nguyenkhoi_9vn8
New Member
Download Luận án Số phức và ứng dụng trong chiến lược giải toán bậc trung học phổ thông
Khi chúng ta không thểgiải một vài vấn đềtrong hình học
phẳng, một lời khuyên là chúng ta thửgiải bằng cách tính toán. Đó là
một vài kỹthuật đểlàm tính toán thay cho hình học. Đó là ứng dụng
của sốphức trong hình học.
Mặt phẳng sẽlà mặt phẳng phức và mỗi điểm sẽtương ứng là
một sốphức. Bởi thếcác điểm sẽ được thường xuyên kí hiệu như
những chữcái thường a,b,c,d... nhưcác sốphức.
Để tải bản DOC Đầy Đủ xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
ñược một vài tổng ñặc biệt…
Trên thực tế, trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic
khu vực, Olympic quốc tế, có khá nhiều dạng toán có liên quan
(thường là gián tiếp) ñến số phức. Có thể nói phương pháp giải các
dạng toán như thế vừa mang tính tổng hợp cao vừa mang tính ñặc thù
sâu sắc.
Việc sử dụng số phức trong nghiên cứu, khảo sát hình học
phẳng tỏ ra có nhiều thuận lợi, nhất là trong việc xem xét các vấn ñề
liên quan ñến các phép biến hình cùng với hình học của chúng. Dùng
số phức ta cũng có thể tìm ñược lời giải hữu hiệu, tự nhiên (nhưng
không kém phần ñộc ñáo) cho nhiều hệ phương trình với ẩn số thực
4
(mà nếu chỉ nhìn thoáng qua, ít ai nghĩ ñến việc vận dụng số phức).
Số phức còn cho ta cách giải quyết một loạt các bài toán trong số
học, tổ hợp và lượng giác mà nếu dùng phương pháp thông thường
tình huống sẽ trở nên phức tạp hơn...
Được sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Duy Thái Sơn, tui chọn ñề
tài: “Số phức và Ứng dụng trong Chiến lược giải toán bậc trung học
phổ thông” với mong muốn tìm hiểu sâu về số phức và ứng dụng của
số phức trong việc khai phá các phương pháp giải toán bậc THPT.
2. Mục ñích và nhiệm vụ nghiên cứu
Chúng tui tìm kiếm tài liệu từ các nguồn khác nhau, nghiên
cứu kỹ càng các tài liệu ñó, cố gắng lĩnh hội ñầy ñủ các kiến thức cũ
và mới về số phức ñể có thể trình bày lại các kiến thức ñó trong luận
văn này theo một thể khép kín và hy vọng luận văn có thể ñược sử
dụng như một tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và học sinh các
trường trung học phổ thông.
Trong chương 1 của luận văn này, chúng tui trình bày sơ
lược lịch sử về số phức, các kiến thức về số phức và các công thức
ứng dụng số phức trong hình học. Trong chương 2, chúng tui trình
bày các ứng dụng của số phức trong giải phương trình, hệ phương
trình, trong tổ hợp và lượng giác. Trong chương 3, chúng tui trình
bày các ứng dụng của số phức ñể giải các bài toán hình học.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Số phức và ứng dụng của số phức
trong giải toán.
5
Phạm vi nghiên cứu: Số phức trong các mối liên hệ với hình
học, phương trình, hệ phương trình, tổ hợp, lượng giác thuộc phạm vi
chương trình Toán THPT.
4.Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu, phân tích, giải thích, ñánh giá, tổng hợp.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của ñề tài
Xây dựng ñược một giáo trình có tính hệ thống với thời
lượng thu gọn, có thể dùng ñể giảng dạy về số phức và ứng dụng
của số phức cho học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông.
Xây dựng ñược một hệ thống các bài toán với các mức
ñộ khó dễ khác nhau.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở ñầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn
này còn ñược chia làm ba chương.
