về dạng chính tắc
Định lí 1.3.1 (Định lí phân loại) Bằng phép biến đổi toạ độ thích hợp, mỗi đường bậc hai tổng quát trong mặt phẳng Euclid afin 2-chiều đều được đưa về một trong số 9 đường chính tắc sau:
1. Đường ellipse
2. Đường ellipse ảo:
3. Đường hyperbola
4. Đường parabola
5. Cặp hai đường thẳng song song
6. cặp hai đường thẳng ảo song song:
7. Cặp hai đường thẳng ảo cắt nhau:
8. Cặp hai đường thẳng thẳng cắt nhau:
9. Cặp hai đường thẳng trùng nhau:
Chứng minh. Đọc giả có thể dễ dụng tìm thấy chứng minh định lí này trong bất kì giáo trình nào về Hình học giải tích.
1.4 Phân loại siêu mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều
8
Định lí 1.4.1 (zĐịnh lí phân loại) Bằng phép biến đổi tọa độ thích hợp, mỗi mặt bậc hai tổng quát trong không gian Euclid ba chiều đều được đưa về một trong số 17 mặt chính tắc sau:
7.5 Tôpô các đa tạp
Một trong những bài toán thú vị là bài toán phân loại đa tạp. Các kết quả đẹp đẽ sau đây đã thu được:
Định lí 7.5.1 Mỗi đa tạp 1 -chiều liên thông compắc đều vi phôi với [0, 1] ⊂ R1 , hay vòng tròn S1 . Các đa tạp không compắc thu được từ chúng bằng cách và bỏ một
số điểm .
Định lí 7.5.2 Mỗi đa tạp 2-chiều compắc không biến liên thông đều vi phôi với một trong các mặt thu được bằng cách gắn k mặt trụ, xoắn mỗi mặt một sôi vòng và gắn l lá Mobius, vào mặt cầu S2 được khoét đi 2k + l lỗ thủng. Các đa tạp không compắc thu được từ đó bằng cách bỏ đi một số điểm.
Một vấn đề của toán học đương thời : Có hay không một cách làm tương tự cho các đa tạp 3-chiều? Bằng cách làm tương tư như trên với hình cầu và hình trụ, người ta cũng thu được đủ nhiều đa tạp 3 chiều. Nhưng rất tiếc là lý thuyết tông các đa tạp 3- chiều chỉ ra là lý thuyết còn xa mới tới một phân loại tương tự như trên.
7.6 Bài tập củng cố lý thuyết
1. Hãy viết tên của mình bằng các chữ cái IN HOA KHONG CHAN không dấu.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
Mục lục
Chương 1 Đường và mặt bậc hai . 5
1.1 Siêu phẳng afin. 5
1.1.1 Thuật khổGauss-jordan giải hệphương trình tuyến tính. 5
1.1.2 Đa tạp tuyến tính và phương pháp toạ độ. 5
1.1.3 Các phép biến đổi (tuyến tính) trong hình học. 6
1.2 Đường hác hai với phương trình chính tắc. 7
1.2.1 Ellipse. 7
1.2.2 Hyperbola. 7
1.2.3 Parabola. 7
1.3 Đưa phương trình đường bậc hai trong mặt phẳng vềdạng chính tắc. 8
1.4 Phân loại siêu mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều. 8
1.5 Đưa phương trình mặt bậc hai tổng quát vềdạng chính tắc. 12
1.6 Phân loại dời hình các đường bậc hai trong mặt phẳng Euclid. 14
l.7 Phân loại dời hình các mặt bậc hai trong không gian Euclid 3 chiều. 14
1.8 Phương pháp toạ độcong. 14
1.8.1 Các đường bậc 2 tham sốhoá. 15
1.8.2 Các mặt bậc hai tham sốhoá. 16
1.9 Bài tập củng cốlý thuyết. 16
Chương 2 Lý thuyết đường cong trong Rn. 17
2.1 Cung tham sốhoá và cung chính quy. 17
2.2 Độdài đường cong trong Rn. Đường trắc địa. 18
2.3 Mục tiêu trực chuẩn. Mục tiêu Frenet. Độcong. Độxoắn. 20
