Link tải luận văn miễn phí cho ae Ket-noi
Mục lục
Giới thiệu môn học 5
1 Giới hạn của hàm nhiều biến 7
1.1 Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Tích vô hướng và chuẩn Euclide . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R . . . . . . . . . . . 9
1.2 Một số khái niệm tôpô cơ bản trong Rn . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Quả cầu mở, quả cầu đóng . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Tập mở, tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Tập bị chặn, tập liên thông . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3 Các định lý giá trị trung gian . . . . . . . . . . . . 22
Bài tập Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Phép tính vi phân hàm nhiều biến 27
2.1 Sự khả vi của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Đạo hàm riêng bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Định nghĩa sự khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.3 Điều kiện cần cho sự khả vi . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.4 Điều kiện đủ cho sự khả vi . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.5 Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Đạo hàm riêng bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 Đạo hàm riêng bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.3 Định nghĩa vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Úng dụng vào bài toán tìm cực trị . . . . . . . . . . . . . . 41
2
Downloaded by Golden Arowana ([email protected])
lOMoARcPSD|9997659
Nguyễn Thành Nhân ([email protected]) Giải tích hàm nhiều biến
2.3.1 Cực trị địa phương không điều kiện . . . . . . . . . 41
2.3.2 Cực trị địa phương có điều kiện . . . . . . . . . . . 47
2.3.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . 49
Bài tập Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Tích phân bội 57
3.1 Định nghĩa tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1 Tích phân Riemann trên hộp đóng . . . . . . . . . 57
3.1.2 Tích phân trên miền bị chặn . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 Dùng tích phân lặp để tính tích phân bội . . . . . . . . . . 62
3.2.1 Định nghĩa tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.2 Phương pháp tính tích phân bội cơ bản . . . . . . . 63
3.3 Phép đổi biến trong tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.1 Phép đổi biến tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.2 Đổi biến trong tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.3 Đổi biến trong tọa độ trụ . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.4 Đổi biến trong tọa độ cầu . . . . . . . . . . . . . . 68
Bài tập Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Tích phân đường 73
4.1 Đường cong trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.2 Độ dài đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2 Tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.2 Tích phân trên đường cong kín . . . . . . . . . . . 78
4.3.3 Định lý bốn mệnh đề tương đương . . . . . . . . . 80
Bài tập Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5 Tích phân mặt 85
5.1 Mặt cong trong R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.2 Mặt tiếp tuyến và pháp tuyến . . . . . . . . . . . . 86
5.1.3 Diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3
Downloaded by Golden Arowana ([email protected])
lOMoARcPSD|9997659
Nguyễn Thành Nhân ([email protected]) Giải tích hàm nhiều biến
5.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.2 Công thức tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3 Tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.1 Mặt cong định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . 89
5.3.3 Công thức tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3.4 Định lý Gauss - Ostrogradski . . . . . . . . . . . . 91
5.3.5 Định lý Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Bài tập Chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Một số đề thi tham khảo 93
Đề thi năm 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Đề thi năm 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Đề thi năm 2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Đề thi năm 2020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Đề thi năm 2021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Phụ lục: điểm đánh giá học phần 103
Tài liệu tham khảo 105
4
Downloaded by Golden Arowana ([email protected])
lOMoARcPSD|9997659
Giới thiệu môn học
Học phần Giải tích hàm nhiều biến là một trong những học phần bắt
buộc trong hầu hết các chương trình đào tạo cử nhân Toán, dành cho sinh
viên đã học xong các học phần Đại số tuyến tính và Giải tích hàm một
biến. Nội dung của học phần là sự nối tiếp các kiến thức sinh viên đã được
hướng dẫn trong học phần Giải tích hàm một biến, cung cấp cho sinh viên
ngành Toán một số kiến thức nền tảng về phép tính vi phân và phép tính
tích phân cho các hàm nhiều biến.