Chương 1. Các kiến thức cơ bản về số phức. Trong chương
này, chúng tui trình bày sơ lược lịch sử về số phức, các kiến thức về
số phức và các công thức ứng dụng số phức trong hình học.
Chương 2. Ứng dụng của số phức trong giải hệ phương trình,
trong tổ hợp và lượng giác.
Chương 3. Ứng dụng của số phức ñể giải các bài toán hình
học.
6
Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC
1.1 Đôi dòng lịch sử
1.2 Các kiến thức cơ bản về số phức
1.2.1 Khái niệm số phức
Một biểu thức có dạng a bi+ , trong ñó a và b là những số
thực, ñược gọi là một số phức. Số a ñược gọi là phần thực (kí hiệu
a =Re z ), còn số b ñược gọi là phần ảo (kí hiệu b = Im z ) của số
phức z = a bi+ .
1.2.2 Mặt phẳng phức
Một số phức z = a bi+ ñược biểu diễn hình học bởi một ñiểm
M ( ),a b trên mặt phẳng tọa ñộ vuông góc Descartes ( 1 2, ,O e e
ur uur
) với
gốc là ñiểm O và 2 vectơ ñơn vị 1 2,e e
ur uur
vuông góc tại O (ngắn gọn:
mặt phẳng tọa ñộ).
Điểm M ( ),a b ñược gọi là tọa vị của số phức z = a bi+ .
1.2.3 Các phép toán trên trường số phức
Hai số phức a bi+ và c di+ ñược gọi là bằng nhau nếu phần
thực và phần ảo của chúng bằng nhau: .
a c
a bi c di
b d
=
+ = + ⇔
=
Tổng của hai số phức 1z a bi= + và 2 c diz = + là số phức dạng
1 2: ( ) ( ) .z z z a c b d i= + = + + +
Số phức 0 : 0 .0i= + là số phức duy nhất thỏa 0 0z z z+ = + = ,
với mọi số phức z .
7
Với mọi số phức z a bi= + , số phức ñối ( ) ( ):z a b i− = − + − là
số phức duy nhất mà ( ) ( ) 0. z z z z+ − = − + =
Hiệu của hai số phức 1z a bi= + và 2z c di= + là số phức dạng
1 2: ( ) ( ) .z z z a c b d i= − = − + −
Tích của hai số phức 1z a bi= + và 2z c di= + là số phức
1 2: ( ) ( ) .z z z ac bd ad cb i= = − + +
Tồn tại duy nhất một số phức 1:= 1 + 0i mà .1 1. z z z= = ,
với mọi số phức .z
Nghịch ñảo của số phức z = a bi+ ≠ 0 là số phức
2 2 2 2
1
( )( )
1 a bi a b
i
a bi a bi a bi a b a bz
−
= = = −
+ + − + +
;
Thương của hai số phức 1z a bi= + và 2z c di= + , 2 0z ≠ là
số phức dạng
1
2 2
2
( )( ) ( )
: ( )( )
z a bi a bi c di ac bd bc ad i
z
z c di c di c di c d
+ + − + + −
= = = =
+ + − +
2 2 2 2
( )
.
ac bd bc ad i
c d c d
+ −
= +
+ +
Tập hợp tất cả các số phức tạo thành một trường với các phép toán
cộng, nhân hai số phức, và nghịch ñảo của số phức như trên. Tập hợp
tất cả các số phức (trường số phức) ñược kí hiệu là , là một trường,
nhận làm một trường con.
8
1.2.4 Số phức liên hợp
Số phức a bi− ñược gọi là số phức liên hợp của số phức
a bi+ ( ),a b∈ và ñược kí hiệu là z .