2.4 Định lí cơbản. 23
2.5 Bài tập củng cốlý thuyết. 26
Chương 3 Đại sốtensơ, đại sốngoài, tensơ đối xứng. 27
3.1 Tích ten sơcác không gian véctơ. 27
3.3 Đại sốtensơ. 29
3.4 Đại sốngoài. 30
Chương 4 Lý thuyết mặt cong trong R3. 31
4.1 Mảnh tham sốhoá chính quy và mặt tham sốhoá. 31
4.2 Mục tiêu Darboux của đường cong trên mặt dìm. 31
4.3 Dạng toàn phương cơbản. 32
4.4 Đạo hàm Weingarten và ký hiệu Christoffel. 37
4.5 Đạo hàm thuận biến. 40
4.6 Độcong Riemann. 41
4.7 Các định lí cơbản của tí thuyết mặt dìm. 43
Chương 5 Đường cong trên mặt cong. 46
5.1 Đường cong trên mặt. 46
5.2 Độcông pháp dạng và độcong trắc địa của đường cong trên mặt. 46
5.3 Phương chính và độcong Gauss. 48
5.4 Một Sốtính chất đặc trưng của đường trên mặt cong. 49
5.5 Định lí Gauss - Bonnet. 50
5.6 Bài tập củng cốlý thuyết. 55
Chương 6 Định lí ánh xạngược và Định lí ánh xạ ẩn. 57
6.1 Định nghĩa đạo ánh và các tính chất cơbản. 57
6.2 Đạo hàm riêng và vi phân. 61
6.3 Định lí hàm (ánh xạ) ngược. 65
6.4 Định lí hàm (ánh xạ) ẩn. 66
6.5 Bó các hàm trơn. 67
6.6 Bài tập củng cốlý thuyết. 69
Chương 7 Đa tạp khảvi. 70
7.1 Định nghĩa. Ví dụ. 70
7.2 Ánh xạtrơn giữa các đa tạp. 71
7.3 Phân thớtiếp xúc, đối tiếp xúc. 72
7.3.1 Không gian tiếp xúc. Phân thớtiếp xúc. 72
7.3.2 Không gian đối tiếp xúc. Phân thớ đối tiếp xúc. 73
7.4 Đa tạp con. Đa tạp thương. 74
7.4.1 Điều kiện dìm và điều kiện ngập. 74
7.4.3 Định lí Godeman. 76
7.4.4 Ví dụ. 77
7.5 Tôpô các đa tạp. 77
7.6 Bài tập củng cốlý thuyết. 77
7.7 Sơlược vềhình học Riemann tổng quát. 78
7.8 Sơlược vềhình học symplectie tổng quát. 78
Câu hỏi ôn tập. 80
Tài liệu tham khảo chính . 81
Chỉsố. 82
Ở trường phổ thông, hình học được dạy và học theo quan điểm hình học Euclid [Ơclid]. Các vật thể hình học được cấu thành từ các mảnh phẳng và mảnh cầu. Quan hệ so sánh giữa các vật thể hình học được thực hiện bởi các phép dời hình; hai vật thể hình học được xem là bằng nhau nếu chúng có thể được chồng khít lên nhau qua những phép dời hình.
Đại số tuyến tính và hình học giải tích xét các vật thể hình học được cấu thành từ các mảnh phẳng và các mảnh bậc 2 nói chung. Các quan hệ so sánh được xét như các phép biến đổi tuyên tính hay afin. Các đường bậc hai được đưa về 9 dạng chính tắc, các mặt bậc hai trong không gian 3-chiều được đưa về 17 dạng chính tắc Trong hình học đại số bằng phương pháp phân loại có thể nghiên cứu các đường và mặt hay siêu mặt bậc 3 hay, tổng quát hơn, bậc bất kì. Phép biến đổi cho phép là các phép biến đổi đa thức hay song hữu tỉ.
Quan điểm nói trên được phát triển trong hình học vi phân khi mà các vật thể được cấu tạo từ các mảnh tham sô hoá bằng các tọa độ địa phương, nói chung các hàm tọa độ địa phương là các hàm trơn bất kì. Các phép biến đổi là các phép vi phôi. Do vậy các vật thể hình học trong hình học vi phân đa dạng hơn, nhiều chiều hơn và theo một nghĩa nhất định là trơn chu hơn các vật thể hình học trong các môn hình học trên.