Trong quá trình xây dựng và chứng minh các kết quả đối với hàm nhiều
biến, một số kết quả quen thuộc trong giải tích hàm một biến sẽ được
kế thừa và áp dụng thường xuyên. Do đó, để học tốt học phần này, sinh
viên cần nắm vững các kiến thức về giải tích hàm một biến, bao gồm: các
phương pháp tính giới hạn hàm một biến, khảo sát tính liên tục và sự khả
vi của hàm một biến, các định lý giá trị trung bình (Định lý Lagrange),
phương pháp tìm cực trị của hàm một biến, các phương pháp tính tích
phân của hàm một biến.
Nội dung bài giảng này được thiết kế dành cho sinh viên Khoa Toán -
Tin học, bao gồm 5 chương.
• Chương 1 giới thiệu một số định nghĩa cơ bản trong không gian Rn
và định nghĩa về giới hạn của hàm nhiều biến. Trọng tâm của chương
này là các phương pháp để tính giới hạn và khảo sát sự liên tục của
hàm nhiều biến. Các phương pháp này sẽ được vận dụng liên tục ở
chương tiếp theo, trong việc khảo sát sự khả vi của hàm nhiều biến.
• Chương 2 đưa ra các kiến thức cơ bản về phép tính vi phân của hàm
nhiều biến và ứng dụng vào bài toán cực trị địa phương. Trọng tâm
5
Downloaded by Golden Arowana ([email protected])
lOMoARcPSD|9997659
Định lý 3.1.10. Cho D bị chặn trong Rn và f bị chặn trên D. Nếu f liên
tục trên D, ngoại trừ tập có thể tích 0, thì f khả tích trên D.
Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại tập U ⊂ D sao cho f liên tục trên U
và V (D \ U ) = 0. Do f bị chặn trên tập D \ U có thể tích 0 nên khả tích
trên D \ U . Ngoài ra, f liên tục
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
Mục lục
Giới thiệu môn học 5
1 Giới hạn của hàm nhiều biến 7
1.1 Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Tích vô hướng và chuẩn Euclide . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Ánh xạ tuyến tính từ Rn vào R . . . . . . . . . . . 9
1.2 Một số khái niệm tôpô cơ bản trong Rn . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Quả cầu mở, quả cầu đóng . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Tập mở, tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Tập bị chặn, tập liên thông . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Giới hạn hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3 Các định lý giá trị trung gian . . . . . . . . . . . . 22
Bài tập Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Phép tính vi phân hàm nhiều biến 27
2.1 Sự khả vi của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Đạo hàm riêng bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Định nghĩa sự khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.3 Điều kiện cần cho sự khả vi . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.4 Điều kiện đủ cho sự khả vi . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.5 Định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2 Đạo hàm riêng bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 Đạo hàm riêng bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.3 Định nghĩa vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Úng dụng vào bài toán tìm cực trị . . . . . . . . . . . . . . 41
2
Downloaded by Golden Arowana ([email protected])
lOMoARcPSD|9997659
Nguyễn Thành Nhân ([email protected]) Giải tích hàm nhiều biến
2.3.1 Cực trị địa phương không điều kiện . . . . . . . . . 41
2.3.2 Cực trị địa phương có điều kiện . . . . . . . . . . . 47
2.3.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . 49
Bài tập Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Tích phân bội 57
3.1 Định nghĩa tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.1.1 Tích phân Riemann trên hộp đóng . . . . . . . . . 57
3.1.2 Tích phân trên miền bị chặn . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 Dùng tích phân lặp để tính tích phân bội . . . . . . . . . . 62
3.2.1 Định nghĩa tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.2 Phương pháp tính tích phân bội cơ bản . . . . . . . 63
3.3 Phép đổi biến trong tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.1 Phép đổi biến tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.2 Đổi biến trong tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.3 Đổi biến trong tọa độ trụ . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3.4 Đổi biến trong tọa độ cầu . . . . . . . . . . . . . . 68