Như vậy, số phức z trở thành một số thực khi và chỉ khi z là
liên hợp với chính nó: .z z=
Từ ñịnh nghĩa các phép toán của hai số phức và ñịnh nghĩa số
phức liên hợp ta suy ra
1.2.5 Lũy thừa bậc n của số phức
Lũy thừa bậc n của số phức z có thể tính theo công thức
( )n nz a bi= + =
2 2 2 4 4 4 1 1 3 3 3 5 5 5
... ...
n n n n n n
n n n n n
a C a b C a b i C a b C a b C a b− − − − −− + − + − + −
Công thức Moivre:
(cos sin ) (cos sin )ni n i nϕ ϕ ϕ ϕ+ = +
1.2.6 Căn bậc n của một số phức
Ta ñịnh nghĩa căn bậc n ( n là số tự nhiên) của một số phức
z (kí hiệu là n z ) là những số phức u mà luỹ thừa bậc n của u
bằng z . Ta có nnu z u z= ⇔ =
Khi r =1 thì
2 2
cos sin , 0,1, 2,... 1k
k k
z k n
n n
ϕ pi ϕ pi+ +
= + = −
Mỗi số phức có ñúng n giá trị căn bậc n .
1.3 Các công thức dùng trong việc ứng dụng số phức vào giải
toán hình học.
9
1.3.1 Các kiến thức bổ trợ
1. Một số phức z = a bi+ ñược biểu diễn hình học bởi một
ñiểm M ( ),a b trên mặt phẳng tọa ñộ vuông góc Descartes ( 1 2, ,O e e
ur uur
)
với gốc là ñiểm O và 2 vectơ ñơn vị 1 2,e e
ur uur
vuông góc tại O (ngắn
gọn: mặt phẳng tọa ñộ).
Điểm M ( ),a b ñược gọi là tọa vị của số phức z = a bi+ .
2. Khi làm việc với các phép biến hình (mà ta thường ký hiệu
là 1 2; ; ;...F F F ), các ñiểm trên mặt phẳng ñược ký hiệu bởi
1 2, , , ...M N M M còn ảnh của chúng qua phép biến hình sẽ ñược ký
hiệu bởi ' ' ' '1 2, , , ...M N M M
Vì thế, nếu M là tọa vị của số phức z thì ảnh 'M của M qua...
Download miễn phí Luận án Số phức và ứng dụng trong chiến lược giải toán bậc trung học phổ thông
Khi chúng ta không thểgiải một vài vấn đềtrong hình học
phẳng, một lời khuyên là chúng ta thửgiải bằng cách tính toán. Đó là
một vài kỹthuật đểlàm tính toán thay cho hình học. Đó là ứng dụng
của sốphức trong hình học.
Mặt phẳng sẽlà mặt phẳng phức và mỗi điểm sẽtương ứng là
một sốphức. Bởi thếcác điểm sẽ được thường xuyên kí hiệu như
những chữcái thường a,b,c,d... nhưcác sốphức.
Để tải bản DOC Đầy Đủ xin Trả lời bài viết này, Mods sẽ gửi Link download cho bạn sớm nhất qua hòm tin nhắn.
Tóm tắt nội dung:
ng số phức ta có thể giải mọi phương trình bậc hai, tínhñược một vài tổng ñặc biệt…
Trên thực tế, trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic
khu vực, Olympic quốc tế, có khá nhiều dạng toán có liên quan
(thường là gián tiếp) ñến số phức. Có thể nói phương pháp giải các
dạng toán như thế vừa mang tính tổng hợp cao vừa mang tính ñặc thù
sâu sắc.
Việc sử dụng số phức trong nghiên cứu, khảo sát hình học
phẳng tỏ ra có nhiều thuận lợi, nhất là trong việc xem xét các vấn ñề
liên quan ñến các phép biến hình cùng với hình học của chúng. Dùng
số phức ta cũng có thể tìm ñược lời giải hữu hiệu, tự nhiên (nhưng
không kém phần ñộc ñáo) cho nhiều hệ phương trình với ẩn số thực
4
(mà nếu chỉ nhìn thoáng qua, ít ai nghĩ ñến việc vận dụng số phức).
Số phức còn cho ta cách giải quyết một loạt các bài toán trong số
học, tổ hợp và lượng giác mà nếu dùng phương pháp thông thường
tình huống sẽ trở nên phức tạp hơn...