Phương pháp nghiên cứu của hình học vi phân tương đối đa dạng . Trước hết hình học vi phân sử dụng các phép tính vi phân và tích phân trong không gian Euclid Ra để xây dựng các phép tính vi phân và tích phân tương ứng trên các vật thể hình học. Đồng thời nó cũng vận dụng các phương pháp tổng, tổng đại số, phương pháp tổ hợp, phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng ,... để tìm ra các tính chất của các đối tượng hình học .
Giáo trình này được biên soạn trong khuôn khổ chương trình 90 tiết cho sinh viên các năm cuối đại học. Tác giả thứ nhất đã dạy chương trình này cho các lớp của Đại Học Thái Nguyên, Đại Học Quy Nhơn. Thực tế giảng dạy đã gợi ý cho tác giả chọn lọc các nội đung này. Giáo trình gồm có các chương chính sau: Chương 1 được dành cho việc nhìn lại lý thuyết đường và mặt bậc 1 và 2. Mục đích của chương này là tạo ra một khởi điểm hình học cho việc học tiếp tục. Chương 2 được dành cho việc nghiên cứu các đường cong trong không gian Euclid n-chiều. Chương 3 được dành cho việc xây dựng lại khái niệm về tensơ và đại số tensơ. Chương 4 là chương trọng tâm, dành cho lý thuyết mặt cong trong không gian Euclid R3 . Trong chương 5 chúng tui trình bày phép toán vi phân nhiều chiều cho các ánh xạ trơn, đồng thời trong chương 6 nhấn mạnh các định lí ánh xạ ẩn và định lí ánh xạ ngược. Hai định lí này đóng vai trò trung tâm trong việc nghiên cứu các đa tạp con trong Rn được xác định bởi hệ phương trình hàm. Trong chương 7 chúng tui trình bày lý thuyết tổng quát các đa tạp khả vi. Đó chính là các đối tượng trung tâm của hình học vi phân.
Cuối mỗi chương có một số bài tập bổ sung cho phần lí thuyết. Các bài tập luyện 3
tập cơ bản, cần được giảng viên chọn từ các nguồn khác. Giáo trình được biên soạn lần đầu không tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tui mong nhận được nhiều lí kiến đóng góp cho việc biên soạn nội dung và hình thức của giáo trình,
Các tác giả
4
Chương 1
Đường và mặt bậc hai
Trong chương này chúng ta sẽ hệ thống hoá lại những khái niệm và kết quả nghiên cứu đường và mặt trong Đại số tuyến tính và Hình học giải tích dưới một cách nhìn thống nhất là tham số hoá và tọa độ hoá. Cách nhìn thống nhất này sẽ cho một hình dung sơ bộ về phương pháp nghiên cứu của hình học vi phân cổ điển.
1.1 Siêu phẳng afin
Trong Đại số tuyến tính, các siêu phẳng afin đóng vai trò cơ bản - các m-phẳng được xem như giao của hệ các siêu phẳng afin.
Trong hình học afin, siêu mặt afin là đối tượng cơ bản. Các giao của các siêu mặt bậc 2 cho ta các đối tương kiểu các nhát cắt cầu, nhát cắt ellipsoid, v.v...
1.1.1 Thuật khổ Gauss-jordan giải hệ phương trình tuyến tính
Đây là công cụ cơ bản của Đại số tuyến tính cho phép đưa hệ phương trình tuyến tính bất kì về dạng dễ giải tới mức có thể đọc ngay được nghiệm trong dạng xếp dòng thu gọn. Chúng tui không nhắc lại thuật giải đó ở đây mà chỉ lưu ý đọc giả xem nó như một công cụ hữu hiệu và xem lại nếu cảm giác cần thiết.
1.1.2 Đa tạp tuyến tính và phương pháp toạ độ
Ta xét bài toán nghiên cứu tập nghiệm (hạt nhân) của phương trình véctơ φ(x) = b, trong đó φ : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Không gian nghiệm là một m-phẳng afin dạng x0 + L với L là một mặt phẳng qua gốc toạ độ, là không gian nghiệm (hạt nhân) của ánh xạ tuyến tính φ(x) = 0 .
Tọa độ hoá các không gian véctơ V và W bằng cách chọn trong mỗi không gian một cơ sở tuyến tính, ta quy bài toán về giải hệ phương trình tuyến tính.