Bài tập Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Tích phân đường 73
4.1 Đường cong trong Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.2 Độ dài đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2 Tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Tích phân đường loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.1 Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3.2 Tích phân trên đường cong kín . . . . . . . . . . . 78
4.3.3 Định lý bốn mệnh đề tương đương . . . . . . . . . 80
Bài tập Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5 Tích phân mặt 85
5.1 Mặt cong trong R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.1.2 Mặt tiếp tuyến và pháp tuyến . . . . . . . . . . . . 86
5.1.3 Diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3
Downloaded by Golden Arowana ([email protected])
lOMoARcPSD|9997659
Nguyễn Thành Nhân ([email protected]) Giải tích hàm nhiều biến
5.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.2.2 Công thức tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3 Tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.1 Mặt cong định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.2 Định nghĩa tích phân mặt loại II . . . . . . . . . . 89
5.3.3 Công thức tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3.4 Định lý Gauss - Ostrogradski . . . . . . . . . . . . 91
5.3.5 Định lý Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Bài tập Chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Một số đề thi tham khảo 93
Đề thi năm 2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Đề thi năm 2018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Đề thi năm 2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Đề thi năm 2020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Đề thi năm 2021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Phụ lục: điểm đánh giá học phần 103
Tài liệu tham khảo 105
4
Downloaded by Golden Arowana ([email protected])
lOMoARcPSD|9997659
Giới thiệu môn học
Học phần Giải tích hàm nhiều biến là một trong những học phần bắt
buộc trong hầu hết các chương trình đào tạo cử nhân Toán, dành cho sinh
viên đã học xong các học phần Đại số tuyến tính và Giải tích hàm một
biến. Nội dung của học phần là sự nối tiếp các kiến thức sinh viên đã được
hướng dẫn trong học phần Giải tích hàm một biến, cung cấp cho sinh viên
ngành Toán một số kiến thức nền tảng về phép tính vi phân và phép tính
tích phân cho các hàm nhiều biến.
Trong quá trình xây dựng và chứng minh các kết quả đối với hàm nhiều
biến, một số kết quả quen thuộc trong giải tích hàm một biến sẽ được
kế thừa và áp dụng thường xuyên. Do đó, để học tốt học phần này, sinh
viên cần nắm vững các kiến thức về giải tích hàm một biến, bao gồm: các
phương pháp tính giới hạn hàm một biến, khảo sát tính liên tục và sự khả
vi của hàm một biến, các định lý giá trị trung bình (Định lý Lagrange),
phương pháp tìm cực trị của hàm một biến, các phương pháp tính tích
phân của hàm một biến.
Nội dung bài giảng này được thiết kế dành cho sinh viên Khoa Toán -
Tin học, bao gồm 5 chương.
• Chương 1 giới thiệu một số định nghĩa cơ bản trong không gian Rn
và định nghĩa về giới hạn của hàm nhiều biến. Trọng tâm của chương
này là các phương pháp để tính giới hạn và khảo sát sự liên tục của
hàm nhiều biến. Các phương pháp này sẽ được vận dụng liên tục ở
chương tiếp theo, trong việc khảo sát sự khả vi của hàm nhiều biến.
• Chương 2 đưa ra các kiến thức cơ bản về phép tính vi phân của hàm
nhiều biến và ứng dụng vào bài toán cực trị địa phương. Trọng tâm
5
Downloaded by Golden Arowana ([email protected])
lOMoARcPSD|9997659
Định lý 3.1.10. Cho D bị chặn trong Rn và f bị chặn trên D. Nếu f liên
tục trên D, ngoại trừ tập có thể tích 0, thì f khả tích trên D.
Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại tập U ⊂ D sao cho f liên tục trên U
và V (D \ U ) = 0. Do f bị chặn trên tập D \ U có thể tích 0 nên khả tích
trên D \ U . Ngoài ra, f liên tục
Do Drive thay đổi chính sách, nên một số link cũ yêu cầu duyệt download. các bạn chỉ cần làm theo hướng dẫn.
Password giải nén nếu cần: ket-noi.com | Bấm trực tiếp vào Link để tải:
You must be registered for see links