Được sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Duy Thái Sơn, tui chọn ñề
tài: “Số phức và Ứng dụng trong Chiến lược giải toán bậc trung học
phổ thông” với mong muốn tìm hiểu sâu về số phức và ứng dụng của
số phức trong việc khai phá các phương pháp giải toán bậc THPT.
2. Mục ñích và nhiệm vụ nghiên cứu
Chúng tui tìm kiếm tài liệu từ các nguồn khác nhau, nghiên
cứu kỹ càng các tài liệu ñó, cố gắng lĩnh hội ñầy ñủ các kiến thức cũ
và mới về số phức ñể có thể trình bày lại các kiến thức ñó trong luận
văn này theo một thể khép kín và hy vọng luận văn có thể ñược sử
dụng như một tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và học sinh các
trường trung học phổ thông.
Trong chương 1 của luận văn này, chúng tui trình bày sơ
lược lịch sử về số phức, các kiến thức về số phức và các công thức
ứng dụng số phức trong hình học. Trong chương 2, chúng tui trình
bày các ứng dụng của số phức trong giải phương trình, hệ phương
trình, trong tổ hợp và lượng giác. Trong chương 3, chúng tui trình
bày các ứng dụng của số phức ñể giải các bài toán hình học.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Số phức và ứng dụng của số phức
trong giải toán.
5
Phạm vi nghiên cứu: Số phức trong các mối liên hệ với hình
học, phương trình, hệ phương trình, tổ hợp, lượng giác thuộc phạm vi
chương trình Toán THPT.
4.Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu, phân tích, giải thích, ñánh giá, tổng hợp.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của ñề tài
Xây dựng ñược một giáo trình có tính hệ thống với thời
lượng thu gọn, có thể dùng ñể giảng dạy về số phức và ứng dụng
của số phức cho học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông.
Xây dựng ñược một hệ thống các bài toán với các mức
ñộ khó dễ khác nhau.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở ñầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn
này còn ñược chia làm ba chương.
Chương 1. Các kiến thức cơ bản về số phức. Trong chương
này, chúng tui trình bày sơ lược lịch sử về số phức, các kiến thức về
số phức và các công thức ứng dụng số phức trong hình học.
Chương 2. Ứng dụng của số phức trong giải hệ phương trình,
trong tổ hợp và lượng giác.
Chương 3. Ứng dụng của số phức ñể giải các bài toán hình
học.
6
Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC
1.1 Đôi dòng lịch sử
1.2 Các kiến thức cơ bản về số phức
1.2.1 Khái niệm số phức
Một biểu thức có dạng a bi+ , trong ñó a và b là những số
thực, ñược gọi là một số phức. Số a ñược gọi là phần thực (kí hiệu
a =Re z ), còn số b ñược gọi là phần ảo (kí hiệu b = Im z ) của số
phức z = a bi+ .
1.2.2 Mặt phẳng phức
Một số phức z = a bi+ ñược biểu diễn hình học bởi một ñiểm
M ( ),a b trên mặt phẳng tọa ñộ vuông góc Descartes ( 1 2, ,O e e
ur uur
) với
gốc là ñiểm O và 2 vectơ ñơn vị 1 2,e e
ur uur
vuông góc tại O (ngắn gọn:
mặt phẳng tọa ñộ).
Điểm M ( ),a b ñược gọi là tọa vị của số phức z = a bi+ .
1.2.3 Các phép toán trên trường số phức
Hai số phức a bi+ và c di+ ñược gọi là bằng nhau nếu phần
thực và phần ảo của chúng bằng nhau: .
a c
a bi c di
b d
=
+ = + ⇔
=
Tổng của hai số phức 1z a bi= + và 2 c diz = + là số phức dạng
1 2: ( ) ( ) .z z z a c b d i= + = + + +
Số phức 0 : 0 .0i= + là số phức duy nhất thỏa 0 0z z z+ = + = ,
với mọi số phức z .
7
Với mọi số phức z a bi= + , số phức ñối ( ) ( ):z a b i− = − + − là
số phức duy nhất mà ( ) ( ) 0. z z z z+ − = − + =
Hiệu của hai số phức 1z a bi= + và 2z c di= + là số phức dạng
1 2: ( ) ( ) .z z z a c b d i= − = − + −
Tích của hai số phức 1z a bi= + và 2z c di= + là số phức
1 2: ( ) ( ) .z z z ac bd ad cb i= = − + +
Tồn tại duy nhất một số phức 1:= 1 + 0i mà .1 1. z z z= = ,
với mọi số phức .z
Nghịch ñảo của số phức z = a bi+ ≠ 0 là số phức
2 2 2 2
1
( )( )
1 a bi a b
i
a bi a bi a bi a b a bz
−
= = = −
+ + − + +
;
Thương của hai số phức 1z a bi= + và 2z c di= + , 2 0z ≠ là
số phức dạng
1
2 2
2
( )( ) ( )
: ( )( )
z a bi a bi c di ac bd bc ad i
z
z c di c di c di c d
+ + − + + −
= = = =
+ + − +
2 2 2 2
( )
.
ac bd bc ad i
c d c d
+ −
= +
+ +
Tập hợp tất cả các số phức tạo thành một trường với các phép toán
cộng, nhân hai số phức, và nghịch ñảo của số phức như trên. Tập hợp
tất cả các số phức (trường số phức) ñược kí hiệu là , là một trường,
nhận làm một trường con.
8
1.2.4 Số phức liên hợp
Số phức a bi− ñược gọi là số phức liên hợp của số phức
a bi+ ( ),a b∈ và ñược kí hiệu là z .
Như vậy, số phức z trở thành một số thực khi và chỉ khi z là
liên hợp với chính nó: .z z=
Từ ñịnh nghĩa các phép toán của hai số phức và ñịnh nghĩa số
phức liên hợp ta suy ra
1.2.5 Lũy thừa bậc n của số phức
Lũy thừa bậc n của số phức z có thể tính theo công thức
( )n nz a bi= + =
2 2 2 4 4 4 1 1 3 3 3 5 5 5
... ...
n n n n n n
n n n n n
a C a b C a b i C a b C a b C a b− − − − −− + − + − + −
Công thức Moivre:
(cos sin ) (cos sin )ni n i nϕ ϕ ϕ ϕ+ = +
1.2.6 Căn bậc n của một số phức
Ta ñịnh nghĩa căn bậc n ( n là số tự nhiên) của một số phức
z (kí hiệu là n z ) là những số phức u mà luỹ thừa bậc n của u
bằng z . Ta có nnu z u z= ⇔ =
Khi r =1 thì
2 2
cos sin , 0,1, 2,... 1k
k k
z k n
n n
ϕ pi ϕ pi+ +
= + = −
Mỗi số phức có ñúng n giá trị căn bậc n .
1.3 Các công thức dùng trong việc ứng dụng số phức vào giải
toán hình học.
9
1.3.1 Các kiến thức bổ trợ
1. Một số phức z = a bi+ ñược biểu diễn hình học bởi một
ñiểm M ( ),a b trên mặt phẳng tọa ñộ vuông góc Descartes ( 1 2, ,O e e
ur uur
)
với gốc là ñiểm O và 2 vectơ ñơn vị 1 2,e e
ur uur
vuông góc tại O (ngắn
gọn: mặt phẳng tọa ñộ).
Điểm M ( ),a b ñược gọi là tọa vị của số phức z = a bi+ .
2. Khi làm việc với các phép biến hình (mà ta thường ký hiệu
là 1 2; ; ;...F F F ), các ñiểm trên mặt phẳng ñược ký hiệu bởi
1 2, , , ...M N M M còn ảnh của chúng qua phép biến hình sẽ ñược ký
hiệu bởi ' ' ' '1 2, , , ...M N M M
Vì thế, nếu M là tọa vị của số phức z thì ảnh 'M của M qua...