Xét hệ phương trình tuyến tính tổng quát với ~l biến
và m phương trình Ax = b, với x = và cột vế
phải b = Theo Định lý Kronecker-kapelli, hệ phương trình là có
nghiệm khi và chỉ khi rank [A] = rank [A|b]. Nghiệm của hệ là một không gian afin con. Nếu ta chọn toạ độ hoá bằng cách chọn một cơ sở của không gian nghiệm rồi bổ
5
sungthànhmộtcơsởcủatoànbộRn thìtacóthểnóirằng:Cóthểtáchbiếnx=(x,y) với x = (xl,..., xn-r), y = (y1,..., yr) sao cho r = rank [A] và ma trận con
là khả nghịch. Các biến xl,..., xn-r là biến tự do. Các biến y1,..., yr là các biến phụ thuộc, là các hàm tuyến tính theo xl,..., xn-r theo quy tắc Cramer cho hệ
Như vậy ta có thể tìm một cơ sở trong không gian nghiệm mà trong đó các véctơ nghiệm tương ứng với x = (xl,..., xn-r) của x0 + L. Nói một cách khác, ta có một đẳng cấu afin giữa Rn-r và không gian con afin x0 + L. Nên xem không gian con afin như là vật thể hình học độc lập thì các phép biến đổi hình học cho phép chính là các phép biến đổi afin. Việc chọn một cách tách biến như trên cho phép "tọa độ hoá " không gian (đa tạp) afin đó.
Một ví dụ khác là các hình thu được nhờ compa. Theo quan điểm trừu tượng compa là công cụ có tác dụng duy nhất là vẽ các đường tròn hay là các cung của nó. Một lý thuyết tổng quát các mặt bậc 2 được nghiên cứu trong phần cuối của một giáo trình đại số tuyến tính. Trong trường hợp này các phép biến đổi cho phép là các phép biến đổi bảo toàn các dạng bậc 2 , tức là các phép biến đổi afin trực giao. Ví dụ với mặt cầu phép biến đổi cho phép là các phép biến đổi trong không gian Euclid (các phép quay, các phép phản xạ, tịnh tiến). Bài toán quy về việc nghiên cứu hệ một hay nhiều (bất) phương trình bậc 2, ví dụ dạng toàn phương. Lại một lần nữa, câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: có thể chăng nghiên cứu các mặt tổng quát hơn là mặt bậc 2?
Bài toán cơ bản là các việc làm nói trên có thể thực hiện hay không khi hệ phương trình phi tuyến (không là tuyến tính hay các phương trình có bậc lớn hơn 2). Trả lời câu hỏi này, hình học vi phân dùng toàn bộ công cụ vi tích phân của giải tích. Đó cũng chính là nội dung của hình học các đa tạp khả vi. Tuy nhiên để có được điều đó ta phải huy động toàn bộ phép tính vi tích phân trong RA ở dạng tổng quát nhất.
1.1.3 Các phép biến đổi (tuyến tính) trong hình học
Trong một không gian, điều quan trọng hơn cả là chúng ta chấp nhận các phép biến đổi nào. Nếu chấp nhận đủ nhiều các phép biến đổi được coi là biến đổi tương đương thì có đủ nhiều các vật thể hình học được đồng nhất với nhau.
Nếu hạn chế chỉ xét các phép biến đổi hình học là tuyến tính thì chúng ta có nhóm biến đổi là nhóm tuyên tính tổng quát G = GL(Rn) = GLn.(R) của không gian,
6
gồm tất cả các phép biến đổi tuyến tính khả nghịch. Chúng ta thu được hình học afin [aphin].
Nếu chúng ta hạn chế hẹp hơn, chỉ chấp nhận các phép biến đổi là bảo toàn khoảng cách, hay tích vô hướng, chúng ta có nhóm O(n) các biến đổi trực giao và hình học chính là hình học Euclid [ơclid].
1.2 Đường hác hai với phương trình chính tắc 1.2.1 Ellipse
Trong hình học giải tích, ellipse [elips] được định nghĩa như quỹ tích các điểm M mà tổng khoảng cách đến hai điểm F1 và F2 cho trước là một đại lượng không đổi 2a Các điểm F1 và F2 đó được gọi là các tiêu điểm.
Gọi khoảng cách giữa hai điểm Fl và F2 là 2d. Chọn trung điểm của đoạn F1F2 là uuur
gốc O của hệ tọa độ Descartes, chọn véctơ e1 sao cho OF 2 = de1 . Bổ sung thêm một véctơ e2 để có một cơ sở trực chuẩn thuận hướng và do vậy có hệ tọa độ Descartes O, e1, e2. Trong hệ tọa độ này điểm M có các tọa độ là (x, y) và ta có phương trình đường ellipse
1.2.2 Hyperbola
Trong hình học giải tích, hyperbola được định nghĩa như quỹ tích các điểm ~ mà trị tuyệt đối của hiệu khoảng cách đến hai điểm F1 và F2 cho trước là một đại lượng không đổi.
Gọi khoảng cách giữa hai điểm F1 và F2 là 2d. Chọn trung điểm của đoạn F1F2 là uuur
gốc O của hệ toạ độ. Descartes, chọn véctơ e1 sao cho OF 2 = de1. Bổ sung thêm một véctơ e2 để có một cơ sở trực chuẩn thuận hướng và do vậy có hệ tọa độ Descartes O, e1, e2. Trong hệ tọa độ này điểm M có các tọa độ là (x, y) và ta có phương trình đường hyperbola
1.2.3 Parabola
Trong hình học giải tích, parabola [parpabol] được định nghĩa như quỹ tích các điểm M mà khoảng cách đến một điểm F và một đường thẳng l trong mặt phẳng cho trước là bằng nhau. Qua điểm F, ta hạ đường vuông góc với đường thẳng l tại điểm P.
Gọi trung điểm đoạn PF là gốc tọa độ O. Chọn các véctơ trực chuẩn e1 và e2 sao cho uuur
OF =pe2.Gọi(x,y)làcáctọađộđiểmM tronghệtọađộO,e1,e2.Khiđótacó
7
phương trình đường parabola là
1.3 Đưa phương trình đường bậc hai trong mặt phẳng về dạng chính tắc
Định lí 1.3.1 (Định lí phân loại) Bằng phép biến đổi toạ độ thích hợp, mỗi đường bậc hai tổng quát trong mặt phẳng Euclid afin 2-chiều đều được đưa về một trong số 9 đường chính tắc sau:
1. Đường ellipse
2. Đường ellipse ảo:
3. Đường hyperbola
4. Đường parabola
5. Cặp hai đường thẳng song song
6. cặp hai đường thẳng ảo song song:
7. Cặp hai đường thẳng ảo cắt nhau:
8. Cặp hai đường thẳng thẳng cắt nhau:
9. Cặp hai đường thẳng trùng nhau:
Chứng minh. Đọc giả có thể dễ dụng tìm thấy chứng minh định lí này trong bất kì giáo trình nào về Hình học giải tích.
1.4 Phân loại siêu mặt bậc 2 trong không gian 3 chiều
8
Định lí 1.4.1 (zĐịnh lí phân loại) Bằng phép biến đổi tọa độ thích hợp, mỗi mặt bậc hai tổng quát trong không gian Euclid ba chiều đều được đưa về một trong số 17 mặt chính tắc sau:
7.5 Tôpô các đa tạp
Một trong những bài toán thú vị là bài toán phân loại đa tạp. Các kết quả đẹp đẽ sau đây đã thu được:
Định lí 7.5.1 Mỗi đa tạp 1 -chiều liên thông compắc đều vi phôi với [0, 1] ⊂ R1 , hay vòng tròn S1 . Các đa tạp không compắc thu được từ chúng bằng cách và bỏ một
số điểm .
Định lí 7.5.2 Mỗi đa tạp 2-chiều compắc không biến liên thông đều vi phôi với một trong các mặt thu được bằng cách gắn k mặt trụ, xoắn mỗi mặt một sôi vòng và gắn l lá Mobius, vào mặt cầu S2 được khoét đi 2k + l lỗ thủng. Các đa tạp không compắc thu được từ đó bằng cách bỏ đi một số điểm.
Một vấn đề của toán học đương thời : Có hay không một cách làm tương tự cho các đa tạp 3-chiều? Bằng cách làm tương tư như trên với hình cầu và hình trụ, người ta cũng thu được đủ nhiều đa tạp 3 chiều. Nhưng rất tiếc là lý thuyết tông các đa tạp 3- chiều chỉ ra là lý thuyết còn xa mới tới một phân loại tương tự như trên.
7.6 Bài tập củng cố lý thuyết
1. Hãy viết tên của mình bằng các chữ cái IN HOA KHONG CHAN không dấu.
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links
Last edited by a moderator: